МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА <1 • 2008
УДК 548.0
© 2008 г. О.М. ОСТРИКОВ
МЕТОД ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКИХ АНАЛОГИЙ В МОДЕЛИ ЛИНЗОВИДНОГО ДВОЙНИКА
Методом электростатических аналогий в приближении отсутствия вихревых упругих полей рассчитано напряженное состояние у двойника линзо-видной формы. Рассмотрены варианты одного и противоположного знаков напряжений на двойниковых границах. Показано, что нормальные напряжения у линзовидного двойника равны друг другу, а для скалывающих напряжений выполняются условия т = тух, Txz = Tzx, Tyz = т .
1. Введение. Принцип электростатических аналогий широко используется в теории упругости. Это связано с тем, что потенциалы электрических полей схожи с потенциалами упругих деформаций в твердых телах [1, 2]. В теории двойникования кристаллов принцип электростатических аналогий еще не нашел широкого применения [3-7]. Поэтому теория двойникования теряет те преимущества, которые дает этот метод.
Целью данной работы стало развитие модели линзовидного двойника на основе метода электростатических аналогий.
2. Постановка задачи. Расчет электростатического потенциала. Линзовидным называется двойник, имеющий форму линзы, используемой в оптических приборах. Такие двойники часто возникают в кристалле при его объемном деформировании [3]. На фиг. 1 показаны разрезы такого двойника плоскостями OXZ (фиг. 1, а) и OXY (фиг. 1, b) и заданы его параметры: L - половина длины двойника и H - половина его ширины. Форма такого двойника может быть получена областью пересечения двух шаров (фиг. 2) радиуса R, задаваемых уравнениями
x2+ y2 + (z + R - H)2 = R2 (2.1)
x2+ y2 + (z + H - R)2 = R2 (2.2)
Очевидно, что проекция D области пересечения рассматриваемых шаров на плоскость Oxy (z = 0) может быть описана уравнением
x2 + y2 = L2 (2.3)
Из (2.3) и (2.1) или (2.2) следует необходимая для будущих расчетов связь R с H и L:
R = (L 2 + H2) / (2 H) (2.4)
при этом в (2.1) и (2.2) полагалось z = 0.
В общем виде потенциал ф(г) электростатического поля, создаваемого зарядом распределенным с плотностью o(r) по поверхности S линзовидного двойника (фиг. 3), может быть представлен в виде [8, 9]:
ф(Г) = kíí r¡S-í dS (2.5)
6 Механика твердого тела, № 1
161
У
X (а) ^^ (Ь)
(
О X 1 О X
Ь
Ь
Фиг. 1
Фиг. 2
где к - постоянная; г и (г - г') - радиус-векторы, определяемые по схеме, представленной на фиг. 3.
Ввиду симметричности решаемой задачи относительно плоскости Оху, рассмотрим сначала потенциал, создаваемый заряженной поверхностью двойника, находящейся в положительной по отношению к оси г области пространства (фиг. 3). Данный потенциал имеет вид
ф (х у 7) _ кг ГО (х', у', г') 7 1 + ( Эг' / Эх') 2 + ( Эг' / ъу)2йхйу' _ ф(х,у, г) кjj 2 2 =
о 7(х - X )2 + (у - у')2 + (г - г')2
I-;-, (2.6)
_ к11 о( х', у', г1 ) у 1 + ( дг'/дх') 2 + ( дг'/ду') 2йхуйу
О ^ х - х) 2 + (у - у )2 + (г - (Н - Я) -л/Я2- х'2- 7?
P(x, y, z)
______________
X
Фиг. 3
где осуществлен переход от интегрирования в (2.5) по области к интегрированию по области Б [10], описываемой уравнением (2.3). Учитывая (2.1), нетрудно показать, что
(2.7)
(2.8)
(2.6)
fdz')2 _ 4x'2
-R----2-- , 2 , 2 - x' - y'
f 2 = 4 y2
1 ayJ -R----2-- ,2 , 2 - x' - y'
Тогда (2.6) примет вид ф: (У, z) =
= kJJ -
x\ y', z' )J 1+4 (x'2+ y'2)/(Vr2- x'2- y'2) dx'dy'
D J(x - x')2 + (y - y' )2 + (z - (H - R ) -VR2 - x'2- =y2) В данной работе рассмотрим случай, когда о( x', y', z') = const = o0 Переходя к полярным координатам
x' = р cos ф, y" = р sin ф, dx' dy = pd p dф получим Ф: (x, y, z) =
ko0 J dфJ -
J
1+4 p2/(R2- p2 )p dp
o oj(x - p cos ф)2 + (y - p sinф)2 + (z - (H - R) -Jr2- p2)2 Аналогично, используя (2.2), для другой поверхности получим ф2 (x, y, z) =
_У 1 4 p 2 I(R 2 - p 2 ) p dtp_
2n L
= ko0 J dфJ
00
J(x - p cosф)2 + (y - p sinф)2 + (z - (R - H) - JR2 - p2)
(2.9)
(2.10) (2.11)
(2.12)
(2.13)
2П L
6* 163
ф(х), ф(у) ф(г)
ф(0, 0, Н) 0
ф(0, 0, -Н)
-Н 0 Н 2
Фиг. 4
Очевидно, что суммарный потенциал ф(х, у, 2) находится из соотношения
ф(X, у, 2) = фДX, у, 2)±ф2(X, у, 2) (2.14)
Результаты компьютерного расчета данного потенциала обобщены в виде схематических зависимостей, приведенных на фиг. 4. В случае одноименного заряда (знак плюс в (2.14)) на поверхностях линзы максимальное значение потенциал принимает внутри линзы. Эта область максимальных значений потенциала вдоль осей х и у ограничена значениями - Ь и Ь (фиг. 4, а), а вдоль оси 2 значениями - Н и Н (фиг. 4, Ь). В случае разноименного заряда (знак минус в (2.14)) на поверхностях, симметричных относительно плоскости Оху, потенциал ф(х, у, 2) вдоль осей х и у имеет нулевые значения, а вдоль оси 2 знакопеременные (фиг. 4, д). В точке О потенциал равен нулю.
Зная распределение напряжений у винтовых и краевых двойников [5-7, 11, 12], можно ввести допущение, что случай одноименного заряда применим для моделирования напряженного состояния у винтового двойника (двойника, состоящего из винтовых двойникующих дислокаций), а случай разноименного заряда - для краевого двойника (двойника, состоящего из краевых двойникующих дислокаций). Такая ситуация также справедлива и для двойников с одноименными и разноименными дислокациями на двух границах. Случаю одноименного заряда можно поставить в соответствие двойник с разноименными дислокациями на противоположных границах, а случаю разноименного заряда - двойник с одноименными дислокациями на границах.
Следует обратить внимание, что дислокационная модель и модель, развиваемая в данной работе, относятся к разным уровням абстрагирования. В данной модели используется такой масштаб рассмотрения двойника, при котором расстояние между
ф(2)
(с)
/
/
дислокациями считается пренебрежимо малым. Однако, в отличие от модели, разработанной в [4], распределение дислокаций рассматривается не вдоль линий, а вдоль поверхностей.
3. Переход к расчету упругих полей напряжений. Переход к задачам теории упругости осуществляется сопоставлением электростатическому потенциалу ф упругого смещения u [1]. При этом при отсутствии вихревых полей связь между u и ф находится из соотношения
u = grad ф (3.1)
Отсюда получим
U = Ux 1 + Uy j + Uzk (3.2)
ux = Эф/Эх; uy = дф/ду; uz = дф/dz (3.3)
где i, j, k - ортонормированный базис, единичные векторы которого направлены вдоль осей декартовой системы координат.
Компоненты тензора деформации находятся из выражений
utj = 1/2 (д uг / д xj + duj / д хг) (3.4)
Yij = 2ui;j при i Ф j (3.5)
Из (3.3) - (3.6) следует
uxx = д2 ф/д х2; uyy = д2ф/ду2; uzz = д2 ф/дz2 (3.6)
Yxy = д2ф / д х дy; Yxz = д2 ф/дхдг; Yyz = д2ф/дyдz (3.7)
Данные выражения получены с использованием потенциала ф(х, y, z) без учета к (см. (2.12), (2.13)). При этом поверхностной плотности распределения заряда о(х', y', z') ставилась в соответствие плотность упругих сил fx', y', z') [1], имеющих место на поверхности линзовидного двойника.
Физические уравнения теории упругости, связывающие напряжения и деформации для линейно-упругих изотропных тел (к ним относится тело, в котором рассматривается данный линзовидный двойник), имеют вид [13]:
°хх = 2Цuxx + X(uxx + uyy + uzz); °yy = 2 M^yy + X(uxx + uyy + uzz) (3 8)
°zz = 2 ^uzz + X( uxx + uyy + uzz); T xy = Wxy; Txz = Wxz'; Tyz =Yyz .
где ц - модуль сдвига; X = 2|Jv/(1 - 2v) - параметр Ляме; v - коэффициент Пуассона.
4. Результаты и их обсуждение. Результаты расчета полей напряжений у линзовидного двойника, полученные на основе метода электростатических аналогий при f (х', y', z') = const = f0, представлены на фиг. 5 и 6.
На фиг. 5 показано распределение в плоскостях, параллельных плоскостям Oxy (фиг. 5, а) и Oxz (фиг. 5, b) нормальных компонент тензора напряжений охх, oyy и ozz (где охх = oyy = ozz) при z = 1 (фиг. 5, а); y = 2.5 (фиг. 5, b); L = 5; H = 1; f0 = 1. Случай разноименных дислокаций на противоположных границах двойника (фиг. 5, а, b) отличается от случая одноименных дислокаций лишь противоположным знаком напряжений при одинаковой конфигурации полей напряжений.
На фиг. 6 представлено распределение в плоскостях, параллельных плоскостям Oxy (фиг. 6, а) и Oxz (фиг. 6, b) сдвиговых компонент тензора напряжений Txy (фиг. 6, а, b);
Txz (фиг. 6 С d) и Tyz (фиг. 6 ^f (где Txy = V Txz = Тх Tyz = V при z = 1 (фиг. 6, а, c, e);
-4 -2 0 2 4 х
Фиг. 5
у = 2.5 (фиг. 6, Ь, й,/); Ь = 5; Н = 1. Случай разноименных дислокаций на противоположных границах двойника (фиг. 6), как и для нормальных напряжений, отличается от случая одноименных дислокаций лишь противоположным знаком напряжений при одинаковой конфигурации полей напряжений.
Было установлено, что ихх = иуу = игг и ахх = оуу = а2Г Причем, при /' = у из (3.8) получаем
Оу = (2 ц + 3Х) иу (3.9)
Принимая во внимание данное соотношение, следует отметить, что у винтовых двойников нормальные напряжения равны нулю, так как они отсутствуют у винтовых дислокаций [1]. Поэтому из приведенных выше гипотез следует считать целесообраз-
ной ту, в которой рассматриваются одноименные и разноименные дислокации на двойниковых границах.
В результате расчетов было также установлено, что т = Tyx; Txz = Tzx; Tyz = Tzy. Это соответствует результатам, полученным с помощью дислокационных моделей [5-7, 12]. Ввиду наличия отличных от нуля всех сдвиговых компонент тензора напряжений рассматриваемого линзовидного двойника можно отметить, что это возможно в случае дислокаций, имеющих как винтовую, так и краевую составляющую вектора Бюргер-са. К таким дислокациям относятся частичные дислокации.
Нормальные напряжения (фиг. 5, а) в плоскости, параллельной плоскости Oxy, определены округлой формой двойника в этой плоскости, не зависимо от соотношения знаков дислокаций на противоположных сторонах двойника. Максимальные напряжения наблюдаются вдоль оси z при х = y = 0. В этой области при разноименных дислокациях на границах (фиг. 5, а) нормальные напряжения положительны, а при одноименных - отрицательны. Следует отметить, что на фиг. 5, а имеются небольшие области, в которых величины нормальных компонент тензора напряжений меняют знак на противоположный. В плоскости, паралле
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.