ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК, 2015, том 462, № 3, с. 283-287
МАТЕМАТИКА
УДК 517.9
МЕТОД ФАЗОВЫХ ИНТЕГРАЛОВ В ЗАДАЧЕ КВАЗИКЛАССИЧЕСКОЙ ЛОКАЛИЗАЦИИ СПЕКТРА
© 2015 г. С. А. Степин, В. В. Фуфаев
Представлено академиком РАН В.П. Масловым 08.12.2014 г. Поступило 12.12.2014 г.
БО1: 10.7868/80869565215150074
Цель настоящей работы — развитие метода фазовых интегралов применительно к краевой задаче на собственные значения
I еу" (г) + О (г,А)у (г) = 0, (1)
у (А) = у (В) = 0, (2)
где б — малый параметр. Основное внимание уделяется случаю линейной зависимости 0(г, А) = = 0(г) — А от спектрального параметра А, когда потенциал 0(г) — аналитическая функция. В качестве модельного рассматривается нечетный полиномиальный потенциал на [А, В] = [—1, 1] с вещественными коэффициентами. Спектр соответствующей задачи (1), (2) симметричен относительно мнимой оси и расположен в полуполосе П := {а + ¡Ь: а е 0([—1, 1]), Ь < 0}; положим П+ : = {а + ¡Ь е П: а > 0}. Отметим, что задачи рассматриваемого типа возникают при исследовании устойчивости плоско-параллельного течения жидкости с профилем скорости 0(г) в пределе исчезающей вязкости. К тематике настоящей работы наиболее близки статьи [1—8].
Особенности и закономерности асимптотического распределения собственных значений рассматриваемой задачи определяются структурой римановой поверхности многозначной аналитической функции, обратной к 0(1), и обнаруживаются уже для полиномов 0(г) третьей степени. С целью описания топологически различных типов предельных при б X 0 конфигураций спектра ограничимся двумя характерными представителями данного семейства, а именно 0(г) = г3 + г и 0(г) = г3 — г. В общем случае предельная конфигурация представляет собой граф, концевые вершины которого находятся среди значений потенциала 0 в его критических точках, или точках А и В.
Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова E-mail: ststepin@mail.ru
1. В основе используемого подхода к проблеме квазиклассической локализации спектра для задач рассматриваемого типа лежит метод фазовых интегралов, или метод ВКБ, разработанный применительно к случаю аналитического потенциала [9] (см. также [10]). Особую роль при этом играют точки поворота (1), т.е. корни г = а(А) уравнения Q(z, А) = 0. Кусочно-гладкий путь у называется каноническим для ветви функции
z
S( Zo, z; А) = ein/4 JVQcZXMZ ,
Zo
если величина ReS(z0, z; А) изменяется монотонно вдоль у. ВКБ-приближения для фундаментальной системы решений (ФСР) уравнения (1) с квалифицированной оценкой остатка на канонических путях (см. [11]) дает
Предложение 1. Пусть при каждом А из ограниченной области Q. для S(z0, z; А) существует канонический путь у = у(А), удовлетворяющий условию
р(П) = sup [Гм + И <«, (3)
Г1Q(Z, А)3/2 \Q(z, А)|5/2;
Тогда при достаточно малых б > 0 и всех А е Q. у уравнения (1) существуют решения Y±(z, А), имеющие на у вид
Y±(Z, А) = Q(z, А)-1/4exp(±s-1/2S(zo, Z; А)) x
X (1 + r±(z, А)), (4)
причем остаточные члены допускают оценки \r±(z, А) < 2(exp(261/2p(Q)) - 1).
При исследовании квазиклассической локализации спектра методом фазовых интегралов возникают специфические обстоятельства, связанные с явлением Стокса, состоящим в том, что в различных частях окрестности точки поворота коэффициенты линейной комбинации ВКБ-приближений
Q(z, А)-1/4 exp(±s-1/2S(zo, z; А)),
1т X
0
-0.05 -0.10 -0.15 -0.20 -0.25 -0.30 -0.35 -0.40 -0.45 -0.50
-1.0 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
Яе X
Рис. 1.
задающей асимптотику некоторого решения уравнения (1), оказываются различными. Связь между этими коэффициентами обсуждается в [9] и [10] в предположении, что известна топологическая структура линий уровня функции Яе^(г0, г; X) (линий Стокса). В работе [6] был предложен способ отыскания указанных коэффициентов, не требующий априорной информации о расположении линий Стокса. Ключевым аналитическим элементом этого подхода является следующее
Предложение 2. Пусть при X е О существуют образующие простой замкнутый контур канонические для Б(г0, г; X) пути у, у и у, где г0 = у п у, область ими ограниченная содержит единственный нуль а(Х) функции б(г, X), причем ЯеДго, а(Х); X) > 0, и для каждого из них выполнено условие (3). Тогда найдется б0 > 0 такое, что для б е (0, б0) и X е О
уравнение (1) имеет две ФСР 7±(г, X) и 7+ (г, X) с асимптотиками (4) на у и у соответственно и при г е у и у справедливы соотношения
у+ (г, X) = 7+(гД)( 1 + 0!(X)) + 7_(гД)©^), у—(г, X) = -г'7+(г, X)ехр(2б^^аД), г,; X)) х х (1 + 0з(X)) + 7_(г, XX1 + 04^)), где ©Д) < С(О)б1/2.
Приведенные формулы связи задают с достаточной для наших целей точностью так называемую матрицу Стокса, с помощью которой указанные ФСР выражаются одна через другую, и показывают, как изменяются их асимптотики при обходе вокруг точки поворота.
2. Риманова поверхность многозначной аналитической функции обратной к б(г) = г3 + г состоит
из трех листов с двумя точками ветвления ±-
3^3
второго порядка каждая. Обозначим через акД), к = 0, ±1, определяемые условиями ак(0) = /к, ветви функции 0—1Д). В этом случае предельный спектральный граф представляет собой симметричное относительно оси /К ориентированное дерево с узлом ветвления /ц степени 3, концевыми вершинами которого являются значения б(±1) и точка
X = —— бифуркации корней асД) и а—1Д). Рас-
зТ3
пределение собственных значений рассматриваемой задачи и, в частности, расположение бокового ребра Г предельного дерева относительно его вертикальной компоненты (см. [7, рис. 1]) описывается в терминах фазовых интегралов
(X) := ^(а0 (X), 1; X),
П +(X) := ^аоД), а^Д); X).
Лемма 1. Величина Яеп+(а + /Ь) в П возрастает по а при фиксированном Ь, причем = 0 на луче /К—. Величина Яе£+(а + /Ь) возрастает по Ь при
фиксированном а е (0, 2). Линия уровня Г = {X е П+ : Яе^+Д) = 0} пересекает действительную ось под
углом - , лежит в треугольнике с вершинами 2, — — ,
6 4~з
— 2/(2 — 73 ), и Г п /К = /ц, где ц е (—0.68, —0.62).
Предложения 1 и 2 позволяют для уравнения (1) в случае б(г) = г3 + г построить надлежащим образом нормированную ФСР с известными асимптотиками в точках г = ±1 и вычислить соответствующий условиям у(±1) = 0 характеристический определитель A+(X), нули которого совпадают с собственными значениями задачи.
Утверждение 1. Для произвольной ограниченной области О, лежащей вместе со своим замыканием О в П\ 0, —— , существует б1 = б1(О) > 0
I- зТз-1
такое, что при б е (0, б1) и X е О характеристический определитель А+Д) имеет вид
ехр(6-1/2^(1,-1; X)}« 1 + Ф^)) -
-1 ехр {2 е-1/2 Д)}[( 1 + Ф2 (X)) +
+ ехр{-2е-1/2п+ДЖ 1 + Ф3(X))]) -
- ехр{б-1/25(-1, 1; X)}( 1 + Ф4(X)),
21
а в случае, когда О с П+ и справедливо представление
0, -
3^ '
(5)
для X е О
МЕТОД ФАЗОВЫХ ИНТЕГРАЛОВ
285
Д+(А) = ехр{б-1/2£( 1, -1; А)} х
х [(1 + Ф5(А)) - Iехр {2е-1/2^+(А)}(1 + Ф6(А))],
где |ФДА)| < С(О)б1/2.
Если О с П+ и О п Г = ф, то (согласно лемме 1) одно из слагаемых в (5) растет при б ^ 0 быстрее остальных и, следовательно, нули Д+(А) при достаточно малых б > 0 в О отсутствуют.
Теорема 1. В случае Q(z) = г3 + г при фиксированном М < 0 для произвольного 5 > 0 найдется б2 = б2(5) > 0 такое, что множество
{А е П: ЯеА > 5, Шй(А, Г) > 5, 1тА > М} при б е (0, б2) не содержит точек спектра задачи (1)—(2), а в области
{А е П: ЯеА > 5, ^(А, Г) < 5, |А - 2| >5}
спектр задачи состоит из однократных собственных значений, причем для некоторой константы С(1)(5) > 0 все они находятся в С(1)(5)е-окрестно-
стях корней А^ е Г уравнения
ео8 ( I б-1/2 (А) + П) = 0.
(6)
е + (1К -1/2 I 1
(А;') = 1&' п п -
п е Т.
Наряду с указанной в теореме 1 спектральной серией имеется симметричная ей относительно оси /К серия собственных значений, которые
концентрируются вблизи кривой Г = — Г . Расположение спектра задачи над Г и Г (с учетом утверждения 1 и леммы 1) описывает
Теорем а 2. Для Q(z) = г3 + г и произвольного 5 > 0 существуют 63 = 63(5) > 0 и С(2)(5) > 0 такие, что при б е (0, б3) множество
<АеП: |ЯеА <5, 1тА>- — + 5 I
I зТз ]
При достаточно малых б > 0 нули Д+(А) в окрестности Г согласно утверждению 1 совпадают с нулями аналитической функции
ехр<- е-1/2Г (А) + г-/Н( 1 + Ф5(А)) +
+ ехр <е-1/2 Г (А) 1 + Фб (А)).
Таким образом, спектр рассматриваемой задачи в окрестности Г асимптотически определяется уравнением (6), а соответствующие локализационные формулы задаются (ср. [5]) правилами квантования
1т X
0
-0.1 -0.2 -0.3 -0.4 -0.5 -0.6
-0 7_I_I_I_I_I_I_I_I_I_I
-1.0 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
Яе X
Рис. 2.
не содержит собственных значений задачи (1), (2), а в области
< А е П: |ЯеА| < 5, | + 5 < 1тА < —2- - 5 [■
I зТ3 ]
спектр задачи состоит из однократных собственных значений, находящихся в С2)(5)е-окрестностях
„ Л (2)
нулей Ап
е
-
2/
функции ео8(/б 1/2п+(А)),
занумерованных согласно правилу квантования
,1/2_,„. ^ п е Т.
П+(АП2)) = / в1/2я(п + 1),
3. Риманова поверхность многозначной аналитической функции, обратной к = г3 — г, состоит
± 2
из трех листов с двумя точками ветвления ±-
зТ3
второго порядка каждая. Обозначим через ак(А), к = 0, ±1, определяемые условиями ак(0) = к, ветви функции 0-1(А). В этом случае предельная конфигурация спектра задачи представляет собой (см. [7, рис. 2]) граф с двумя концевыми вершинами — точками А = бифуркации пар корней
зТз
а0(А), а±1(А) соответственно и одним простым циклом, содержащим сдвоенную вершину б(±1). Введем в рассмотрение фазовые интегралы
Г (А) := 5(а-1(А), -1; А),
П (А) := ^(а-1(А), а0(А); А), в терминах которых описывается распределение собственных значений задачи в случае = г3 — г
и, в частности, взаимное расположение ребер Г1, Г2, Г3 соответствующего предельного графа.
Лемма 2. Величины Яе£,—(а + /Ь) и Яеп—(а + /Ь) возрастают по Ь в П+, а линии уровня Яе^Д) = 0 и Яеп—^) = 0 имеют единственную общую точку Л, 1
причем
Л - I + -4 8
< --- . Участок Г первой кривой
функции cos ( /6 1/2£, (X) — - J , которые определя-
ются из соотношений
,1/2
) = /61/2n(n + J), n е Z.
(8)
Согласно утверждению 2, нули А (X) в окрестности Г1 асимптотически при малых 6 > 0 опред
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.