6. Долматов Т. В., Букин В. В., Сахаров К. Ю., Сухов А. В., Гарнов С.В., Терехин В. А. Сверхширокополосный электрооптический преобразователь напряженности импульсного электрического поля // Измерительная техника. 2014. № 10. С. 42—44.
7. Сахаров К. Ю., Туркин В. А., Михеев О. В., Сухов А. В.
Измерительная система для определения характеристик радиопоглощающих материалов методом сверхкоротко-импульсного зондирования // Метрология в радиотехнике: Науч. труды IX Всерос. науч.-техн. конф. ВНИИФТРИ, 2014. С. 153—157.
8. Dobrotvorsky M. I., Sakharov K. Yu., Mikheev O. V., Turkin V. A., Aleshko A. I., Dnischenko V. N. Measuring Instruments of Po werful UWB EMP Param eters // Proc. 3rd Int. Conf. Ultrawideband and Ultrashort Impulse Signals UWBUSIS-2006. Sevastopol, 2006. P. 373—375.
9. Potapov A. A., Podosenov S. A., Foukzon J., Menko-
va E. R. New method for calculating pulsed electromagnetic fields from traveling current waves in complex wire structures // Physics Wave Phenomena. 2011. V. 19. N. 2. P. 112—123.
10. Podosenov S.A., Sokolov A.A., Albetkov S.V. Method for Determing the Electric and Magnetic Polarizability for Arbitrarily Shaped Conducting B o dies // IEEE Trans. Electromagn. Compatibility. 1997. V. 39. N. 1. P. 1—10.
11. Сахаров К. Ю., Туркин В. А., Михеев О. В., Добротвор-ский М. И., Сухов А. В. Измерительный преобразователь напряженности импульсного электрического поля пикосе-кундной длительности // Измерительная техника. 2014. № 2. С. 62—64.
Дата принятия 09.04.2015 г.
550.380
Метод фильтрации сигналов с использованием локальных моделей и функций взвешенного
усреднения
В. Г. ГЕТМАНОВ1-2, Р. В. СИДОРОВ1, Р. А. ДАБАГЯН2
1Гзофизический центр РАН, Москва, Россия, e-mail: v.getmanov@gcras.ru 2Национальный исследовательский ядерный университет «МИФИ», Москва, Россия
Рассмотрен метод фильтрации с применением последовательностей скользящих локальных аппрокси-мационных моделей и функций взвешенного усреднения. Метод использован для фильтрации сигналов координат векторов напряженности геомагнитного поля. Погрешность фильтрации оценена с помощью статистического моделирования.
Ключевые слова: фильтрация, аппроксимация, локальные модели, функции взвешенного усреднения, статистическое моделирование, геомагнитное поле.
A filtration method with application of sequences of sliding local approximating models and functions of the weighed averaging is considered. The results of use of the developed method for filtration of signals observation of coordinates of vectors of geomagnetic field intensity are presented, and by means of statistical modeling, the errors of this offered filtration are calculated.
Key words: filtration, approximation, local models, weighed averaging functions, statistical modeling, geomagnetic field.
Цифровая фильтрация сигналов координат вектора напряженности геомагнитного поля (ГМП) с целью устранения в них шумов — актуальная научно-техническая задача. Для ее решения применяют различные варианты низкочастотных цифровых фильтров (НЦФ): традиционные [1, 2], на основе авторегрессионных моделей со скользящим средним [3], регрессионных моделей [4], с вейвлет-функциями [5, 6] и с регулированием вторых производных и весов [7, 8]. В сигналах ГМП содержатся как низкочастотные составляющие, соответствующие спокойным состояниям поля, так и высокочастотные, возникновение которых связано с магнитными бурями. Поэтому при использовании перечисленных НЦФ для ГМП иногда возникают значительные погрешности
из-за амплитудно-фазовых искажений в исходных сигналах и неточностей задания частоты среза.
В настоящей статье предложен метод фильтрации шумов в сигналах, который усовершенствует подход, описанный в [9—11]. Реализация метода базируется на построении скользящих локальных аппроксимационных моделей (СЛАМ) общего вида и с последующим их сглаживанием функциями взвешенного усреднения (ФВУ). Предлагаемый метод характеризуется малым уровнем амплитудно-фазовых искажений.
Фильтрация на основе локальных аппроксимацион-ных моделей. Рассмотрим постановку задачи фильтрации сигналов с использованием указанных моделей [12, 13].
Положим, что для локального интервала заданы моменты времени i = 0,1,..., N - 1; определим результат наблюдения у(Т1) для исходного сигнала х0(Т/) (исходной временной функции):
у(Т) = Хо(Т) + w(Ti),
(1)
где w(Ti) — случайные (входные) шумы. Примем, что данным наблюдениям ставится в соответствие локальная ап-проксимационная модель общего вида ум(с, Т) с вектором
параметров ~т = (с-|,с2,...,сто) размерностью (т0, 1).
Сформируем функционал S(л,у), результат у°(Т) фильтрации наблюдений получим с помощью решения задачи минимизации
N-1
в(с, у) = X (у(77) - ум (с, 77))2
i=0
с = агдугсп 3(с, у )|, у (77) = ум (с ,77).
Очевидно, оценки, у°(Т/), i = 0,1,..., N-1 должны быть близки к у (Т/). Также будем считать близкими х0(Т/) и ум(с°,Т/). Согласование вида модельной функции ум(с°,Т/) с функциональными особенностями сигнала х0(Т/) позволит значительно снизить погрешности аппроксимации. Среднее квадратическое значение (СКЗ) погрешности фильтрации определим по формуле, которая служит основой вычисления таких погрешностей с помощью статистического моделирования:
Предположим, что результаты наблюдений у(Т/) заданы на большом временном интервале, / = 0,1,..., N1 - 1, на котором образуем последовательность локальных интервалов по N точек, Ny, — их граничные точки; у = 1,2,..., т; у, т — номер и число локальных интервалов.
В общем случае для скользящих локальных интервалов с шагом dN0 (с перекрытием) граничные точки вычислим на основе формул
N1J = dN0(j - 1), = N1j + N -1, у = 1,2,..., т, т = - N)/(dN0) + 1,
где еП обозначает целую часть. Для состыкованных локальных интервалов без перекрытия граничные точки определим как
N1j = N(j - 1), N2j = N1j + N-1, у = 1,2,..., т, т = еп^
Для граничных точек локальных интервалов с единичным шагом скольжения dN0 = 1 получим выражения
N1j = у - 1, N2j = N1j + N -1, у = 1,2,..., т, т = N - N.
Определим локальные модельные функции общего вида:
уМ! (Т/) = УМ! (cj, Т/X < / < N2j,
УМУ (Т/) = ум! (! Т/) = 0, 0 < / < N1!, N2! < / < N - 1,
Сформируем последовательность локальных функционалов на скользящих интервалах:
N-1
=Л ^Х^Ум(с°,77)-Хо(77))2 .
(2)
Для построения линейных локальных аппроксимацион-ных моделей используем соотношения
т0
Ум (с, 7/) = X сг Фг (77),
г=1
где фг (Т/) — система базисных функций; ^ — коэффициенты модели, г = 1,..., т0.
Сформируем матрицу А размерностью (т0, т0) с коэффициентами аге, г, 5 = 1,..., т0 и с учетом результатов наблюдений у (Т/), / = 0,1,..., N-1 вычислим коэффициенты Фурье Ьг, г = 1,..., т0. Оптимальные параметры модели
т
о° = (с°,...,от0) найдем из решения системы линейных уравнений
N-1
агз = ХФг(7/)Фз(7/), г,й = 1,...,то,
/=0
N -1
ЬЛ = ХФг(77)у(7), г = 1,...,то, Ас0 = Ь.
7 = 0
(3)
Фильтрация с использованием СЛАМ и ФВУ. Рассмотрим вычисление последовательностей СЛАМ общего вида.
Цц
5(су, у) = X(у(77) -уМ](с, 77))2.
7=Ыц
Запишем решения последовательности задач минимизации S(Cj,y):
g<!mir
с° = агд|пстS(c^•,у)|, уМу(77) = Ум(^,77), у = 1,2,...,т, (4)
где с у — вектор оптимальных параметров, соответствующий
локальному интервалу с номером у, ^ < / < уМу(77) — локальные модели, у = 1,2,..., т. Оптимальные параметры
СЛАМ с°, с2,..., Ст в общем случае находятся на основе нелинейных алгоритмов.
Для последовательностей СЛАМ с перекрытием реализуем сглаживание посредством ФВУ. Пусть скольжение проводится с единичным шагом, тогда т = N1 - N + 1. Введем ФВУ \М(/,!), определенную в прямоугольнике индексов / = 0,..., N1 - 1,у = 1,2,..., т; результат фильтрации последовательности локальных оценок уМу (77) из (4) на основе взвешивания представим в общем виде
у °(77) = Х^ (7, у )уМу (77).
у=1
Простое усреднение применяется, когда можно допустить, что погрешности локальных аппроксимаций в точке с
номером i являются одинаковыми для всех моделей у°щ (Т/).
Тогда формулы вычисления функции простого усреднения (/,у) примут вид для / = 0,1,..., N - 1:
у = 1,..., / + 1, WE(/,у) = 1/(/ + 1);у = / + 2,..., т, (/,у) = 0;
для / = т - 1:
у = 1,..., / - N + 1, WE (/, у) = 0; у = / - N + 2,..., / + 1, WE (/, у) = Ш; у = / + N + 2,..., т, WE (/, у) = 0;
для / = т,..., NN^ - 1:
у = 1,..., т - N WE (/, у) = 0; у = т - N + 1,..., т, WE (/, у) = (т + N - /)-1.
Результат фильтрации с функцией простого усреднения представим как
N N-1( )2 N-1 N
5(Х, у) = X X (- Х) , X0 = X I (5)у5/,
5=1 /=0 О 2 /=0 5=1
^0 (5) = а - 7 Ха - 2.
/ г=1
Как правило, погрешности аппроксимации больше на концах локального интервала, чем в его центре. В качестве оценки сверху, для неизвестных величин о5 примем функцию
а0п = аМ1 + аМ2 (п - 1), п = ^ N/2:
о05 = о0п, п = 1,..., N/2, э = N/2 + п; о05 = о0п, п = 1,..., N/2, э = N/2 - п + 1.
Параметры оМ1, оМ2 выберем таким образом, чтобы выполнялись неравенства о5 < а05, э = 1,..., N. Окончательно получим
/ N
^0 ( 5 ) = О - 2 ХО - г2 .
г=1
УО(77) = I(!,у)уМу(7!), ! = 0,...,N -1. (5)
У=1
Взвешенное усреднение с функцией Wp (/,у) общего вида применяется, когда можно сделать предположение, что погрешности локальных аппроксимаций в точке с номером / не являются одинаковыми для всех моделей, соответствующих данному номеру.
Введем функцию W0 (э), э = 1,..., N, учитывающую предположение о неодинаковых дисперсиях наблюдений. Приведем эвристические соображения, касающиеся построения этой функции. В основу положим задачу оценивания случайной величины с помощью данных от набора наблюдателей
э = 1,..., N с дисперсиями а2 [14]. Сформируем матрицу наблюдений у5/, / = 0,1,..., N - 1, э = 1,..., N. Оценку х° этой величины с учетом сделанного предположения вычислим на основе минимизации функционала 3(х, у), в котором уравниваются неравноточные наблюдения:
Рис. 1. Секундные наблюдения координаты Нх (Т/) вектора напряженности ГМП
Очевидно, что ФВУ Wp (/,}) = WE (/,у) для всех точек прямоугольника индексов / = 0,..., Nf - 1,у = 1,2,..., т, кроме точек / = N,..., т - 1, у = /' + э - 1, э =
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.