научная статья по теме МЕТОД ФУНКЦИИ ГРИНА ДЛЯ РАСЧЕТА ПОТЕНЦИАЛЬНОГО МАГНИТНОГО ПОЛЯ В АКТИВНЫХ ОБЛАСТЯХ СОЛНЦА С УЧЕТОМ СФЕРИЧНОСТИ Астрономия

Текст научной статьи на тему «МЕТОД ФУНКЦИИ ГРИНА ДЛЯ РАСЧЕТА ПОТЕНЦИАЛЬНОГО МАГНИТНОГО ПОЛЯ В АКТИВНЫХ ОБЛАСТЯХ СОЛНЦА С УЧЕТОМ СФЕРИЧНОСТИ»

АСТРОНОМИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ, 2014, том 91, № 5, с. 409-416

УДК 524.337

МЕТОД ФУНКЦИИ ГРИНА ДЛЯ РАСЧЕТА ПОТЕНЦИАЛЬНОГО МАГНИТНОГО ПОЛЯ В АКТИВНЫХ ОБЛАСТЯХ СОЛНЦА С УЧЕТОМ СФЕРИЧНОСТИ

© 2014 г. В. M. Садыков1,2*, И. В. Зимовец1

1Институт космических исследований Российской академии наук, Москва, Россия

2Московский физико-технический институт (государственный университет), Долгопрудный Московской обл., Россия Поступила в редакцию 17.09.2013 г.; принята в печать 30.10.2013 г.

Получена функция Грина уравнения Лапласа внешней шаровой области для нахождения градиента скалярного потенциала магнитного поля с использованием граничного условия — производной потенциала по заданному направлению. Разработан набор программ, использующих данное решение для расчета силовых линий потенциального магнитного поля в активных областях Солнца по известным граничным данным — компоненте поля по лучу зрения на уровне фотосферы. На модельных граничных данных показана правильность построенного аналитического решения и выбран оптимальный шаг построения силовых линий для реальных условий. Разработанные программы применены к четырем активным областям Солнца. В качестве граничного условия взяты фотосферные магнитограммы продольной по лучу зрения компоненты магнитного поля, полученные магнитографом HMI/SDO. Для отобранных областей восстановлены силовые линии потенциального магнитного поля в хромосфере и короне. Проведено сопоставление восстановленных силовых линий с магнитными петлями, наблюдаемыми прибором AIA/SDO в ультрафиолетовом диапазоне. На основе этого сопоставления обсуждается вопрос о применимости потенциального приближения для описания магнитных полей для различных условий в активных областях Солнца.

DOI: 10.7868/80004629914050053

1. ВВЕДЕНИЕ

Магнитное поле Солнца во многом определяет характер происходящих на нем явлений. Это — основной источник энергии, высвобождаемой в активных процессах в солнечной атмосфере. За минуты, а иногда и за секунды, в этих процессах может выделяться порядка 1032 эрг энергии, запасенной магнитным полем и связанными с ним электрическими токами. Выделяемая энергия передается ускоренным частицам, разогретой выбрасываемой плазме, электромагнитному излучению [1]. Поэтому изучение структуры и эволюции магнитного поля активных областей Солнца представляется важной задачей.

На данный момент надежно определять магнитное поле по наблюдениям удается только на уровне фотосферы, а поля в хромосфере, переходном слое и короне восстанавливаются по этим данным (граничным условиям) различными математическими методами. В данной работе рассмотрено простейшее из приближений для описания магнитного поля

E-mail: viacheslav.sadykov@gmail.com

в солнечной атмосфере — потенциальное приближение. В этом приближении предполагается отсутствие электрических токов, что позволяет описать

поле B через скалярный потенциал ф:

div B = 0 , ,

^ vec B = — grad ф (1)

rot B = 0

При этом основным уравнением для определения поля теперь является уравнение Лапласа для потенциала: Дф = 0.

Методы расчета потенциального магнитного поля можно разделить на два типа. Первый тип — нахождение функции Грина. Потенциал или поле в точке представляет собой свертку полученной функции Грина с граничным условием:

ф(?) = 1 фо(г')Сф0(r, r')dS', r е D, р е S, (2)

S

где D — область существования решения, S — граница этой области, фо — граничное условие. Обычно в качестве граничного условия использует-

САДЫКОВ, ЗИМОВЕЦ Y

Луч зрения

Z

Рис. 1. Рассматриваемые системы координат и их связь.

ся компонента магнитного поля по лучу зрения, измеренная магнитографом на уровне фотосферы. Функции Грина многих классических задач можно найти в [2]. Второй тип методов — методы представления решения в виде разложения по собственным функциям оператора Лапласа [3]. Наиболее используемым является метод сферических гармоник. Строгое корректное решение задачи этим методом получено в статье [4]. Этот метод более удобен для нахождения крупномасштабного поля Солнца. Так как наша задача состоит в нахождении локальных полей активных областей, то интерес представляет первый тип методов.

Первые попытки применения метода функции Грина для расчета магнитных полей на Солнце были сделаны в работе [5]. Автор предполагал, что активная область располагается по центру Солнца и имеет малые по сравнению с ним размеры. Это позволяет пренебречь кривизной поверхности. Компоненту магнитного поля на фотосфере при таких предположениях можно считать перпендикулярной граничной плоскости в каждой точке. Метод был серьезно улучшен в работе [6], где численные ошибки были фактически сведены к минимуму. Решение для наклонных граничных условий (луч зрения не перпендикулярен граничной плоскости, а составляет с ней постоянный угол) для плоскости было получено в статье [7] и подробно освещено в работе [8]. В настоящей работе решается задача, в которой предполагается, что активная область находится в произвольном месте видимой поверхности Солнца, и ее размеры слишком большие для

того, чтобы можно было использовать плоскую геометрию.

2. ПОСТРОЕНИЕ ТОЧНОГО РЕШЕНИЯ Задачу для нахождения потенциального поля во внешней шаровой области с граничными условиями — компонентой поля по лучу зрения на сфере — можно поставить следующим образом:

B(г) = —gгadф(r), r е D, (3)

Аф(т) = 0, r е D,

-Í-Щ(г) = Б1(9,ф), r е S,

где D — внешняя шаровая область, S — граница этой области (в приложении к физике данной задачи — солнечная фотосфера), B¡ — компонента магнитного поля по лучу зрения, известная на фотосфере, ф — скалярный потенциал, задающий

магнитное поле, I — единичный вектор вдоль луча зрения, направленный от солнечной поверхности к измеряющему прибору. Направление луча зрения считается постоянным в каждой точке поверхности. Сферическую систему координат (r, в, ф) будем считать связанной со стандартной декартовой системой (x, y, z) уравнениями

x = r sin в sin ф, (4)

y = r cos в,

z = r sin в cos ф.

Здесь a — радиус Солнца, а ось OZ направлена вдоль вектора I. Оси и соответствующие углы показаны на рис. 1.

В работе [8] решение задачи (3) было найдено. Однако представленная в ней функция Грина для симметричной компоненты граничных условий не является равномерно стремящейся к нулю при удалении на бесконечность, что важно для наличия единственности решения в математическом смысле и физической обоснованности. Она линейно растет при движении вдоль луча зрения, что с точки зрения физики некорректно, поэтому необходимо найти новое решение.

Подействуем оператором на второе уравнение системы (3). Тогда, предполагая функцию ф трижды гладкой, поменяем местами оператор Лапласа и производную. В силу первого уравнения системы (3) под лапласианом возникает г-компонента поля. Граничное условие также поставлено для этой компоненты поля. Добавим к этой системе еще одно уравнение гotB = 0 и получим:

(г) = 0, г е D, (5)

Вх(г) = Б1 (6,ф), г е S, votB(г) = 0, г е S. Эта система соответствует задаче Дирихле на ком-

поненту поля Вх. Решение задачи Дирихле во внешней шаровой области известно [2]:

2п п

0 0

Bz (r) =

(г2 - а2)В1(9',ф') sin 6'(16'(1ф'

| R_ R 13

(6)

Компоненты х и у магнитного поля находятся из последнего уравнения системы (5), выражения (6) и условия стремления компонент поля к нулю при уходе на бесконечность:

г дВх

Bx =

dx

■dz + fi(x,y),

(7)

Bx — 0, z ^<x>,

By =

J +}2(x,y), By-> 0, z^oo.

Итоговое решение может быть представлено в виде функции Грина:

B(R)= j> Bl(r)Gf (r, R')dS', (8)

Sphere

a

Gf (r,R') =

4na

2x(Ii _ lIi) _ 3(x _ x')[(x2 + y2 _ a2)(l2 _ II2) + (I3 _ II3)]

2y(Ii _ lIi) _ 3(y _ y')[(x2 + y2 _ a2)(l2 _ II2) + (I3 _ II3)] x2 + y2 + z2 _ a2

[(x _ x')2 + (y _ y')2 + (z _ z')2]3/2

(9)

I1

I2 =

z z'

' [(x _ x')2 + (y _ y')2][(x _ x')2 + (y _ y')2 + (z _ z')2]i/2 '

(z - z')[3{x - x'f + 3(у - y')2 + 2(z - z')2]

3[(x - x')2 + (y- y')2]2[(x - x')2 + (y- y')2 + (z- z')2]3/2 22

(10)

3=

-2[(x - x')2 + {y- y')2]2z' + [(x - x')2 + {y- y')2][(z - z'f + 3z'2(z - z')] - 2z'2(z' - z) 3[(x - x')2 + (y- y')2]2[(x - x')2 + (y- y')2 + (z- z')2]3/2

1

3

lIi = lim Ii

г^ж (x _ x')2 + (y _ y')2 '

(11)

lI2 = lim I2 =

3[(x _ x')2 + (y _ y')2]2'

2

lI3 = lim I3 =

(x - x')2 + (у - y')2 + 2z 3[{x - x')2 + {у - y')2}2 '

Полученное решение позволяет найти интересующее нас магнитное поле в любой точке во внешней шаровой области, если известен компонент поля по лучу зрения.

Полученную формулу можно представить в более компактном виде, если перейти от координатной записи компонент к векторной. Приведем векторное представление инвариантных частей функции:

Ii _ lIi = _

1

I2 _ lI2 = _

(R + IR )R 2

3 R(R + lR)2(R _lR)

+

1

2

Z—r OO

z—?oo

+

IR

I3 — II3 — —

3R3[R2 — (IR )2 ] (IR)2 + (IR)R + R2 _ 2p 3 R3(R + ÍR)

(lr'Y(2R¿ - m\lR) + (IR) )

3R3(R2 - (IR)2)2 x2 + y2 + z2 — a2 r2 — a2

[(x — x')2 + (y — y')2 + (z — z')2]3/2

R3

Здесь введены векторы R — R — r', R — \R\.

3. ПРИМЕНЕНИЕ ПОЛУЧЕННОГО РЕШЕНИЯ К МОДЕЛЬНЫМ ПОЛЯМ

Компонента магнитного поля по лучу зрения на фотосфере измеряется солнечными магнитографами. В настоящей работе используются наблюдательные данные магнитографа HMI (Helioseismic and Magnetic Imager), работающего на борту космического аппарата Solar Dynamics Observatory (SDO). Прибор HMI имеет угловое разрешение 0.5''/пикс. [9]. Карта магнитного поля разбита на клетки (пиксели), в пределах которых поле считается однородным.

Граничные данные известны не на всей поверхности Солнца, а только лишь на ее видимой стороне. Если активная область не соседствует с другими активными областями, то можно магнитное поле везде положить равным нулю (в том числе и на обратной стороне Солнца), кроме выделенного участка поверхности. Таким образом, граничные условия будут определены на всей поверхности Солнца.

Для численного решения задачи построения силовой линии необходимо вычислить интеграл (8). Способов вычисления интеграла огромное множество, и выбор способа зависит от требований к точности, предъявляемых конкретной задачей. Для построения силовой линии достаточно выбрать самый пр

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.

Показать целиком