Автоматика и телемеханика, № 9, 2009
Обзоры
PACS 02.30.Ks
© 2009 г. А.С. АНДРЕЕВ, д-р физ.-мат. наук (Ульяновский государственный университет)
МЕТОД ФУНКЦИОНАЛОВ ЛЯПУНОВА В ЗАДАЧЕ ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ1
Излагается обзор исследований по устойчивости функционально-дифференциальных уравнений запаздывающего типа методом функционалов Ляпунова.
1. Введение
Функционально-дифференциальные уравнения или уравнения с последействием являются необходимым инструментом конструирования систем управления, математического моделирования физических и экономических процессов, механических и экологических систем.
Впервые наиболее полно эти уравнения были исследованы в трудах выдающегося итальянского математика В. Вольтерра в 20-е г. XX в. [23,24]. Бурное развитие науки и техники в 40-60-е г. потребовало интенсивного развития теории функционально-дифференциальных уравнений (ФДУ) [22,59,96,97]. Работы А.Д. Мышкиса [58] и Л.Э. Эльсгольца [95], в которых излагалось текущее состояние теории, оказали огромное влияние на последующие исследования в этой области.
Выяснилось качественное отличие ФДУ от обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ). Действенное значение в развитии общей теории ФДУ оказала монография [51], в которой была дана трактовка решения ФДУ как интегральной кривой в пространстве К х С. Эта трактовка оказалась плодотворной для многих разделов теории, особенно связанных с асимптотическим поведением решений, она прояснила функциональную структуру ФДУ запаздывающего и нейтрального типов, дала возможность провести глубокие аналогии между теорией таких уравнений и теорией обыкновенных дифференциальных уравнений и показала причины не менее глубоких различий этих теорий, проистекающие, в первую очередь, из бесконечномерности пространства [61]. Фундаментальным трудом, в котором с единой позиции изложены многочисленные вопросы современной теории ФДУ, явилась монография [86]. Большой раздел теории ФДУ занимает устойчивость таких уравнений. К настоящему времени по исследованиям этой проблемы ФДУ опубликовано огромное количество работ. Достаточное представление о них можно получить по обзорам [48,53,60,62,92], по монографиям [25,26,37,46,51,52,59] и др. Основными методами исследования устойчивости решений ФДУ, так же как и ОДУ, являются первый и второй (или прямой) методы Ляпунова. Как известно, первый метод
1 Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект № 08-01-00741) и программы "Развитие научного потенциала высшей школы" (проект № 2.1.1/6194).
состоит в анализе условий устойчивости линейных уравнений и в сведении задачи об устойчивости для нелинейного уравнения к задаче об устойчивости линейного приближения или некоторого укороченного уравнения [55]. Основным методом изучения устойчивости нелинейных ФДУ является прямой метод Ляпунова. Его основой явились работы Н.Н. Красовского [49,50] и Б.С. Разумихина [76]. В [76] проведено обоснование конструктивного применения функций Ляпунова в задаче об устойчивости ФДУ. В [50] дано дополнение к [76] в виде теоремы об асимптотической устойчивости и обосновано применение функционалов Ляпунова в задаче об устойчивости ФДУ.
В настоящем обзоре представлены результаты работ по применению функционалов Ляпунова в задачах устойчивости ФДУ и прежде всего из области исследований автора и его учеников.
2. Определение уравнения. Примеры
Пусть Др - линейное действительное пространство р-векторов х с нормой |х|, Д - действительная ось, к > 0 - заданное действительное число, С - банахово пространство непрерывных функций ^ : [—к, 0] ^ Др с нормой ||<^|| = тах(|<^(в)|, —к ^ в ^ 0). Для непрерывной функции х : [а — Др(а,,б € Д, а < ,6) и каж-
дого 4 € [а,^[ функцию хг € С определим равенством х4(в) = х(4 + в) ( — к ^ в ^ 0), под х(4) будем понимать правостороннюю производную. Пусть Со С С - открытое множество, С = Д х Со, / : С ^ Др есть некоторое непрерывное отображение. Равенство
(1) х(4) = / (4,х()
представляет собой функционально-дифференциальное уравнение запаздывающего типа (с конечным запаздыванием) [86].
Непрерывная функция х : [а — Др называется решением уравнения (1), ес-
ли (4,х4) € С и х(4) удовлетворяет уравнению (1) для каждого 4 € [а,^[. Для заданных а € Д и ^ € С, таких что (а, € С, назовем х(4, а, решением (1) с начальным значением в момент а (с начальной точкой (а, <^)), если существует ,6 > а такое, что х(4, а, есть решение (1) на [а — к, и ха(а, = ^ (х4(а, = х(4 + в, а, <^), —к < в < 0) [86].
Такая классическая трактовка функционально-дифференциального уравнения и его решения в достаточной степени удовлетворяет задачам моделирования в технике, механике и в других естественных науках. Получили существенное развитие и другие подходы в исследованиях уравнений с отклоняющимся аргументом (см. например, [1,2]).
Частными случаями уравнения (1) являются дифференциально-разностные уравнения
х(4) = /(4,х(4),х(4 — Т1 (4)),... ,х(4 — тк(4))), 0 < тк(4) < кк, и интегро-дифференциальные уравнения о
ед = // р,.,*++9(мм).
-к
Пример 1. В. Вольтерра [24] предложил математическое описание явления эредитарности механических систем (физических процессов и т.д.), состоящего
в том, что данное явление зависит не только от настоящего состояния системы (процесса) или ее ближайшего предыдущего, но и от предшествующих ее положений. По этой модели динамика эредитарной системы с п степенями свободы, с кинетической и потенциальной энергиями
T=\q'Aq, П =l-q'Bq, А, В G R™,
(А, В - постоянные матрицы, (•)' - операция транспонирования) под действием обобщенных сил Q описывается уравнениями
í
(2) Aq(t) + Bq(t) + У Ф(г - s)q(s)ds = Q,
О
где Ф = Ф^), Ф £ Rpxp, - матричная функция эредитарности.
Пример 2. Частным случаем уравнения, описывающего изменение соцветия у растения, является уравнение с конечным запаздыванием [86]
Q Ъ
(3) x(t) Н—x(t) Н— sin x(t — h) = 0, a,b = const > 0.
h h
В задачах управления механическими системами появляется более сложное уравнение вида
(4) x(t) + g(t,x(t - h),x(t - h)) + f (t,x(t - h)) = 0.
Самовозбуждающиеся колебания в системе стабилизации корабля описываются уравнением Минорского [77]
(5) x(t) + 2rx(t) + и2x(t) + 2qx(t - 1) = ex3(t - 1).
3. Существование, единственность, продолжимость и динамические свойства решений
Устойчивость ФДУ существенно отличается от устойчивости ОДУ. Это отличие закладывается сразу в свойствах решений ФДУ. Целесообразно описать эти свойства.
Прежде всего заметим, что решение x = x(t, а, ц>) уравнения (1) определяется для любой непрерывной функции ip £ С, такой что (а, ¡p) £ G. Поэтому это решение может не является дифференцируемым при t £ (а-h, а]. Сужение класса начальных функций p может существенно сказаться на свойствах устойчивости для данного уравнения [46].
Важной особенностью определения решения является его непрерывность при t = а, x(a) = p(0). Поэтому в этой точке решение имеет, вообще говоря, разрыв первой производной. Но при t > а решение x = x(t,a,p) является непрерывной дифференцируемой, а для соответствующей функции f при t > а + h может быть дважды непрерывно дифференцируемой и т.д. Этот процесс называется сглаживанием решений [38,46], он широко применяется в численных методах для ФДУ [39].
Таким образом, для каждого 7, а - h < 7 < ¡3, x = x(t, а, p) на отрезке [а - h, 7] представляет собой равномерно непрерывную функцию. Соответственно функция x'г(а, p) есть функция непрерывная по t £ [а, 7] при каждом 7, а < 7 < ¡3, функция x(t, а, p) £ С1 при t £ (а, ¡).
Соответственно решению х = х(4, а, <) можно определить интегральную кривую в Д х Др как множество Ь = {(4,х(4)),4 € [а — к,,6)}, а интегральную кривую в Д х С - как множество I = {(4,х4),4 € [а, ,6)}.
В задаче о существовании, единственности, непрерывной зависимости и продолжимости решения уравнения (1) учитывается свойство некомпактности единичного шара в С и вводятся соответствующие условия относительно функции /(4,<).
Имеют место следующие классические теоремы [86].
Пусть Г С С - открытое множество, — - множество всех непрерывных функций / : Г ^ Др, -о С — - подмножество ограниченных функций. Пространство —о становится банаховым, если ввести норму
||/||о = 8ир(|/(4,<)| при (4,<) € Г).
Теорема 1 (о существовании решения). Пусть функция /о(4, <) : С ^ Др есть непрерывная функция, а К С С - заданное компактное множество. Тогда существуют окрестность Г С С множества К, в котором /о € —о, окрестность и С —о точки /о и число 7 > 0 такие, что для любых (а,<) € Г и / € и на отрезке [а — к, а + 7] существует решение х = х(4, а, <) уравнения х(4) = /(4, х4), начинающееся в точке (а,<).
Теорема 2 (о непрерывной зависимости решения). Пусть (а, <) € С, /о € — и хо(4, а, <) есть решение уравнения х(4) = /о(4,х4), которое существует и единственно на [а —к, ,6]. Пусть К есть компактное множество К = {(4, х°): 4 € [а, ,6]} и пусть Г С С есть окрестность К, в которой функция /о ограничена. Пусть последовательность {(ак,<к,/к)} такова, что ак ^ а, <к ^ ||/к — /о||о ^ 0 при & ^ те.
Тогда решение хк (4, ак, <к) уравнения х(4) = /к (4,х4) существует для всех 4 € € [ак — к, ,6], при этом для любого £ > 0 найдется номер &о(е), начиная с которого последовательность {хк(4, ак, <к)} сходится к решению хо(4, а, <) равномерно на [а — к + £, ,6].
Определяют, что функция / : С ^ Др удовлетворяет условию Липшица по < на каждом компактном множестве К С С, если существует постоянная то = то(К), такая что для любых (4,<), (4, <¿>2) € К выполняется неравенство
(6) |/(4,<2) — /(4,<1)| < то||<2 — <1 У.
Теорема 3 (о единственности решения). Пусть функция / : С ^ Др непрерывна и удовлетворяет условию Липшица по < на каждом компактном множестве К С С.
Тогда для каждой начальной точки (а, < ) € С решение х(4, а, < ) уравнения (1) единственно.
Заметим важность требования условия (6) на компактном множестве К. На другом множестве Г С С это требование может не выполняться.
Пусть х = х(4) есть решение уравнения (1), определенное в интервале [а — к,^[ (^ > а). Решение х = х*(4) называется продолже
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.