КЛАССИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ ЛИНЕЙНОЙ АКУСТИКИ И ТЕОРИИ ВОЛН
534.26
МЕТОД ФУНКЦИЙ ГРИНА В ЗАДАЧЕ ДИФРАКЦИИ ЗВУКА НА УПРУГОЙ ОБОЛОЧКЕ НЕКАНОНИЧЕСКОЙ ФОРМЫ © 2014 г. С. Л. Ильменков, А. А. Клещёв, А. С. Клименков
Санкт-Петербургский государственный морской технический университет 190008 Санкт-Петербург, ул. Лоцманская 3 E-mail: alexalex-2@yandex.ru Поступила в редакцию 09.02.2014 г.
На основе метода функций Грина и динамической теории упругости находится решение задачи дифракции звука на упругих оболочках неканонической формы, составленных из тел сфероидальной, цилиндрической и сферической форм. Выполнен расчет угловых характеристик рассеяния подобных составных тел для различных волновых размеров.
Ключевые слова: дифракция, функция Грина, угловая характеристика, волновой размер, рассеиватель. DOI: 10.7868/S0320791914060069
АКУСТИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ, 2014, том 60, № 6, с. 579-586
УДК
Существует достаточно большое количество методов решения задач по отражению и рассеянию звука телами с неканонической поверхностью. Приведем наиболее известные и часто используемые в исследованиях подобного рода методы: конечных и граничных элементов, метод Купрадзе, Т-матриц, геометрической теории дифракции, интегральных уравнений, функций Грина и т.п. [1—25]. В данной работе используется метод функций Грина [22—25], который был разработан применительно к решению задач дифракции на телах со смешанными граничными условиями и впервые применен в данном исследовании к изучению рассеяния звука упругими телами неканонической формы.
Метод функций Грина является приближенным, поскольку в нем отсутствует учет взаимодействия между отдельными элементами, из которых составлено тело неканонической формы. Расчет взаимодействия рассеивателей в форме сфероидов и эллиптических цилиндров был выполнен в [26, 27] и он показал, что это взаимодействие весьма незначительно. Кроме того, вычисления характеристик рассеяния звука для тел со смешанными граничными условиями по методу функций Грина сравнивались с результатами расчетов по другому приближенному способу — методу Зоммерфельда (методу неопределенных коэффициентов [13, 24]), совпадение характеристик рассеяния звука получилось вполне удовлетворительным.
В качестве неканонических будем рассматривать тела, поверхность которых не может быть отнесена к разряду координатных систем с разделяющимися переменными в скалярном уравнении Гельмгольца. Обратимся к такому неканониче-
скому рассеивателю в форме упругой круговой цилиндрической оболочки конечной длины, ограниченной по торцам половинами вытянутой сфероидальной оболочки (рис. 1). Алгоритм расчета требует знания амплитудно-фазового распределения звукового давления и нормальной составляющей колебательной скорости на некоторой замкнутой поверхности интегрирования состоящей в данном случае из боковой поверхности цилиндрической оболочки Б2 и поверхностей полусфероидальных оболочек ¿1 и ¿3 (см. рис. 1):
Рз(Р) = -1 |"[Рз(О)-дО(Р,О) - 0(Р,(1) дп дп
Б
где рз (Р) — рассеянное телом звуковое давление, Р — точка наблюдения, имеющая сферические координаты г, 9, ф; О — точка на поверхности рз (О) — звуковое давление в точке О; 0(Р, О) — функция Грина свободного пространства, удовлетворяющая неоднородному уравнению Гельмгольца.
В формуле (1) функция Грина выбирается в виде потенциала точечного источника:
в(Р, О) = ехр(/£Я)/Я, (2)
где к = 2я/Х — волновое число, X — длина звуковой волны в жидкой среде, Я — расстояние между точками Р и О. Рассеянное звуковое давление р5 (г, 0,ф) связано с угловой характеристикой Д(0, ф) соотношением [24]:
рх (г, 0,ф) = г ^Д(0, ф)ехр(/£г). С помощью угловой характеристики Д(0, ф) могут быть найдены все другие характеристики отражающей способности рассеивателей [24]: относительное сечение обратного рассеяния, полное сечение рассеяния (с помощью оптической теоремы
Рис. 1. Упругая неаналитическая оболочка, составленная из цилиндрической и сфероидальных частей.
[13]), относительное сечение рассеяния, эквивалентный радиус, сила цели.
Рассмотрим вначале задачу дифракции наклонного падения звуковой волны на упругую полую бесконечную цилиндрическую оболочку [13, 28, 29]. Геометрия задачи представлена на рис. 2. Скалярный потенциал падающей волны Ф, (г,ф, г) единичной амплитуды с волновым вектором к, наклоненным под углом 90 к оси г, разложим по собственным функциям скалярного уравнения Гельмгольца в круговой цилиндрической системе координат:
/////////////////
0
тшптштт
в CN
4///JJJTi//////////////////////)(//, k y
Рис. 2. Упругая бесконечная цилиндрическая оболочка.
Ф' (r, ф, z) = e''fz^ Бm (-)m Jm (kyr) COS Жф, (3)
m=0
где у = к cos 60; kY = к sin 0O; em =
[1 при m = 0, [2 при m Ф 0.
Трансформируем представление для векторного потенциала A, приведенное в [28], введя дополнительный оператор rot, чтобы он автоматически подчинялся калибровочному условию (div A = 0):
A = rot(xk) + rot rot(yk), (4)
где k — единичный орт в направлении оси Z; х и у — скалярные потенциалы Дебая, которые (как можно показать) удовлетворяют скалярному уравнению Гельмгольца:
ДХ + к2Х = 0,
(5)
Ду + = 00 Компоненты векторного потенциала А в соответствии с (4) примут вид
1 д2у
Ar - I
r дф
дг rдфдz
A - 1 дУ д2у
z r дг дг2
r2 дrдz 1 д2у
1 д ¥
' 2 ~ 2 ! r дф
зо
а компоненты вектора смещения U будут равны
U = дФ_ 1 д У 1 д3у 1 д У +
r дг r2 дгдф г дг2дф г3 дф3
, д2х 1 д У дгдг гдфдг2'
1 дФ , 1 д 2х , 1 дУ
Uо = +
1 ду
г дф г дфдг г2 дг дг2 г2 дг
1 д У д У , 2 д У X д У
г дг2
•"n 3 3 ^ 2 2 ^ ^ 2 ■
дг г дф г дгдф
(7)
X = eilZS [Cm (к'г) + DmNm (к'г)]cos Жф,
m=0 о
v = eyzS [Cm (к'г) + FmNm (к'г)]sin жф,
m=1
о
Ф s = ehz S Gm^1 (V )cos Жф,
m=0
(8)
где И = (к1 - к2; к' = (к| - к2; Лт, Бт, Ст, Бт, Ет, ¥т, От — неизвестные коэффициенты, которые находятся из граничных условий:
(1) непрерывность нормальных компонент вектора смещения в упругой оболочке и жидкой среде на внешней границе (г = а):
\1/2
дФ 1 дУ 1 дУ 1 дУ + д 2х дг г2 дгдф г дг 2дф г3 дф3 дг дг
= А (ф i + Ф ,)
(9)
(х + + г -
1 U + -1ТТ +ÔUZ
—- + г Ur +■—z 1 -
дф dz
= -Р0Ш2 (фi +ф,))=e , где р0 — плотность жидкой среды;
(10)
(3) отсутствие нормального напряжения на внутренней поверхности полой оболочки:
(,+ 2,)^ + U + г ,
дг ^ 5ф dz
(4) отсутствие касательных напряжений на обеих поверхностях оболочки:
u+1т )=о г-; «i)
6U.
дг dU„
- , -1 - + г
-1 dUr
дф
- г U- = 0 г=«
г=b
■ + -
dU7
= 0 г =a, .
г=b
(12)
и =дф-1дХ + 1 д у д X 1 д у
г дz г дг г2 дфдг дг2 г2 дфдг
+ I д3у 1 д!х- .1 д3у г дфдzдг г2 дф2 г3 д^дф
Скалярный потенциал оболочки Ф, потенциалы Дебая х и у, а также потенциал рассеянной волны представим в виде разложений по собственным функциям скалярного уравнения Гельм-гольца в круговых цилиндрических координатах:
Ф = в^ £ [т (Иг) + БтНт (Иг)] тф,'
т=0
г дфдz дг
(2) равенство нормального напряжения в упругой оболочке на внешней границе давлению в жидкой среде:
dz дг
Подставляя разложения (3), (8) в (7), а затем и в граничные условия (9)—(12), получим неоднородную систему семи уравнений относительно бесконечного числа неизвестных коэффициентов разложений потенциалов. Используя ортогональность тригонометрических функций cosmty и 8ттф, сведем задачу к отысканию семи неизвестных коэффициентов c фиксированным индексом m: Am, Bm, Cm, Dm,Em, Fm, Gm из семи уравнений (граничных условий) неоднородной системы. Интересующие нас в первую очередь коэффициенты Gm потенциала рассеянной волны можно найти по правилу Крамера из отношения двух определителей седьмого порядка:
Gm = А '/ А, (13)
где А' — минор системы, а А — ее определитель [29]. Выражения для членов данных определителей даны во втором издании [13]. Связь между рассеянным давлением ps и скалярным потенциалом смещения рассеянной волны ФЛ определяется простым и хорошо известным соотношением [13, 24]:
ps = -рш2ф s. (14)
Обратимся теперь к задаче дифракции плоской звуковой волны на упругой вытянутой сфероидальной оболочке [13, 24, 29, 30]. При изучении упругих рассеивателей сфероидальной формы, облучаемых гармонической волной, основополагающими являются уравнение Ламе и вытекающие из него уравнения Гельмгольца (скалярное и векторное) для скалярного Ф и векторного A потенциалов соответственно.
Схема решения осесимметричной задачи дифракции звука на упругом сфероидальном теле (вытянутом или сжатом) весьма схожа со схемой, принятой для цилиндра и сферы. Как и там, векторный потенциал A имеет в этом случае одну ненулевую компоненту A=Аф. Но, в отличие от упругих сферы и цилиндра, неизвестные коэффициенты разложений не находятся в замкнутой форме, а отыскиваются (методом усечения) из бесконечной системы уравнений. Трехмерная задача дифракции на упругом сфероидальном рассеивателе решается с помощью потенциалов Дебая U и V, через
о
которые выражается векторная функция А в соответствии с представлением [13, 24]:
А = го^^Ии + ¡к2гог (ИР), (15)
где И — радиус-вектор точки наблюдения, к2 — волновое число поперечной волны. Эффективность такого представления становится очевидной, если учесть, что потенциалы и и V подчиняются скалярному уравнению Гельмгольца. Удобно сначала записать компоненты А в сферической системе координат, выразив их через и, V и И, а затем по формулам векторного анализа перейти к сфероидальным компонентам.
Выражения для сферических компонент векторной функции А(АЯ, Ад, Ац) через потенциалы Дебая имеют следующий вид [13, 24, 29, 30]:
-2 -1 + п2)]
+
+
Л = [к (^2 х [(д^де^д^дЯ^в/д^2) + + {д^дд1){дПдЯ)(^ 2в/д^дп) + (дфЯ) (дп/д 91) (д 2в/д^дп) + (дц/дЯ) (д'л/д61) (д2Вдц ) + + (дв/ д^)(д \/дЯдв1) + + (дВ/ дп)(д 2^дЯде1 )] + + ,к2 (¡але1 )-1 (дУ/дф), Ая = (д^/дЯ)2 (д2 В д^2) + 2 (д^/дЯ) (дц/дЯ) (д 2в/дцд^) + + (д-п/дЯ)2 (д2вдп ) + (д2^/дЯ2)(дв/д£) + + (/дЯ2 )(дв/ дп) + к22в,
А = (( - 1 + П2)т 61^0 х
х [(д^/дЯ)(д2в/д^дф) + (дп/дЯ)(д2в/дпдф)] - ,к2 [(д^/д61)(дУ/д£) ■ + (д^д61 )(дУ/ дп)],
(16)
+
(17)
(18)
/ 2 2\1/2 где в = Н012, - 1 + п ) и. Сфероидальные компоненты функции А будут равны [13, 24, 29, 30]:
4 = АяФо/кщ2 -1 + пУ2 + + Ав(ко/к^2 -1 + П2)^2(50^ А = АК(ко/кц)ч£2 -1
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.