ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ХИМИЧЕСКОЙ ТЕХНОЛОГИИ, 2015, том 49, № 1, с. 100-106
УДК 62-97
МЕТОД ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИХ МАСШТАБОВ В ЧИСЛЕННЫХ ИССЛЕДОВАНИЯХ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ С ЛУЧИСТЫМ ТЕПЛООБМЕНОМ © 2015 г. А. Л. Сурис
Московский государственный машиностроительный университет (МАМИ)
alsur@bk.ru Поступила в редакцию 11.08.2014 г.
Рассмотрена возможность использования метода характеристических масштабов при построении математических моделей технологических процессов, включающих нестационарный радиационный теплообмен. Приведены результаты исследований процессов нестационарного радиационного теплообмена материалов сферической и цилиндрической формы, наиболее часто используемых при построении математических моделей. Получены зависимости обобщенных переменных при различных параметрах.
Ключевые слова: математические модели, обобщенные переменные, характеристические масштабы, нестационарный радиационный теплообмен.
БО1: 10.7868/80040357115010133
ВВЕДЕНИЕ
При составлении математических моделей для описания различных технологических процессов часто возникает серьезная проблема, связанная с наличием большого количества параметров, что затрудняет получение численных результатов в обобщенном виде [1].
Метод характеристических масштабов является одним из методов обобщенного анализа и в ряде случаев позволяет существенно уменьшить число параметров процесса, а иногда и привести задачу к автомодельному виду. В качестве характеристических масштабов, с помощью которых система уравнений приводится к безразмерному виду, используются некоторые комплексы параметров, вытекающие из структуры уравнений и граничных условий [2, 3].
При составлении математических моделей для процессов термической обработки различных материалов и для описания кинетики процессов в условиях нестационарного изменения профиля температур внутри материала (в том числе катализаторов) часто рассматривают сферическую или цилиндрическую форму частиц. При этом в условиях высоких температур среды, в которой находятся частицы материала, превалирующим становится лучистый теплоперенос, который необходимо учитывать в граничных условиях.
ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
Рассмотрим сферическую частицу радиуса Я, имеющую начальную температуру Т0 и находящуюся в аппарате с постоянной температурой стенки Т. Уравнение нестационарной теплопроводности при этом записывается в виде:
д_ дг
Т(г, т) = а
д Т(г,т) + Т(г,т)
■дг
г дг
(1)
(2)
(3)
Начальное условие:
Т(г, 0) = Т0. Граничное условие:
X|Т(Я,х) = ба[Тз* - Т(Я,х)4], дг
где:
X, а — коэффициенты теплопроводности и температуропроводности материала;
6 — приведенная степень черноты системы (при площади поверхности частицы существенно меньшей площади поверхности стен аппарата гравна степени черноты поверхности частицы); а — постоянная Стефана—Больцмана; г, Я — текущий и внешний радиус частицы, т — время процесса.
Задача (1—3) включает в себя 6 параметров (X, а, е, Я, Т0, Тя).
Вводя характеристические масштабы для радиуса (г* = Я), для температуры (Т* = Т) и для
Таблица 1. Безразмерное время (П), соответствующее заданным значениям Тт при различных величинах и $2 для сферы
Tm\S1 = 0.00001 0.0001 0.001 0.01 0.1 1 10
S2 = 0.2
0.50 10210 1021 102 10.2 1.03 0.11 0.02
0.60 13890 1389 139 13.9 1.40 0.15 0.04
0.70 17960 1796 180 18.0 1.82 0.21 0.07
0.80 22890 2289 229 22.9 2.33 0.28 0.11
0.90 30080 3008 301 30.2 3.08 0.40 0.18
0.95 36520 3652 365 36.6 3.77 0.52 0.25
S2 = 0.3
0.50 6866 687 68.7 6.9 0.69 0.07 0.02
0.60 10540 1054 105.4 10.6 1.06 0.12 0.03
0.70 14620 1462 146.2 14.6 1.48 0.17 0.05
0.80 19540 1954 195.4 19.6 1.99 0.24 0.09
0.90 26730 2673 267.4 26.8 2.74 0.36 0.16
0.95 33170 3317 331.8 33.3 3.43 0.48 0.24
S2 = 0.4
0.50 3480 348 34.8 3.5 0.35 0.04 0.03
0.60 7157 716 71.6 7.2 0.72 0.08 0.04
0.70 11230 1123 112.3 11.2 1.14 0.13 0.05
0.80 16150 1615 161.6 16.2 1.65 0.21 0.08
0.90 23350 2335 233.5 23.4 2.41 0.33 0.15
0.95 29790 2979 298.0 29.9 3.09 0.44 0.22
S2 = 0.5
0.50 0 0 0.0 0.0 0.00 0.00 0.00
0.60 3677 368 36.8 3.7 0.37 0.04 0.01
0.70 7751 775 77.5 7.8 0.79 0.09 0.03
0.80 12670 1267 126.8 12.7 1.30 0.16 0.06
0.90 19870 1987 198.7 19.9 2.06 0.28 0.13
0.95 26310 2631 263.2 26.4 2.74 0.40 0.20
РЕЗУЛЬТАТЫ И ИХ ОБСУЖДЕНИЕ
В таблицах 1, 2 и на рисунках 1, 2 представлены некоторые результаты исследований.
В левой колонке таблиц приведена величина относительной (по отношению к Т*) безразмерной средней температуры сферы (Тт). Ее значение определялось из выражения: 1
Тт(О) = 3 |гг2 ТТ(гг, и)йгг- (8)
о
Величины Т/и То представляют собой относительную (по отношению к Т*) безразмерную температуру на поверхности и на оси сферы соответственно. При $1 = 0.01 значения Т/ и То мало от-
времени (т* = R2/a), задачу (1—3) можно свести к безразмерному виду, содержащему лишь 2 параметра (¿1 и S2):
д TT( rr, tt) = JL TT(rr, tt) + 2 -f TT(rr, tt), (4) дт drr rrdrr
T(rr, 0) = S2, (5)
— TT( 1, tt) - S1 ( 1 - TT( 1, tt)4) = 0 (6) drr
где:
rr = r/r*, TT = T/T*, tt = т/т *,
paTsi R (7)
S1 = ° " R, S2 = T0/T*.
Таблица 2. Значения Т/и То для сферы при различных величинах Тт, и S2
¿1 = 0.1 1 10
Тт Т/ То Т/ То Т/ То
¿2 = 0.2
0.50 0.52 0.47 0.66 0.27 0.936 0.20
0.60 0.62 0.57 0.75 0.37 0.957 0.21
0.70 0.72 0.68 0.82 0.50 0.972 0.26
0.80 0.81 0.78 0.89 0.64 0.983 0.43
0.90 0.91 0.89 0.95 0.81 0.992 0.70
0.95 0.95 0.94 0.97 ¿2 = 0.3 0.90 0.996 0.85
0.50 0.52 0.47 0.65 0.32 0.931 0.30
0.60 0.62 0.57 0.74 0.39 0.954 0.30
0.70 0.72 0.68 0.82 0.50 0.971 0.32
0.80 0.81 0.78 0.89 0.65 0.983 0.45
0.90 0.91 0.89 0.95 0.81 0.992 0.70
0.95 0.95 0.94 0.97 ¿2 = 0.4 0.90 0.996 0.85
0.50 0.52 0.47 0.63 0.40 0.960 0.40
0.60 0.62 0.57 0.74 0.43 0.967 0.40
0.70 0.72 0.68 0.82 0.51 0.972 0.41
0.80 0.81 0.78 0.89 0.65 0.982 0.47
0.90 0.91 0.89 0.95 0.81 0.992 0.70
0.95 0.95 0.94 0.97 ¿2 = 0.5 0.90 0.996 0.85
0.50 0.50 0.50 0.50 0.50 0.500 0.50
0.60 0.62 0.57 0.72 0.50 0.937 0.50
0.70 0.72 0.68 0.82 0.54 0.964 0.50
0.80 0.81 0.78 0.89 0.65 0.981 0.53
0.90 0.91 0.89 0.95 0.81 0.992 0.71
0.95 0.95 0.94 0.97 0.90 0.996 0.85
личаются от Тт в рассмотренном диапазоне изменения Тт, а при < 0.01 эти величины практически совпадают.
Как видно из таблиц и рисунков, с уменьшением параметров ¿1 и ¿2 безразмерное время, соответствующее заданным значениям Тт, возрастает.
Для цилиндра радиуса Я формулировку задачи в безразмерном виде с использованием характеристических масштабов можно представить в следующем виде.
Безразмерное уравнение нестационарной теплопроводности для цилиндра:
tt
д TT(rr, tt) = — TT(rr, tt) + 1 д
дт
drr
rrdrr
TT(rr, tt). (9)
Начальное и граничное условия для безразмерных переменных аналогичны выражениям (5) и (6), в которых параметры ¿1, ¿2, а также величины ТТ и И определяются из соотношений (7). Характеристические масштабы для температуры (Т* = К), радиуса (г* = Я) и для времени (т* = Я2/а) также аналогичны.
В таблицах 3, 4 и на рисунке 3 представлены некоторые результаты исследований.
Безразмерная средняя температура цилиндра определялась из выражения:
1
Тш(П) = 2 \ггТТ(гг, П)¿гг.
0
Как видно из таблиц и рисунков характер зависимостей остаeтся таким же, как и для сферы. Однако безразмерное время при одинаковых значениях Тт, ¿1 и ¿2 у цилиндра больше.
Используя известные значения исходных параметров, реальные величины температуры и времени определяются для конкретных значений ¿1 и ¿2 путeм умножения безразмерных переменных П, гг и ТТ на характеристические масштабы т*, Я и К соответственно.
При использовании модели, предполагающей одинаковую по радиусу сферы и цилиндра температуру в каждый момент времени, дифференциальные уравнения, описывающие изменение температуры во времени, в безразмерной форме имеют вид:
для сферы:
й
— TT = 3 [ 1 - TT4 ] dtt
для цилиндра:
d (dtt
TT = 2 [ 1 - TT4 ].
(10)
(11)
Начальное условие записывается в виде:
TT(0) = S2, (12)
где
TT = T/T*, tt = т/т*, S2 = T0/T*
0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0
" -S2 = 0.2 - - S2 = 0.3
- -S2 = 0.4 ...... S2 = 0.5 ' X ','
| ___ " S .<* 1 1 1
0.50
0.60
0.70
0.80
0.90
0.95 Tm
Рис. 1. Безразмерное время прогрева в зависимости от безразмерной средней температуры сферы (¿1 = 1).
Ti
1.0 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2
- Tm
- - Tf ...... To
_l_
0.07
0.12
0.17
0.24
0.36
0.48 tt
Рис. 2. Безразмерные температуры сферы в зависимости от безразмерного времени прогрева (¿1 = 1; ¿2 = = 0.3).
-S2 = 0.2 - - S2 = 0.3
- - -S2 = 0.4 ...... S2 = 0.5
- «к к* л»
Ж. """ ■••"' 1 „ ■ - | 1 1
0.50 0.60 0.70 0.80 0.90 0.95
Тт
Рис. 3. Безразмерное время прогрева в зависимости от безразмерной средней температуры цилиндра (¿1 = 0.1).
Характеристические масштабы для времени и температуры в этом случае определяются следующим образом:
= PCR
saTs
tt
*
т
Таблица 3. Безразмерное время (Щ, соответствующее заданным значениям Тт при различных величинах $1 и $2 для цилиндра
Тт\$1 = 0.00001 0.0001 0.001 0.01 0.1 1 10
$2 = 0.2
0.50 15320 1532 153 15.3 1.54 0.17 0.04
0.60 20840 2084 208 20.9 2.10 0.24 0.08
0.70 26950 2695 269 27.0 2.73 0.33 0.12
0.80 34330 3433 343 34.4 3.50 0.45 0.20
0.90 45120 4512 451 45.3 4.65 0.64 0.32
0.95 54790 5479 548 55.0 5.70 0.84 0.45
$2 = 0.3
0.50 10300 1030 103 10.3 1.04 0.11 0.03
0.60 15810 1581 158 15.8 1.60 0.18 0.06
0.70 21 930 2193 219 22.0 2.23 0.27 0.10
0.80 29310 2931 293 29.4 3.00 0.39 0.17
0.90 40100 4010 401 40.2 4.15 0.59 0.30
0.95 49760 4976 498 50.0 5.20 0.78 0.42
$2 = 0.4
0.50 5222 522 52 5.2 0.53 0.06 0.01
0.60 10730 1073 107 10.7 1.09 0.13 0.04
0.70 16850 1685 168 16.9 1.72 0.21 0.08
0.80 24230 2423 242 24.3 2.49 0.33 0.14
0.90 35020 3502 350 35.2 3.64 0.53 0.27
0.95 44680 4468 447 44.9 4.68 0.72 0.40
$2 = 0.5
0.50 0 0 0 0.0 0.00 0.00 0.00
0.60 5517 552 55 5.5 0.56 0.07 0.02
0.70 11630 1163 116 11.7 1.19 0.1
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.