МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА < 4 • 2008
УДК 539.3
© 2008 г. В.Г. БАЖЕНОВ, В.Л. КОТОВ
МЕТОД ИДЕНТИФИКАЦИИ УПРУГОПЛАСТИЧЕСКИХ СВОЙСТВ ГРУНТОВЫХ СРЕД ПРИ ВНЕДРЕНИИ УДАРНИКОВ
На основе сочетания физического и математического моделирования процессов удара и проникания цилиндрических стержней разработан расчетно-экспериментальный метод идентификации деформационных и прочностных характеристик грунтовых сред в широком диапазоне изменения давлений. В результате определяются параметры уравнения состояния, при которых рассогласование экспериментальных и теоретических результатов гарантированно не превосходит ошибку эксперимента. Эффективность метода демонстрируется решением задачи идентификации параметров сопротивления песчаного грунта сжатию и сдвигу при скоростях внедрения до 1 км/с.
Исследованию процессов удара и проникания тел в грунтовые среды посвящено большое количество теоретических и экспериментальных работ. Были предложены [1, 2] аналитические методы решения задач проникания тел вращения в грунты с использованием упрощенных представлений о динамическом поведении грунта. Экспериментально оценивались такие характеристики проникания осесимметричных тел, как сила и коэффициент сопротивления внедрению, ускорение, глубина проникания и другие параметры. Эксперименты в зависимости от постановки можно разделить на прямые [3-5] и обращенные [5, 6]. В работе [4] наряду с анализом процесса проникания представлен метод динамического внедрения для определения сопротивления сдвигу глинистого грунта (упругопластической среды с условием пластичности Треска - Сен-Венана).
Значительное количество экспериментальных работ посвящено анализу динамических свойств мягкого грунта [7-9]. Известны [7] результаты полевых экспериментальных исследований взрывных волн в песчаных грунтах нарушенной и ненарушенной структуры при давлениях до ста атмосфер. В динамических испытаниях [8] образца грунта в упругой обойме, оснащенной тензодатчиками, получена информация о сопротивлении грунтовых сред сжатию и сдвигу при давлениях порядка тысячи атмосфер. В плосковолновых экспериментах [9] достигаются давления свыше десяти тысяч атмосфер, но определяется лишь сжимаемость грунтовой среды (ударная адиабата). Таким образом, эффективные методы исследования упругопластических свойств грунтовых сред в широком диапазоне давлений на сегодняшний день отсутствуют.
В последние годы на основе известных моделей грунтов [1, 10, 11] развиваются численные методы исследования процессов удара и проникания в грунт деформируемых тел [11-13]. Проведение численного моделирования в постановке, соответствующей динамическому эксперименту, позволяет оценить правомерность гипотез и допущений, использующихся при обработке результатов эксперимента, и в то же время определить параметры модели, при которых результаты расчетов наилучшим образом согласуются с экспериментом [14].
Ранее [13-15] проводился анализ чувствительности силы сопротивления внедрению в грунт к изменению параметров модели мягкой грунтовой среды. Установлено, что характерные особенности силы сопротивления от времени позволяют использовать максимум силы для определения динамической сжимаемости грунта [15], а квазистационарное зна-
чение - для идентификации прочностных (упругопластических) характеристик грунтовой среды. Предложен подход [14], позволяющий свести решение обратной задачи идентификации к последовательному решению ряда прямых задач, и, в конечном итоге, получить необходимые функциональные зависимости математической модели в дискретном виде с шагом дискретизации, определяемым имеющимися экспериментальными данными.
В данной работе рассмотрены два подхода к решению задачи идентификации параметров динамического сопротивления грунтовых сред сжатию и сдвигу. В первом подходе функция пластичности определяется в дискретном представлении, которое существует практически для любого мягкого грунта, но требует проведения достаточно большого числа экспериментов. Во втором подходе, требующем большего объема вычислений, используется аналитическое представление зависимости динамического сопротивления сдвигу в виде дробно-рациональной функции, зависящей от набора параметров, имеющих ясный физико-механический смысл сцепления, угла внутреннего трения и предельного сопротивления сдвигу. Идентификация этих параметров проводится с позиций интервального анализа, что позволяет одновременно учесть погрешности эксперимента и численного моделирования и в итоге получить интервалы допустимого изменения вектора искомых параметров модели при минимальном числе экспериментов.
1. Математическая модель [1] динамики мягкой грунтовой среды записывается в цилиндрической системе координат roz (oz - ось симметрии) в виде системы дифференциальных уравнений:
dp/dt + р( ur, r + uz, z) = -(р ur) / r pdUr/dt - Orr, r - °rz, z = (°rr - °ee)/r Pduz/dt - Orz, r - Ozz, z = (Orz)/r DjSj + XH(J2 - 1/3/\(p))Sij = 2Gej (i, j = r, z) dp*/dt = dp/dtH(p - p*)H(dp/dt) и конечных соотношений
p = / i(p, p*) H (p*- p) H (p0 - p) (1)
J2 = 1/3/2(p), J2 - 1/2SijSij (2)
где H - функция Хевисайда; t - время; p0, p и p^ - начальная, текущая и максимальная плотность, достигнутая в процессе нагружения; ui, Oj, sij, e¡j - компоненты вектора скорости, тензора напряжений Коши и девиаторов тензоров напряжений и скоростей деформаций соответственно (i, j = r, z); p - давление; DJ - производная Яумана; d/dt - полная производная по времени; G - модуль сдвига грунтовой среды; J2 - второй инвариант тензора напряжений в условии пластичности Мизеса-Шлейхера. Символ после запятой обозначает дифференцирование по соответствующей переменной, по повторяющимся индексам производится суммирование, неизвестные функции/ и/2 подлежат определению.
2. Решение задачи идентификации параметров уравнения состояния грунтовых сред (1), (2) целесообразно [14] осуществить на основе сочетания обращенных экспериментов с использованием мерного стержня [5, 6] и численного моделирования процессов удара и проникания цилиндрических стержней в грунтовые среды [13]. При этом необходимо регистрировать изменение силы сопротивления внедрению от времени на поверхности мерного стержня только в одном сечении вблизи ударяемого торца.
Процесс проникания состоит из двух стадий - нестационарной и квазистационарной. На нестационарной стадии наблюдается рост силы сопротивления до максимума с последующим падением до квазистационарного значения. Ранее показано [14], что оптимальным для решения задачи идентификации параметров уравнения состояния грунтовой
среды является выбор цилиндрических ударников с плоским торцом, время нарастания силы сопротивления которых минимально, а различие между силами сопротивления внедрению на начальной и квазистационарной стадиях максимально. Особенности зависимости силы сопротивления от времени позволяют использовать максимум силы для определения динамической сжимаемости грунта, а квазистационарное значение - для идентификации сдвиговых характеристик грунтовой среды. Для ударников с иной формой головной части отмеченные особенности изменения силы сопротивления во времени сглаживаются.
2.1. Приведенная математическая модель грунтовой среды содержит инвариантную зависимость (1) давления от плотности. Большинство динамических экспериментов [9, 15], как отмечалось выше, направлено на получение ударной адиабаты (УА) мягких грунтов в виде близкой к линейной зависимости Б(и) скорости УВ от массовой скорости за фронтом волны (в диапазоне скоростей удара 80-100 м/с):
Б = А + Ьи (3)
Из линейной зависимости (3) и законов сохранения массы и импульса следует зависимость напряжения от относительного изменения объема
о =-р0 А2 е / (1- Ье)2, 1- р0/р
полученная ранее [9] в диапазоне напряжений 0.1-5 ГПа. Здесь А соответствует скорости продольной волны в грунте при р = р0, Ь характеризует предельную сжимаемость грунта. УА мягкого грунта может быть также получена по данным обращенных экспериментов с использованием зависимости максимума силы сопротивления от скорости удара [15].
В условиях квазиодноосного деформированного состояния, имеющего место при получении УА, с учетом условия пластичности (2), получаем
0 = -(1+2/3 /2/р) р
2 2 2 2 (4)
/1 = р0а е/(1 - Ье)2, а = А2/(1 + 2/3/2/р)
При давлениях от 0.1 ГПа величина /2/р, соответствующая в (4) углу внутреннего трения в грунте, обычно полагается постоянной [1, 2, 7], при больших давлениях - близкой к нулю [16].
Таким образом, задача идентификации параметров модели грунта при известной ударной адиабате с учетом соотношения (4) сводится к определению зависимости напряжения внутреннего трения от давления.
2.2. Искомую зависимость определим минимизацией функционала, описывающего суммарное среднеквадратичное рассогласование теоретических и экспериментальных данных в некотором диапазоне скоростей
1 ^ - - (5)
к = 1 (П )2
Здесь - экспериментально полученная сила сопротивления внедрению с начальной скоростью Ук; ¥к - квазистационарное значение силы сопротивления, полученное в расчетах с той же скоростью.
Для приближенного решения поставленной задачи оптимизации представим функцию текучести в дискретном виде
/2(р) = /2-1 + ак(р -рк-1), рк-1 < р < рк, к = 1, N (6)
определив узлы дискретизации таким образом, чтобы выполнялось условие
- П\/П <5
где 5 - заданная малая величина. Для этого в численном расчете для скоростей удара V = Ук > Ук _ ! уточняется угол наклона ак очередного звена ломаной (6) до совпадения расчетных и экспериментальных значений сил сопротивления на квазистационарной стадии внедрения. Корректировку угла наклона каждого звена ломаной (6) осуществляем пропорционально различию экспериментальных и расчетных данных:
г + 1 Р*- Р0 (а = 0) ; .
ак = -----¡5-ак , 1 = 1
^ (ак) - Ла = 0)
Здесь г _ номер итерации. Начальное значение угла а^ при к = 1 определяется приближенной формулой [2] для силы сопротивления Р на квазистационарной стадии, а^ = ак -1 при к > 1. Опорные значения давлений р кусочно-линейной функции /2(р) можно определить при численном решении задачи как среднее давление на ударяемом торце стержня или в одномерном приближе
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.