ОПТИКА И СПЕКТРОСКОПИЯ, 2007, том 103, № 1, с. 44-51
МНОГОЧАСТИЧНЫЕ ПРОБЛЕМЫ КВАНТОВОЙ ОПТИКИ И КВАНТОВОЙ ИНФОРМАТИКИ
УДК 535.14
МЕТОД КОЛЛЕКТИВНОГО ПОВЕДЕНИЯ В МОДЕЛИРОВАНИИ КВАНТОВОЙ ДИНАМИКИ МНОГИХ ТЕЛ
© 2007 г. Ю. И. Ожигов, А. Ю. Ожигов
Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова, 119992 Москва, Россия Физико-технологический институт РАН, 117218 Москва, Россия E-mail: ozhigov@cs.msu.su Поступила в редакцию 12.10.2006 г.
С помощью метода коллективного поведения квантовая динамика представлена как результат взаимных превращений роя классических экземпляров квантовых частиц, а диффузионный метод Монте-Карло обобщен на случай квантовой динамики многих тел и проиллюстрирован на примере уравнения Шредингера. Показано, что диффузионное представление кулоновского поля дает линейную сложность моделирования многочастичной системы в отличие от традиционного метода квадратичной сложности. Указан также простой способ описания запутанных состояний любой сложности с помощью реакций объединения экземпляров квантовых частиц.
PACS: 42.50.Dv, 45.50.Jf
ВВЕДЕНИЕ
Описание динамики сложных систем из многих частиц невозможно без учета квантовых эффектов. Запутанные состояния представляют собой один из самых существенных эфффектов такого рода. Вместе с тем стандартный многочастичный квантовый формализм, основанный на представлении квантового состояния системы п частиц как
вектора в пространстве Ж = (п. = 1 Ж^, являющемся тензорным произведением всех одночастич-ных пространств, не дает рецепта для построения вычислительного алгоритма. Причина в том, что размерность dim(Ж) = йт(Ж1)йт(Ж2)...&т(Жп) растет экспоненциально с увеличением числа частиц в системе. Естественно, что если этот формализм адекватен, то для моделирования физики не подходят классические компьютеры вообще, а необходим компьютер квантовый [1-3]. Эксперименты с прототипами квантового компьютера пока не дошли до практической реализации квантовых вычислений в пространстве Ж для достаточно больших п (для демонстрации превосходства над классическими машинами надо по крайней мере 40 кубитов, а с учетом квантовой коррекции ошибок это число возрастет примерно на 4 порядка [4]). Это не только делает предпочтительной стратегию моделирования квантовых систем на классических компьютерах, но и позволяет считать такое моделирование более адекватным природе квантовых задач [5, 6].
В целом такой подход к квантовой физике можно назвать алгоритмическим. В нем эффективные классические алгоритмы считаются ис-
точником первых принципов. Важно то, что алгоритмический подход не является интерпретацией квантовой теории (в отличие, например, от [7-9]). Его надо, скорее, рассматривать как модификацию ее математического аппарата. При этом мы принимаем, что любую квантовую эволюцию можно моделировать на классических компьютерах с помощью классических же алгоритмов, требующих не более чем полиномиального (или даже линейного - в терминах машин Тьюринга) от п времени. Разумеется, это означает существенное урезание многочастичного гильбертова формализма, в частности, отказ от идеи о масштабируемом квантовом компьютере. Алгоритмический подход, таким образом, допускает опровержение: для этого достаточно построить полномасштабный (100 или более логических кубитов) квантовый компьютер1.
Но алгоритмический подход имеет и большие плюсы. Например, он позволяет дать единое описание квантовой динамики, без ее подразделения на унитарную эволюцию и измерения [10]. При этом получается, что декогерентность является следствием ограниченности классической памяти при описании сложных квантовых состояний. То есть декогерентность является не столько влиянием окружения, сколько свойством, изначально присущим самой системе квантовых частиц, кото-
1 Реальные эксперименты пока далеки от этого. Получае-
мые в них состояния ЭПР-типа |00...0) + |11...1) + ... + |кк. ..к), равно как и состояния Ш вида |100...0) + |010...0) + ... + |000...1) или их линеаризованные варианты, требуют
линейного расхода классической памяти и потому совершенно не достаточны для построения полномасштабного квантового компьютера.
рое проявляется при быстром росте числа частиц, вовлеченных во взаимодействие с рассматриваемой системой. Эта ситуация и может быть названа измерением (хотя здесь нет качественной границы с унитарной эволюцией в приближении классического компьютера, как при численном моделировании шредингеровской эволюции). Интересно, что такая трактовка измерения дает классическую урновую схему для правила Борна Р = |¥|2 [5], т.е. сохраняет предсказательную силу квантовой физики. Вместе с тем она устраняет из теории источник контр-интуитивности, состоящей в присутствии абстрактного наблюдателя, статус которого не только неясен, но и не может
быть сделан ясным при сохранении гильбертова 2
формализма .
Другой плюс алгоритмов в том, что этот язык позволяет явно описать возможные механизмы квантовой динамики, в частности запутывания, т.е. те механизмы, которые в стандартном алгебраическом представлении волновой функции как
у¥(г1, г2, ..., О просто не могут быть определены3.
Третий, самый главный плюс алгоритмов состоит в том, что они позволяют сделать сложную квантовую динамику доступной визуальному анализу. Визуализация - необходимое свойство алгоритмического описания динамики. Работу (классического) алгоритма в общем случае нельзя предсказать заранее (даже если бы в нашем распоряжении был квантовый компьютер, этого нельзя было бы сделать [11]). Поэтому единственный универсальный способ представления эволюций здесь - это визуализация, т.е. построение видеофильмов. Мы также будем использовать этот прием для верификации моделирующих программ (см. ниже).
Простейший способ перейти к алгоритмическому описанию, непосредственно дающий правило Борна, - предположить, что амплитуда не может быть меньше некоторого положительного значения е > 0 (или вообще квантуется). Мы рассматриваем более конкретный способ построения алгоритмов: метод коллективного поведения.
МЕТОД КОЛЛЕКТИВНОГО ПОВЕДЕНИЯ
Метод коллективного поведения (или метод роя) является простейшим и наиболее наглядным путем для алгоритмизации квантовой теории. Переход от единственной частицы к рою представляющих ее экземпляров представляется одним из
2 Мы не намерены здесь развивать эту тему и отсылаем интересующегося читателя к массе соответствующей литературы, из которой упомянем только книгу [10].
3 С этим пробелом гильбертова формализма может быть связано, например, то, что теория фазовых переходов Ландау является феноменологической. То же предположение можно сделать и для теорий сверхпроводимости.
самых простых путей преодоления контр-интуи-тивности, присущей основам квантовой теории. При некоторых дополнительных предположениях на основе этой идеи можно построить алгоритм для моделирования динамики с линейной сложностью по числу частиц в рассматриваемой системе.
Роевое представление частиц и полей
Квантовую частицу мы будем представлять в виде множества (роя) классических частиц вида
5 = {52,..., 5к}, (1)
где каждый элемент Sj называется экземпляром рассматриваемой квантовой частицы и имеет определенные пространственно-временные координаты ¿(5), х (5) в конфигурационном пространстве-времени, соответствующем этой частице, а также некоторые вспомогательные параметры а^), Р(5,), 7(5), ....
Рой можно хранить в виде поля. Разделим конфигурационное пространство на клетки С, и в каждой клетке найдем число всех экземпляров Sj, для которых а^) = а0. Тогда получится натуральное число, выражающее интенсивность скалярного поля Ра = а , которое соответствует выбранному значению а0 параметра а. Если а1, а2, ..., аг -какие-то значения параметра а, то набор соответствующих им полей Ра = а , / = 1, 2, ..., I, называется векторным полем, и его интенсивность в каждой точке будет вектором из натуральных компонент4. Хранение интенсивности поля дает экспоненциальный выигрыш по сравнению с хранением массива экземпляров. Однако для представления динамики нам необходимо именно понятие экземпляра частицы. Полем будем называть представление квантовой частицы или нескольких частиц в виде массива значений интенсивности во всем конфигурационном пространстве в том случае, когда параметры экземпляров этой частицы нас интересуют меньше самой интенсивности5. В том частном случае, когда квантовая частица сосредоточена в некоторой клетке нашего разбиения конфигурационного
4 Надлежащей нормировкой всегда можно привести натуральные числа к вещественным.
5 То есть разница между полем и частицей только методическая. Например, скалярные фотоны удобнее представлять в виде единого поля, а векторный потенциал - в виде отдельных фотонов, так как в случае скалярного кулонов-ского поля поляризация фотонов параллельна направлению их распространения и не несет никакой дополнительной информации по сравнению с их общим числом, а в случае векторных фотонов поляризация ортогональна вектору импульса, и она несет принципиальную информацию, определяя электрическое и магнитное поля, создаваемые такими фотонами.
пространства, мы будем называть ее классической частицей. Таким образом, классичность частицы зависит от разбиения конфигурационного пространства-времени.
Роевое представление системы из п частиц и I полей имеет вид набора векторов
1 2
■*раг
= {5 , 5 , 5 }, У = {у 1, У 2, ..., УI}, (2)
где §раг - рои экземпляров частиц, у - рои экземпляров полей. Эволюция представления (2) во времени определяется набором 2Г правил превращения частиц, каждое из которых имеет вид
^, —► , ^к,> •••> ^к„, (3)
^2'
где Vh ,
, V^ и V^ , Vкг , ..., Vк - группы исходных и результирующих экземпляров частиц и полей, которые могут принадлежать разным роям, но удовлетворяют следующему требованию локальности. Координаты экземпляров обеих групп в соответствующих конфигурационных пространствах получаются друг из друга простым правилом, которое мы будем называть правилом локального соответствия. В простейшем случае правило локального соответствия состоит в том, что все их координаты должны совпадать, т.е. взаи
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.