АСТРОНОМИЧЕСКИЙ ВЕСТНИК, 2014, том 48, № 3, с. 229-233
УДК 521.31; 521.32; 521.35
МЕТОД ОПРЕДЕЛЕНИЯ ОРБИТ МАЛЫХ ТЕЛ СОЛНЕЧНОЙ СИСТЕМЫ, ОСНОВАННЫЙ НА ПЕРЕБОРЕ ОРБИТАЛЬНЫХ ПЛОСКОСТЕЙ
© 2014 г. Ю. С. Бондаренко, Д. Е. Вавилов, Ю. Д. Медведев
Институт прикладной астрономии РАН, С.-Петербург Поступила в редакцию 21.01.2013 г.
Разработан универсальный метод определения орбит вновь открываемых малых тел Солнечной системы по позиционным наблюдениям. В предлагаемом методе геоцентрические расстояния малого тела находятся путем перебора гелиоцентрических орбитальных плоскостей и последующим определением расстояний от наблюдателя до точек пересечения выбранной плоскости с векторами направления на объект. Далее, исключая заведомо маловероятные гелиоцентрические расстояния, классическим методом Гаусса определяются остальные элементы орбиты. По полученным системам элементов находятся значения среднеквадратических уклонений наблюденных положений от вычисленных. Системы элементов, дающие наименьшие среднеквадратические уклонения, считаются наиболее вероятными для вновь открытого малого тела. Затем эти элементы уточняются дифференциальным методом.
DOI: 10.7868/S0320930X14030013
ВВЕДЕНИЕ
Быстрый рост числа вновь открываемых астероидов и комет, различные типы их орбит, количество и точности имеющихся наблюдений заставляют исследователей применять различные методы для определения предварительных орбит малых тел. В то же время задача предотвращения столкновений астероидов и комет с Землей требует оперативного и, по возможности, надежного определения орбит вновь открытых малых тел Солнечной системы. Кроме того, в случаях, когда имеющиеся наблюдения не позволяют однозначно определить элементы орбиты, возникает необходимость рассмотрения всей совокупности возможных орбит, согласующихся с имеющимся набором наблюдений, для того чтобы рассчитать вероятность столкновения этого вновь открытого малого тела с Землей для каждой из таких орбит. Применение классических методов Гаусса или Лапласа (Субботин, 1968), а также их модификаций (Escobal, 1965; Херрик, 1977; Battin, 1987; Кузнецов, 2012) вызывает определенные затруднения в указанных случаях. В частности, встречаются случаи, когда орбиты, полученные этими методами, в дальнейшем не улучшаются (итерации в дифференциальном методе расходятся), поэтому приходится довольствоваться этой предварительной орбитой или орбитами, если решений несколько. При этом нет уверенности, что полученная предварительная орбита является единственной удовлетворяющей всей совокупности имеющихся наблюдений. Решение этого вопроса приходится откладывать до появления новых наблюдений, позволяющих
улучшить орбиту. В данной работе представлен универсальный метод, позволяющий определять орбиту, имеющую наименьшее значение среднеквадра-тической ошибки представления всех имеющихся наблюдений, и разработанный для определения орбит малых тел любого типа.
ОПИСАНИЕ МЕТОДА
Универсальный метод определения орбит малых тел Солнечной системы является двухэтап-ным. На первом этапе определяется невозмущенная предварительная орбита. Пусть имеются n > 3 позиционных наблюдений тела: моменты времени tj (j = 1, n), прямые восхождения ау- и склонения dj. Тогда единичные векторы Lj направления на тело в экваториальной топоцентрической системе координат будут иметь следующий вид:
Lj = (cos ау cos 5j, sin ay cos sin ), j = 1, n.
Связь гелиоцентрических и топоцентрических векторов положений небесного тела задается уравнениями:
Xj = PjLj + ^ j = 1 n,
где Xj — гелиоцентрические векторы положения небесного тела, р- — топоцентрические расстояния и Ej — гелиоцентрические векторы положения наблюдателя.
Таким образом, для нахождения векторов Xj необходимо знать топоцентрические расстояния р,-.
4
229
Обычно значения этих векторов находятся решением системы нелинейных уравнений. Как правило, решение таких уравнений находится итерациями, причем с типом орбиты приходится определяться заранее, поскольку для разных типов орбит применяются разные формулы, что не всегда удобно. Кроме того, итерации, в некоторых неблагоприятных случаях, таких как неравномерное распределение или наличие ошибочных наблюдений, могут расходиться, что делает невозможным нахождение элементов орбиты малого тела.
В разработанном методе вместо итераций значения топоцентрических расстояний ру- предлагается находить путем перебора углов наклона I и долготы восходящего узла О плоскости гелиоцентрической орбиты. В этом случае значения ру- находятся как длины отрезков векторов направления Ц на объект от наблюдателя до его пересечения с плоскостью, имеющей выбранный наклон и долготу восходящего узла. Величины ру- определяются формулой:
( N, E: )
(N, Lj)
где N = ( sin i sin Q, - sin i cos Q, cos i) — вектор нормали к плоскости орбиты.
Далее, на моменты времени наблюдений вводятся поправки за аберрацию 1 р.-, где c — ско-
c
рость света, и выбираются два опорных наблюдения. Как правило, это первое и последнее наблюдения по времени, но могут быть и другие комбинации, особенно в тех случаях, когда одно из выбранных наблюдений имеет большую ошибку. Затем с использованием метода Гаусса для определения элементов орбиты по двум гелиоцентрическим положениям и моментам времени (Субботин, 1968) находится орбита. И, наконец, вычисляются разности между наблюденным и вычисленным положением тела (О—С) и определяется значение среднеквадратической ошибки представления наблюдений:
а =
I n
2П s (aj- aC ) 2cos28/+(5j- 8yc )2'
' j = 0
С с* С
где а, оу- — вычисленные экваториальные координаты небесного тела.
Так поступаем с каждой из выбранных плоскостей и среди вычисленных значений среднеквад-ратической ошибки а выбираем наименьшее. Элементы орбиты, дающие наименьшие а, считаются наиболее вероятными. В случаях, когда имеется несколько орбит с близкими значениями а и сильно различающимися наборами элементов,
рассматриваются несколько возможных вариантов орбит.
На втором этапе полученная наиболее вероятная система элементов улучшается дифференциальным методом (Субботин, 1968). Уточняются координаты и скорости на выбранную эпоху. Для повышения обусловленности нормальной матрицы начальная эпоха выбирается на среднеарифметический момент наблюдений. Методом наименьших квадратов находятся поправки к координатам и скоростям, обеспечивающим минимум суммы квадратов невязок условных уравнений, составленных для каждого позиционного наблюдения. При интегрировании уравнений движения учитываются гравитационные возмущения от всех больших планет и Плутона. Координаты возмущающих планет вычисляются по численной эфемериде DE405 ^ап^И, 1998). Модель также включает релятивистские возмущения от Солнца. Учет возмущений от Земли и Луны выполняется раздельно. Численное интегрирование уравнений движения и уравнений в вариациях, которые определяют частные производные текущих координат по их начальным значениям в выбранную эпоху, выполняется методом Эверхарта 15-го порядка (ЕуегИаг!;, 1974).
В том случае, если элементы орбиты, найденные на первом этапе, не улучшаются, проводится поиск более точной невозмущенной орбиты. Для этого шаги по значениям углов наклона и долготы восходящего узла уменьшаются, и рассматриваются другие варианты выбора опорных наблюдений, отличных от крайних. В случае, если невозмущенная орбита, найденная даже с небольшими шагами (порядка 0.01°) и с другими опорными наблюдениями, не улучшается, то элементы орбиты, дающие наименьшее уклонение, считаются окончательными для имеющегося набора наблюдений. Для надежности в таких случаях рассматриваются несколько наборов элементов орбиты с близкими к наименьшему значению а, особенно если среди них встречаются орбиты с сильно различающимися значениями элементов.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОРБИТ АСТЕРОИДОВ, СБЛИЖАЮЩИХСЯ С ЗЕМЛЕЙ
Для оценки предложенного метода были определены орбиты некоторых астероидов, сближающихся с Землей. C сайта Центра малых планет (MPC) были считаны электронные циркуляры (ЭЦ), содержащие наблюдения и элементы орбит недавно открытых малых тел Солнечной системы. Брались данные циркуляров на интервалах с 17 по 29 сентября 2010 г. и с 24 мая по 3 июня 2011 г. Эти данные были взяты, поскольку для большинства малых тел в последующих циркулярах имеются дополнительные (более поздние или более
МЕТОД ОПРЕДЕЛЕНИЯ ОРБИТ МАЛЫХ ТЕЛ СОЛНЕЧНОЙ СИСТЕМЫ
231
ранние, в случае последующего их отождествления с другими астероидами) наблюдения, что позволило нам вычислить более точные орбиты, чем по первым наблюдениям.
В отобранных циркулярах были представлены данные для 59 недавно открытых малых тел. Для всех этих небесных тел были получены системы элементов, близкие к опубликованным в электронных циркулярах системам. Для оценки точности получаемых элементов по предлагаемому методу были отобраны 34 астероида, сближающиеся с Землей и имеющие дополнительные наблюдения, достаточные для определения надежной орбиты этих астероидов. С использованием дополнительных наблюдений были вычислены более точные орбиты, обозначенные нами как Orb, которые сравнивались с менее точными орбитами (ОгЬипа), полученными по первым наблюдениям. Для каждой орбиты были вычислены эфемеридные положения на 10 суток вперед от момента последнего наблюдения. В качестве критерия точности вычисляемых положений использовались величины ^ипа и Rm, где ^ипа — видимое угловое расстояние между эфемеридным положением, вычисленным на основе орбиты ОгЬипа, определенной по предложенной методике, и положением, вычисленным на основе более точной орбиты Orb, и Rm — видимое угловое расстояние между эфемеридным положением, вычисленным по орбите, опубликованной в ЭЦ (ОгЬэц), и более точной орбите Orb.
Кроме того, для каждого отобранного астероида по орбитам ОгЬипа и ОгЬэц вычислялись значения О—С для всех имеющихся наблюдений, в том числе и не вошедших в определение этих орбит. По значениям О—С определялись среднеквадра-тические ошибки, стипа и стэц.
Также для этих 34 астероидов были проведены вычисления предварительной орбиты по классическому методу Гаусса, использующему три наблюдения. Использ
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.