АСТРОНОМИЧЕСКИЙ ВЕСТНИК, 2008, том 42, № 5, с. 433-442
УДК:521.3
МЕТОД ОПРЕДЕЛЕНИЯ ПРОМЕЖУТОЧНОЙ ОРБИТЫ ПО ЧЕТЫРЕМ ПОЛОЖЕНИЯМ МАЛОГО ТЕЛА НА НЕБЕСНОЙ СФЕРЕ
© 2008 г. В. А. Шефер
Научно-исследовательский институт прикладной математики и механики Томского государственного университета, Томск Поступила в редакцию 19.02.2008 г.
Предлагается новый метод вычисления предварительной орбиты небесного тела по четырем парам угловых измерений. Метод основан на использовании построенной ранее автором по двум векторам положения и соответствующему интервалу времени промежуточной орбиты, учитывающей основную часть возмущений в движении исследуемого тела. На примере построения орбиты малой планеты 1383 Лимбургия проведено сравнение результатов применения четырехпозиционной процедуры гауссовского типа, основанной на решении задачи двух тел, и нового метода. Сравнение показывает, что новый метод является высокоэффективным средством изучения возмущенного движения. Его особенно выгодно применять в случае высокоточных наблюдательных данных, охватывающих небольшие дуги орбиты.
PACS: 95.10.Ce, 95.10.Eg
ВВЕДЕНИЕ
В работе (Шефер, 20036) нами изложен новый метод определения предварительной орбиты по трем положениям малого тела на небесной сфере и соответствующим им моментам времени. При разработке метода мы придерживались схемы, заложенной в основу классического метода Лагран-жа-Гаусса, там, где это позволял выбранный нами подход. Основное и принципиальное отступление от классической схемы заключается в том, что вместо невозмущенной кеплеровской орбиты строится орбита, позволяющая учесть основную часть возмущений в движении исследуемого небесного тела. Это осуществляется с помощью построенной по двум векторам положения и соответствующему интервалу времени промежуточной возмущенной орбиты (Шефер, 2003а). Единственным случаем, требующим особого рассмотрения, является тот, когда определитель Б выведенной нами фундаментальной системы уравнений (формула (11) работы (Шефер, 20036)) равен нулю. Этот определитель имеет такой же вид, как и определитель основной системы уравнений метода Лагранжа-Гаусса, и является величиной, связанной с кривизной видимой траектории объекта на небе. Он равен нулю тогда и только тогда, когда все три видимые положения объекта лежат на одном большом круге небесной сферы. В некоторых из этих случаев метод Лагранжа-Гаусса с помощью специальных математических приемов (Дубяго, 1949; Субботин, 1968) или путем замены неудачно выбранных наблюдений другими наблюдениями (если другие наблюдения имеются) позволяет определить ис-
комую кеплеровскую орбиту. Однако такая орбита является очень ненадежной. Использование подобных приемов возможно и в нашем методе определения промежуточной орбиты по трем наблюдениям, но очевидно, что получить надежную орбиту здесь тоже не удастся. Аналогичные неопределенности, связанные с движением объекта по большому кругу, имеют место и в методе Лапласа вычисления предварительной орбиты (Бв-соЬа1, 1965; Нетск, 1971). Исключим из рассмотрения практически нереальный случай, когда все три измеренные угловые положения совпадают между собой. Тогда, как известно (Дубяго, 1949; Субботин, 1968; Нетск, 1971), определение орбиты по трем угловым положениям полностью невозможно в единственном случае: когда все три измеренные положения лежат в плоскости движения наблюдателя (компланарная сингулярность). Конечно, событие, состоящее в том, что наблюденный объект и наблюдатель движутся точно в одной и той же плоскости, маловероятно. Однако в тех, не так уж и редко встречающихся на практике случаях, когда угол между плоскостями движения объекта и наблюдателя мал, использование только трех наблюдений угловых положений может привести к потере точности вычисления орбиты.
Таким образом, не только тогда, когда имеет место компланарная сингулярность, но и во всех тех случаях, когда определитель Б равен нулю или очень мал (движение по большому кругу или вблизи него), трех наблюдений для вычисления орбиты недостаточно. Решение задачи в этих случаях возможно, если привлечь четвертое наблю-
дение (Орро1/ег, 1870; ВегЬепсИ, 1902; Bauschinger, 1928; Дубяго, 1949; Не^еЪ 1965). Вычисление орбиты по четырем наблюдениям может оказаться более выгодным и в тех случаях, когда во всех возможных выборках из трех наблюдений наблюдения разделены по времени очень неравномерно (Субботин, 1968).
В данной работе подход, описанный нами в статье (Шефер, 20036), развивается применительно к задаче нахождения промежуточной возмущенной орбиты по четырем наблюдениям.
ОПИСАНИЕ МЕТОДА
Рассмотрим движение малого тела (астероид, комета, крупный метеороид, космический аппарат) под действием ньютоновского притяжения системы точечных масс (Солнце, большие планеты, спутники планет) и других сил произвольной природы. Для изучения движения малого тела воспользуемся гелиоцентрической прямоугольной экваториальной системой координат Охуг. Дифференциальные уравнения движения запишем в общей форме
х = О, (1)
где х - вектор положения малого тела, О - суммарный вектор ускорения, точка означает дифференцирование по времени г.
Пусть мы имеем для каждого из четырех моментов времени г°, г°, г0, г3 (г° < г° < г0 < г3) пару наблюденных угловых координат (прямое вос-
О О \
хождение а,- и склонение о; ), определяющую видимое положение малого тела на небесной сфере с центром в точке наблюдения. Индекс г принимает значения 0, 1, 2, 3, указывая на связь данной величины с соответствующим моментом времени. Угловые координаты, наблюденные в момент
,о т
г°, представим в виде единичного вектора Ц, компонентами которого являются направляющие косинусы луча зрения на малое тело, т.е.
трический вектор положения Солнца, определенный в момент наблюдения г°. Таким образом, вектор рЦ имеет один конец, определенный в момент г, а другой - в момент г°. Неизвестными в (2) являются вектор хг и геоцентрическое расстояние рг.
Предположим, что мы найдем каким-либо способом рг. После этого в момент наблюдения г° введем поправку за время движения светового луча (сигнала) от малого тела к наблюдателю. В результате перейдем к моменту времени гг по формуле
о 1
гг = г; --р,>
(3)
где с - скорость света. Тогда уравнение (2) позволит определить вектор положения хг в момент г.
Воспользуемся формулами классического подхода (Дубяго, 1949; Escoba1, 1965; Субботин, 1968; Нетск, 1971) и получим рх, р2, р0 и р3 в первом приближении. Тогда уравнения (2) и (3) определят четыре вектора положения хь х2, х0, х3 в моменты времени г1, г2, г0, г3 (г1 < г2 < г0 < г3) соответственно. Значения векторов хь х2, х0, х3 на этом этапе являются приближенными и требуют дальнейшего уточнения.
Возьмем два вектора хх и х3, соответствующие положениям малого тела в крайние моменты времени гх и г3. В соответствии с теорией промежуточного движения, разработанной нами в (Шефер, 2003а), вычислим векторы положения на
промежуточной орбите д*, д* относительно фиктивного притягивающего центра, векторы положения фиктивного центра Z1, ¿3 и гравитационные постоянные Ц3. Приведем сводку необходимых для этого формул:
д* = -^1О1, д* = -^Оз,
Zl = Х1- д*, Zз = хз- д*
л ^,2
(4)
= Х1О1 Щ*, Цз = ^О^*,
Ц =
Г о Л
cos о о cos а о cos 5 0 sin а 0 sin 5 0
где
Не ограничивая общности, будем считать угловые координаты геоцентрическими, отнесенными к моментам эфемеридного времени. Геоцентрические и гелиоцентрические координаты малого тела связаны между собой векторным уравнением
X = р ,Ь г - 8 г, (2)
где х г - гелиоцентрический вектор положения малого тела, определенный в момент г; 8г - геоцен-
А,1 =
{[ оз О1- (О1 • Оз) Оз ]•( хз- Х1)}
о2оз- (О1 • Оз )2 {[ О? Оз-(О1 • Оз) О1 ]•( хз-х1)}
= -
О1 О2- (О1
Оз )2
щ
*
д*
щ* =
д*
Здесь (а ■ Ь) обозначает скалярное произведение двух векторов а и Ь. Векторы ускорения Ох и О3 вычисляются по тем же формулам, что и правые части уравнений (1), если подставить в них найденные значения гх, хх и г3, х3 соответственно.
di ц1р1Ь1 + do ^qPqLo + d3 ЦзРзЬз = Q, (13)
На промежуточной орбите в пространстве параметрических переменных и получим согласно (Шефер, 2003 а) два положения, определяемые векторами
ui = q*,
Цз *
из = гт3 q*
(5)
и соответствующие моментам фиктивного времени
01 = 0, 0з = ¡7(Н- Н).
М-1
Параметрические векторы положения и2, и0 и соответствующие им моменты фиктивного времени 02, 00 в средние моменты физического времени г2, г0 мы найдем по формулам
и, = г q*,
J Ti J
0i = Г (- t1) (J = 0, 2),
(6)
0 ,■
_
Г,
(t, - t1) (J = 0, 2),
где
Г i
(q* = x j - Z j ,).
z , = hzh z1 + Ь-±
t3 - t1 t3 - t1
Ц1Ц3 (t3- 11)
(7)
Z3,
(J = 0, 2).
u0 = d1u1 + 1З3 u3,
где
d1 = (I1 =
g 1 3 ( 8 3 - 8 2 ) g23(83 - 01)'
g 13(8 3 - 8 q ) g03(83 - 81)'
= g13 (82 - 8 1)
d3 g 12 (83 - 8 1),
(3 =
g 13 (80 - 8 1)
g 10 (83 - 8 1).
(8) (9)
(10) (11)
где
О = й 1^1 (81 + 71) + й2 ¡2 (82 + ) + й з^з( ^з + ), (3 = й.1^1 (81 + 71) + йо ¡о (80 + 7о) + йз|1з( 8з + 7з),
й2 = -1, йо = -1.
Составляющие векторных соотношений (12) и (13) образуют систему шести линейных уравнений относительно четырех неизвестных |1р1, |2р2, |0р0 и |3р3. Решение этой системы можно выполнить методом наименьших квадратов. Но, как уже было нами отмечено, к вычислению орбиты по четырем наблюдениям приходится прибегать из-за неопределенности, имеющей место при использовании трех наблюденных положений, лежащих на большом круге. Поэтому необходим способ решения, свободный от указанной неопределенности. Перейдем к изложению такого способа.
Обозначим через Бр1} расстояние на небесной сфере единичного радиуса между наблюденными положениями {а°, 5° } и {а°, 5° } (р, q = 0, 1, 2, 3; р Ф q). В частности, если эти положения близки друг к другу, то с достаточной степенью точности применима формула
Dp
= J(a° - ap )2cos25! + (5° - 8° )2.
¡1 (- ) + 1з( г з- г})
Поскольку кеплеровская орбита, которую мы имеем в параметрическом пространстве (Шефер, 2003а), является плоской, то векторы их, и2, и0 и и3 будут связаны соотношениями
и2 = йи + й3и3,
pq Л/V^q "p
Расположим векторы Lj, L2, L0, L3 в следующем
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.