МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА <3 • 2008
УДК 531.381
© 2008 г. В.Н. КОШЛЯКОВ
МЕТОД ОСРЕДНЕНИЯ В ЗАДАЧЕ УСТОЙЧИВОСТИ ДВИЖЕНИЯ
ВРАЩАЮЩЕГОСЯ ТЕЛА, ПОДВЕШЕННОГО НА ДЛИННОЙ ЖЕСТКОЙ
СТРУНЕ
На основе метода осреднения рассматривается устойчивость вертикального вращения твердого тела, подвешенного на длинной жесткой струне.
1. Постановка задачи. Исходное матричное уравнение. Среди эффективных методов приближенного исследования задач и проблем нелинейной механики (в частности, математических моделей различных колебательных процессов) определенное место принадлежит методу осреднения, основывающемуся на уравнениях, представленных в специальной (стандартной) форме Боголюбова-Митропольского [1]:
dx/dt = еX(t, x), x(0) = x0 (1.1)
где x = colon(x1, ..., xn), X = colon(X1, ..., Xn) - некоторые я-мерные векторы-столбцы, е -малый неотрицательный вещественный параметр. Осреднение проводится в правой части уравнения (1.1).
Устойчивости (неустойчивости) осредненной системы иногда сопутствует аналогичное состояние в соответствующей исходной системе, когда последняя необязательно имеет стандартную форму (1.1). Однако общих теорем, оправдывающих в таких случаях применение метода осреднения, нет, и далеко не всегда формальная замена одних уравнений другими способна привести к правильному результату. На это обстоятельство, в частности, указано в монографии [2]. Определенное соответствие в решениях точных и осредненных уравнений установлено в работе [3], где сформулированы теоремы, основывающиеся на стандартной форме (1.1). Поэтому приведение исходных уравнений рассматриваемой задачи к стандартной форме является необходимым этапом при обоснованном применении метода осреднения [4].
В основу дальнейшего исследования положено матричное уравнение вида [5]:
Jx + (D + H) x + (П + P) x =0 (1.2)
где x = colon(xj, ., x2m) - искомый вектор, J = JT, D = DT, H = -HT, П = Пт, P = -PT - заданные постоянные матрицы 2m x 2m (знак ()T означает транспонирование).
Уравнение (1.2) описывает поведение механических систем, находящихся под действием диссипативных, гироскопических, потенциальных и собственно неконсервативных позиционных сил. В системах, содержащих гироскопы, под J понимается определенно-положительная матрица моментов инерции системы относительно соответствующих осей [6-9].
Частным случаем общего уравнения (1.2) являются рассматриваемые ниже уравнения движения тела на струнном подвесе. Исследования движения тела, подвешенного на струне, начатые еще в 50-х годах, развиваются и в настоящее время [10-15]1. В данной
1 В монографии [15] приведена подробная библиография этих работ по состоянию на 1991 г.
работе, с помощью метода осреднения, исследуется, с учетом диссипативных сил, устойчивость вертикального вращения такого тела.
2. Уравнения движения симметричного тела, подвешенного на струне. Исследование вырожденной системы. Рассмотрим уравнения, описывающие вертикальное вращение с угловой скоростью ю тяжелого симметричного тела, подвешенного на жесткой струне. Допустим, что на тело, помимо силы тяжести, действует диссипа-тивный момент, пропорциональный величине ю, а также некоторый постоянный активный момент, создаваемый сторонним источником энергии, который обеспечивает постоянство величины ю. Далее воспользуемся уравнениями (2.8)-(2.9) работы [16], описывающими возмущенное движение рассматриваемой системы. Указанные уравнения с некоторыми очевидными изменениями в обозначениях можно представить в виде
J1х!1 + Xхг + сх1 - (2J1 - Зъ)юх2 + - Х)юх2 = -гmgbxъ
J1 х2 + Xх2 + сх2 + (2J1 - Jъ)юх1 - (Х1 - Х)юх1 = -гmgbx4
2 2 2 (2.1)
тЬ х3 + тЬ(g - Ью )х3-2тЬ юх4 = -еmgbx1
2 2 2
тЬ х4 + тЬ(g - Ью )х4 + 2тЬ юх1 = -еmgbx2
2
с = (J3- J1 )ю + mga( 1 + е), е = (2.2)
Далее будем полагать а > 0 (длина Ь струны всегда положительна), что соответствует расположению центра масс тела ниже точки крепления тела к струне. Поэтому введенный в уравнения (2.1) безразмерный параметр е оказывается положительной величиной. Считая также струну достаточно длинной, примем а < Ь, чему соответствует е ^ 1.
Параметр е можно рассматривать в известном смысле как звено, связывающее переменные х1, х2 с переменными х3, х4. В уравнениях (2.1) диссипативные члены учтены лишь в первых двух. Однако, как это показано в работе [16], диссипация в уравнениях (2.1) оказывается полной за счет взаимосвязи переменных х5. Вместе с тем, при е = 0, что соответствует вырожденному случаю [3, 4], уравнения (2.1) распадаются на две независимые системы уравнений, причем в уравнениях относительно переменных х3 и х4 диссипативные члены вообще отсутствуют. Поэтому, полагая е = 0 в уравнениях (2.1), определим вырожденный случай уравнениями
J1Х1 + Xх:1 + с'х1 - (2 J1 - Jъ)юх2 + (Х1 - Х)юх2 = 0 J1 х2 + Xх2 + с'х2 + (2J1 - Jъ)юх:1 - (Х1 - Х)юх1 = 0
2 2 2 тЬ х3 + /х3 + тЬ(g - Ью )х3-2тЬ юх4 = 0
2 2 2 тЬ х4 + /х4 + тЬ(g - Ью )х4 + 2тЬ юх1 = 0
(2.3)
предусмотрев в двух последних уравнениях (2.3) малые диссипативные члены /х3 и /х4. Введение таких членов оправдано, поскольку в действительности силы с диссипацией энергии всегда существуют в реальной механической системе [2]. В соответствии с вышеизложенным в уравнениях (2.3) следует считать
2
с' = (J3- J1 )ю + mga (2.4)
Обращаясь к первым двум из уравнений (2.3), замечаем, что они являются частным случаем матричного уравнения (1.2), где
х = colon(x1; x2), J = J1E, D = XE, H = (2 J1 - J3)юS P = (X - X1 )®S, E
1 0 S = 0 -1
1—11 0 1 0_
(2.5)
Уравнения (2.3), таким образом, содержат неконсервативные позиционные силы с матрицей P. Силы такой структуры при определенных условиях могут оказывать дестабилизирующее действие на поведение рассматриваемой системы. В работах [7, 8] показано, что неконсервативные позиционные силы можно исключить из рассматриваемой системы с помощью преобразования Ляпунова, не изменяющего, как известно, свойств устойчивости. Положим в первых двух уравнениях (2.3) [7]
х = L (t) y (2.6)
где y = colon(y1, y2), определяя матрицу L(t) из условия
L( t) = - D 1 PL( t) (2.7)
в котором матрицы D и P удовлетворяют выражениям (2.5). Рассматривая условие (2.6)
2
как уравнение относительно матрицы L(t) = \\ljk(t) ||j и удовлетворяя начальному условию L(0) = E, находим L(t) в виде ортогональной матрицы
L (t) =
cosa1t -sina1t
Sin Mjt COS Mjt
, ю1 = X (X1 - Х)ю
(2.8)
В силу структуры матриц (2.5) выполняются полученные в работе [8] необходимые и достаточные условия приводимости уравнения относительно вектора у = со1оп(у1, у2) к форме
J! у + V! У+ Ж! у = 0 (2.9)
в которой матрицы VI и оказываются постоянными и имеют вид
V 1 = D + H + 2 JA, W 1 = JA2 + П + HA, A = D1 P
(2.10)
При этом матрица получается симметричной. Действительно, с помощью выражений (2.5) и (2.8) имеем в диагональной форме
W
c'íí E
t 2
c1* = mga + (J3X - J1)o>
Имеем из (2.10): V1 = D + H1
где, с учетом выражений (2.5), (2.8) и (2.10):
H1 = H + 2 JA = H +2 J 1ю1 S
0 -h1 h1 0
h1 = x (2 J1X1- J3X)
ю
(2.11) (2.12)
(2.13)
(2.14)
Матрица H1 является, таким образом, кососимметрической. Что касается второй группы уравнений (2.3) относительно переменных x3 и x4, то они не содержат неконсервативные позиционные структуры, а потому не подвергаются преобразованию.
Обозначив x3 через y3, а x4 через y4, запишем вырожденные уравнения в виде
J!yx + \yx - hiУ2 + q*У! = 0, mb y3 + fy3 - h2У4 + с*y3 = О
J1 у2 + Xу2 + hiyi + с1*у2 = 0 mb y4 + fy 4 + h2уз + С*3у4 = 0 (2л5)
h2 = 2mb2ю, с* = mb(g - Ью2)
Тривиальное решение систем (2.15) при учете лишь потенциальных структур будет устойчивым, когда с* > 0 и с**3 > 0, что соответствует условиям [9]:
Xi 2 /-
mga + 7- (J3 X - J 1Х1)ю > 0, ra<v, v = Jg / b (2.16)
Оно становится асимптотически устойчивым при добавлении сил с полной диссипацией, когда X > 0, f > 0, и произвольных гироскопических сил, которым отвечает матрица (2.14). Первое из условий (2.16) упрощается, если воспользоваться концепцией Зоммерфельда-Гринхилла [7], согласно которой можно положить X = pJ1, X1 = |J3, где ц - некоторая положительная константа, зависящая от свойств среды. Имеем тогда J3X - J1X1 = 0, вследствие чего из условия (2.16) имеем a > 0. Это условие, согласно вы-шеоговоренному, выполняется. Поэтому при расположении центра тяжести тела ниже точки крепления ее к стержню и при соблюдении концепции Зоммерфельда-Гринхилла вертикальное вращение тела оказывается устойчивым при всех значениях угловой скорости в случае выполнения второго из условий (2.16). Этот вывод справедлив, разумеется, применительно к вырожденной системе (2.15).
На основе решений вырожденной системы формируется замена переменных, приводящая к уравнениям в стандартной форме. Далее понадобится система (2.1), преобразованная к переменным ys для случая е Ф 0. Ограничиваясь учетом гироскопических и консервативных структур и учитывая оговоренную выше малую величину параметра е, положим с = с', где с' выражается формулой (2.4). В результате получим
J i yi- hi y2 + с* yi = emgb( - y3cos ait - y4sin ait)
J i У2 + hi yi + с*1 y2 = е mgb( y3sin ю11 - y4cos ю11)
2 (2.17)
mb y3-h2y4 + с*3у3 = еmgb(-yicosю11 + y2sinю11)
2
mb y4 + h2y3 + с*y4 = emgb(-yisinю1г - y2cosю11)
3. Стандартная форма уравнений. Применение метода осреднения. Уравнения (2.17) можно упростить, если в соответствии с методикой, предложенной в работе [6], исключить из них с помощью преобразований Ляпунова гироскопические члены. Уравнения, полученные в результате такого исключения, будут содержать только консервативные члены, что в существенной степени облегчает применение метода осреднения. Перейдем в уравнениях (2.17) к новым переменным y's (s = 1, ..., 4) с помощью подстановок
colon(yi, y2) = L(t)colon(y!, у'2), colon(y3, y4) = L(t)colon(y3, y4) (3.1)
в которых матрицы L(t) и L (t) размера 2 х 2 удовлетворяют условиям [6]:
L( t) = -1/2 J 1H1 L (t), L( t) = -1/2 J 1H2 L (t)
2 2
J = diag(J1; J2), J = diag(mb , mb ), H1
0 —h1 2H = 0 —h2
h1 0 h2 0
(3.2)
(3.3)
Рассматривая условия (3.2) как уравнения относительно Щ) и Ь (Г) и считая ДО) = Ь (0) = Е, получим
= cos kt sin kt = cos юt sin юt ,k
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.