Автоматика и телемеханика, JVS 7, 2008
PACS 02.30.Yy
© 2008 г. A.A. НЕСЕНЧУК, канд. техн. наук, С.М. ФЕДОРОВИЧ (Объединенный институт проблем информатики HAH Беларуси, Минск)
МЕТОД ПАРАМЕТРИЧЕСКОГО СИНТЕЗА ИНТЕРВАЛЬНЫХ СИСТЕМ НА ОСНОВЕ КОРНЕВЫХ ГОДОГРАФОВ ПОЛИНОМОВ ХАРИТОНОВА
Разработан метод синтеза устойчивого семейства характеристических полиномов интервальной динамической системы на основе исходного неустойчивого с использованием модели системы в форме свободного корневого портрета. Синтез осуществляется путем изменения границ (настройки) интервала неопределенности свободного члена полинома, что позволяет обеспечить устойчивость без изменения конфигурации корневого портрета системы. В качестве критерия настройки устанавливается расстояние, измеряемое вдоль траекторий корневого портрета; в частности, новый полином мо^жет быть определен ближайшим к заданному с учетом требований качества системы.
1. Введение
Анализ устойчивости семейств характеристических полиномов динамических систем, синтез устойчивых полиномов и полиномиальных семейств является сложной и актуальной задачей [1]. В рамках параметрического подхода к проблеме разработан ряд эффективных методов анализа. Так, B.JL Харитонов [2] доказал, что для проверки асимптотической устойчивости семейства полиномов с интервальной неопределенностью необходимо и достаточно проверить устойчивость только четырех полиномов семейства с определенными постоянными коэффициентами. В работах Я.З. Цыпкина и Б.Т. Поляка [3-6] был предложен частотный подход к вопросу робастности полиномиально описанных систем. В рамках данного подхода сформулированы частотные критерии робастной устойчивости и апериодичности линейных непрерывных систем, разработан метод определения наибольшего размаха возмущений для номинальной устойчивой системы на основе годографа Цыпкина - Поляка. Эти результаты были распространены на линейные дискретные системы [4]. Получен критерий робастной устойчивости релейных систем управления с интервальной линейной частью [5]. Рассмотрены сверхустойчивые линейные системы [6].
В [7] решена задача определения радиуса неустойчивости полинома на основе частотного подхода. Методика построения области устойчивости в пространстве одного или двух параметров системы с использованием D-разбиения разработана в [8].
Метод определения граничных значений отклонений коэффициентов номинального полинома, обеспечивающих гурвицеву робастную устойчивость, предложен Б.Р. Бармишем [9]. Задача в [9] сводится к однопараметрической оптимизации. Задачи подобного плана решаются в [10-11]. Условия обобщенной устойчивости полиномов с линейно зависимыми коэффициентами (политопов) получены A.C. Бартлетом, C.B. Холлотом и X. Липом [12] и А. Рантзером [13].
В данной работе развит корневой подход [14-15] к проблеме робастности интервальных семейств полиномов, основанный на результатах [16-18]. Разработан метод синтеза устойчивых семейств, который заключается в настройке границ интервала неопределенности свободного члена для случаев, когда в результате проверки оказалось, что исходный полином является неустойчивым.
2. Постановка задачи
При исследовании систем автоматического управления с неопределенностью для получения наиболее полного представления о происходящих в них процессах значительным представляется установление связи между алгебраическими, частотными и корневыми методами исследования. Такая связь существует и может быть использована с целью установления зависимости между значениями коэффициентов характеристического уравнения (параметрами) системы и ее динамическими свойствами для определения, каким образом и какие именно коэффициенты следует изменять, чтобы обеспечить устойчивость. Одним из вариантов установления отмеченной выше связи может быть исследование корневых портретов систем и корневых годографов полиномов Харитонова [2].
Рассмотрим интервальную динамическую систему (ИДС), которую опишем семейством характеристических полиномов
п
(1) Р (*)=£ а = 0,
3=о
где а € [а, а ], а о > 0 3 = 0,..., п, а^ и а3- - соответственно нижняя и верхняя границы замкнутого интервала неопределенности [а^ ,а3-], в = а+ги>. Коэффициенты полинома (1) фактически являются неопределенными параметрами.
В настоящей работе ставится задача синтеза робастно устойчивого интервального семейства (1) на основании исходного (заданного) неустойчивого, т.е. когда проверка исходной системы на устойчивость с помощью полиномов Харитонова [2] дала отрицательный результат. Синтез выполняется путем изменения границ интервала неопределенности свободного коэффициента исходного неустойчивого полинома.
3. Модель интервальной системы в форме корневого портрета
Введем ряд определений.
Определение 1. Корневым годографом динамической системы назовем кор-
()
() ()
темы.
()
раметром, корневого годографа алгебраического уравнения назовем коэффициент этого уравнения или параметр динамической системы, описываемой этим уравнением, варьируемый по определенному закону с целью построения корневого го-
(
)
Онределение 4. Корневым годографом алгебраического уравнения относительно коэффициента а^ (3 = к) назовем годограф, параметром которого является коэффициент а^.
Рис. 1. Корневые годографы полиномов Харитонова системы четвертого порядка.
Определение 5. Свободным корневым годографом динамической системы назовем корневой годограф относительно свободного члена характеристического уравнения этой системы.
Определение 6. Точки, из которых исходят ветви корневого годографа и в которых параметр годографа равен нулю, назовем начальными точками годографа.
Замечание 1. Одна из начальных точек свободного корневого годографа всегда располагается в начале координат плоскости корней.
Справедливость замечания следует из формы уравнения (1).
Замечание 2. Положительная действительная ветвь свободного корневого годографа на участке при выходе из начальной точки, расположенной в начале координат, направлена вдоль отрицательной действительной полуоси плоскости корней в левую полуплоскость.
Замечание справедливо на основании свойств корневых годографов [19] и поскольку действительные корни уравнений с положительными коэффициентами всегда отрицательны (см. рис. 1).
Особенностью свободных корневых годографов является то, что все их ветви, исходя из начальных точек, уходят в бесконечность, приближаясь к соответствующим асимптотам.
Для проведения исследования воспользуемся свободными корневыми годографами Теодорчика - Эванса (КГТЭ) [16], т.е. под термином "корневой годограф" будем понимать годограф Теодорчика - Эванса, параметром которого является свободный член характеристического уравнения системы.
С целью формирования корневого портрета II, 1С используем семейство функций отображения
(2) вп + а! в"-1 + а2 вп-2 + ... + ап-2в2 + ап-1в = и(а,ш) + г«(а,ш) = —ап,
где и(а, ш) и ь(а, ш) - гармонические функции двух независимых переменных а и ш; ап - параметр годографа; в = а + гш.
,ку: * ® , т -8
_______ , к1 ............... -4. г;.:...- -
^ 1 —к'2г -О*—" ^к'Г к ¿3 к2 ' 1 1 »
__________ -2 ...^Ь—Д, ..... и 1 2 а
" X / V --8
Рис. 2. Полиномы Харитонова исходной неустойчивой и синтезированной устойчивой системы.
Аналитические и графические корневые годографы полиномов формируются с использованием функции отображения (2). Уравнение корневого годографа
(3) IV(а, и) = 0
и уравнение параметра [16]
(4) и(а,и ) = —ап.
Фрагментарный корневой портрет интервальной системы четвертого порядка, состоящий из четырех свободных корневых годографов, построенных для полиномов Харитонова этой системы, показан на рис. 1. Корневые годографы полиномов Харитонова на этом рисунке обозначены как сами полиномы - Н15 Н2, Нз и Н4. Следующими буквами обозначены: а^, г = 1, 2, 3,4, - центры асимптот корневых годографов каждого полинома Н^, I = 1, 2, 3,4, - точки пересечения ветвей корневых годографов с границей асимптотической устойчивости системы, осью ги. Начальные точки годографов, которые представляют собой нули функции отображения (2), изображены крестиками.
Число асимптот па (на рис. 1 они обозначены как в1? в2,... , в6) постоянно для каждого из четырех корневых годографов и равно па = п — т = 4 — 0 = 4, где т - число полюсов функции (2). Центры асимптот располагаются на оси а и имеют координаты а^ = 2,10 а^2 = 2, 90; а^3 = 2,10 а^4 = 2, 90. Координаты центров асимптот попарно совпадают: для пары Н1 (в) и Нз(в), а также пары Н2(в) и Н4(в). Углы наклона асимптот для рассматриваемых корневых годографов равны соответственно: = 0°, = 45°, = 135°, = 180°.
Согласно рис. 1 корневые годографы попарно стремятся к одним и тем же асимптотам, т.е. пары образуют те годографы, координаты центров асимптот которых совпадают, как было указано выше.
Фрагмент корневого портрета, изображенного на рис. 1, представлен на рис. 2 в увеличенном масштабе. Асимптоты, расположенные под углом к горизонтальной оси, здесь не показаны, кружками (корнями) и буквами к с индексами обозначены полиномы Харитонова заданной неустойчивой системы, закрашенными кружками и к
тонова в нижней полуплоскости располагаются симметрично верхней и на рисунке не показаны.
Отметим, что начальные точки свободного (и любого иного) годографа представляют собой точки на его ветвях, в которых параметр годографа ап = 0. Полиномы Харитонова также определяются точками на ветвях свободных корневых годографов этих полиномов, однако значение параметра в этих точках для каждого полинома равно значению свободного коэффициента соответствующего полинома, т.е. они как бы смещены вдоль ветвей по отношению к начальным точкам. Это наглядно видно на рис. 2, где начальные точки обозначены крестиками, а полиномы Харитонова (их корпи) - буквами к с индексами.
4. Динамика корневого портрета системы
Ветви годографов корневого портрета интервальной системы пересекают границу устойчивости, образуя на ней область пересечений. Введем множества Ж и А и опишем их выражениями:
(5) Ж = |ш;},
(6) А = К,},
где Ж — множество (семейство) координат Ш{ точек пересечения границы устойчивости положительными ветвями свобо
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.