МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА < 6 • 2008
УДК 624.07:534.1
© 2008 г. И.И. ИВАНЧЕНКО
МЕТОД ПОДКОНСТРУКЦИЙ В ЗАДАЧАХ ДИНАМИКИ СКОРОСТНОЙ
МОНОРЕЛЬСОВОЙ ДОРОГИ
Изучение действия скоростной подвижной нагрузки на мосты и эстакады остается актуальной задачей для транспорта. В настоящем исследовании предлагается новый метод расчета на подвижную нагрузку эстакад (монорельсовых структур, мостов), позволяющий изучать взаимодействие двух деформируемых объектов, состоящих из стержневых систем и жестких тел с вязкоупругими связями, из которых один объект - подвижная нагрузка (монорельсовый состав), а другой - несущая конструкция (монорельсовая эстакада, мост). С развитием методов расчета сооружений на подвижную нагрузку связаны работы многих исследователей [1-15]. На первом этапе, при решении задачи о действии на балку простейшей подвижной нагрузки в виде движущегося груза находят применение два основных метода решения этой задачи, они же реализуются и для других конструкций и нагрузок. В первом методе используются обобщенные координаты при разложении прогиба по собственным формам балки, и задача сводится к решению системы обыкновенных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами [13]. Во втором методе, после декомпозиции системы "балка-груз", как и в задаче с ударом груза о балку [4], действия сводятся к решению интегрального уравнения относительно динамической реакции груза [6, 7]. В [1-3] увеличение числа удерживаемых форм приводит к увеличению порядка системы уравнений, в [6, 7] возникают трудности при решении интегральных уравнений, связанные с условной устойчивостью шаговых процедур. Предложенный в [9, 14] для балок и стержневых систем метод объединяет между собой указанные подходы и ликвидирует указанные их недостатки, так как доступно учитывает любое необходимое число форм в разложении прогиба и имеет разрешающую систему уравнений, при безусловно устойчивой схеме интегрирования, с минимальным числом неизвестных, как и в методе интегральных уравнений [6, 7]. Этот метод далее развивается для комбинированных систем, моделирующих деформируемую, упругую, составную подвижную конструкцию и монорельсовую эстакаду. Вопросы развития методов динамического расчета монорельсовых дорог, особенно в связи с повышением скорости движения подвижного состава, остаются актуальными. Изучение этих структур представлено в [16-18].
В настоящей статье при решении поставленной задачи применяются метод учета подвижной нагрузки и шаговая процедура интегрирования по времени, предложенные, соответственно, в [9, 19]. Эти составляющие используются далее для расширения возможностей метода подконструкций в задачах динамики. Предлагаемый подход для расчета сооружений на подвижную нагрузку выбирает в качестве подконструкции (в форме граничного элемента или суперэлемента) движущийся с постоянной скоростью объект (монорельсовый состав), используя при этом стержневые граничные элементы большой длины, специализированные жесткие конечные элементы, собирающи-
еся в систему для моделирования этих объектов. Наборы элементов формируют, в частности, и модель монорельсового состава, т.е. корпусы вагонов, тележек, элементы рессорного подвешивания колес и модели неразрезных балок монорельсовой дороги, опор с фундаментами, допускающими аварийные просадки и односторонние связи. Указанные специализированные жесткие конечные элементы с линейными и нелинейными связями, включаясь в состав предложенных ранее граничных элементов [14, 19], позволяют исследовать неустановившиеся колебания в системе "монорельсовый состав-эстакада" (МСЭ) при учете различных неровностей на балке-рельсе, аварийных просадок опор и их упругого опирания на основание. При этом достигается высокая степень пространственной дискретизации сооружений путем привлечения к расчету стержней с распределенными параметрами. Проводится аппроксимация смещений линейными функциями и тригонометрическими рядами Фурье, что, как отмечалось, позволяет увеличивать число степеней свободы у рассматриваемой системы, сохраняя неизменным порядок разрешающей системы уравнений.
Указанный подход позволяет исследовать напряженно-деформированное состояние в системе МСЭ и определять ускорения в интересующих точках движущегося состава. Предлагаемая числовая процедура позволяет единообразно решать линейные и нелинейные дифференциальные уравнения, описывающие работу модели, заменяющей систему в виде монорельсового состава, состоящего из ряда специализированных, связанных между собой вагонов, и систем неразрезных балок на упругих инерционных опорах.
Предлагаемый подход (при использовании движущейся подконструкции, моделируемой, в том числе, системой граничных стержневых элементов) позволяет максимально сократить число неизвестных в разрешающей системе уравнений на каждом шаге ее решения [11]. В предшествующих исследованиях указанной проблемы при изучении совместных колебаний мостов и подвижной нагрузки авторы ограничивались рассмотрением в качестве подвижного состава достаточно сложных систем из жестких тел, соединенных вязкоупругими связями [3-18], описывая движение состава системами обыкновенных дифференциальных уравнений. Особенностью предлагаемого метода является удобный способ формирования уравнений движения как состава, так и мостовой структуры. Метод [9, 14] позволяет формировать уравнения взаимодействия структур как двух отдельных конечноэлементных систем. Это освобождает исследователя от необходимости традиционного формирования, например, для подвижного состава (вагонов), системы уравнений движения с конечным числом степеней свободы [3-18]. Можно отметить ряд работ, где совместные колебания упругой подвижной нагрузки и упругой несущей конструкции рассматриваются в достаточно ограниченных рамках и носят частный характер. Так, например, в [20] изучается движение упругого стержня вдоль упругого бесконечного стержня на упругом основании, а в работе [21] кузов движущегося по балке вагона рассмотрен как стержень с десятью сосредоточенными массами.
Сформируем модель для решения задачи и укажем методику. В данном исследовании монорельсовая дорога (система виадуков) и монорельсовый состав (фиг. 1-3) рассматриваются как две стыкующиеся двухмерные стержневые системы с распределенными параметрами, включающие жесткие элементы с вязкоупругими связями (фиг. 4,^-4,^). Проведем нумерацию узлов в указанных системах. Исследования будем проводить, используя для дискретизации систем по пространственным координатам граничные
S = Vt
1
V
FJv
í 1 1 1 1 1 V
г i i / i ^ S? Л?
Фиг. 1
1 2 3 4 5 6
26 40 27 33 34
(b)
Ш
V
j а 39 36
(a)
15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
30 31 32
37 FJ, F 38 39
Фиг. 2
стержневые и жесткие конечные элементы. Поясним назначение и структуру используемых граничных стержневых элементов (ГЭ), сравнивая их с традиционными конечными стержневыми элементами (КЭ) [25]. Конечные элементы в задачах динамики стержневых систем (при степенной аппроксимации смещений), как известно, используются для дискретизации стержня по его длине. При этом в качестве неизвестных в уравнениях динамического равновесия для стержня, извлеченного из стержневой системы (для случая, например, плоских, изгибных колебаний, при модели стержня Эйлера), выступают узловые поперечные смещения и углы поворота 2(п + 1) узловых сечений в количестве, где п число элементов по длине стержня. В используемых ГЭ вибрация стержня рассматривается с позиций теории сложного движения, т.е. движение стержня как твердого тела рассматривается как переносное. За относительное движение в указанном случае (подвижная система координат (хй, уй, гн) представлена на фиг. 4,а) принимается поперечное смещение шарнирно опертой по концам балки, аппроксимируемое функциями вида дот(жхД ), где I - длина стержня; х - координата балки по длине, - набор коэффициентов, I = 1, 2, 3, ... В предложенной в [19] и используемой в статье шаговой процедуре на этапе [р р + 1], информация о состоянии стержня в момент р в виде набора
FJv, F
j
Е]с
С
Ы,
ш,
V
'Я,
к
к
'#1
Фиг. 3
Ун
(а)
к \ ^
(с)
МХ
Ун
Ун + 1
к + 1
I
к
Ун
Фиг. 4
qij - известна из предыдущего шага, а в качестве неизвестных для ГЭ выступают только концевые (для стержня при изгибных колебаниях) узловые линейные и угловые ускорения. Поэтому в обсуждаемой задаче дискретизация стержня по длине при использовании КЭ подменяется набором известных концевых ускорений и обобщенных координат
В
А
7
6
3
н
Л
в момент I] и набором из четырех неизвестных узловых ускорений в момент + 1/2. Другими словами, набор конечных элементов, расположенных по длине стержня, заменяется одним стержневым элементом большой длины с неизвестными в момент I] + 1/2 граничными узловыми линейными и угловыми ускорениями. Построенный таким образом элемент, как и в [14, 15], называется в статье граничным стержневым элементом.
Под жестким конечным элементом (ЖКЭ) в статье понимается жесткое тело с вязко-упругими поворотными связями, расположенными с двух сторон у концевых сечений, например, жесткого стержня, и с единственной вязкоупругой продольной связью со стороны узла, имеющего старший порядковый номер в общей нумерации узлов систем. Различными соединениями ЖКЭ моделируются колеса состава. При этом продольные упругие связи учитывают упругость шин (фиг. 4,с), рессорное подвешивание кузова состава (фиг. 4,ф и упругое основание под опорами (фиг. 2,Ь). В статье ЖКЭ используются как для моделирования отдельных элементов состава, так и для моделирования отдельных конструктивных элементов с нелинейными связями.
Рассматриваются различные варианты эстакады, т.е. вариант с опорами на жестком основании (фиг. 1) и вариант с опорами на упругом основании при наличии возможных просадок и односторонних связей в системе МСЭ (фиг. 2,а-2,с). Для решения задачи о взаимодействии монорельсовой эстакады и состава используется метод декомпозиции. Система "эстакада - состав" распадается на две одноименные подсистемы.
Обозначим наборы элементов, служащих для формирования системы МСЭ, через {elh}, Н = 1 щ; {e2h}, Н = 1 п^, {eзh}, Н = 1
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.