ЖУРНАЛ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ, 2015, том 55, № 10, с. 1694-1702
УДК 519.62
МЕТОД ПОСТРОЕНИЯ ПРИБЛИЖЕННЫХ АНАЛИТИЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОЛИНОМИАЛЬНОЙ ПРАВОЙ ЧАСТЬЮ1)
© 2015 г. А. П. Афанасьев*, С. М. Дзюба**
(*127994 Москва, Большой Каретный пер., 19, стр. 1, ИППИРАН; **170026 Тверь, наб. Афанасия Никитина, 22, ТвГТУ) e-mail: apa@isa.ru; sdzyuba@rnail.ru
Поступила в редакцию 12.12.2014 г. Переработанный вариант 28.03.2015 г.
Предлагается метод построения приближенных аналитических решений систем обыкновенных дифференциальных уравнений с полиномиальной правой частью. Реализация метода опирается на метод последовательных приближений Пикара и процедуру продолжения локальных решений. В качестве приложения рассмотрена проблема приближенного построения минимальных множеств системы Лоренца. Библ. 16. Фиг. 1. Табл. 1.
Ключевые слова: дифференциальные уравнения с полиномиальной правой частью, метод последовательных приближений Пикара, продолжения локальных решений, минимальные множества системы Лоренца.
Б01: 10.7868/80044466915100026
1. ВВЕДЕНИЕ
Рассмотрим систему обыкновенных дифференциальных уравнений, векторная запись которой имеет вид
х = /(х), (1.1)
где х = (х1, ..., х") — действительная векторная функция действительного переменного / = = (У1, ..., У") — действительная векторная функция, каждый элемент которой/' является многомерным многочленом с постоянными коэффициентами переменных х1, ..., х". При этом степени всех многочленов могут не совпадать.
Системы вида (1.1) давно представляют достаточно большой интерес для приложений, поскольку многие модели процессов различной физической, экономической и другой природы описываются подобными системами (см., например, [1]—[4]).
Для получения решений системы (1.1) обычно используют стандартные методы численного анализа (см., например, [5]—[9]), не учитывающие конкретный вид ее правой части (см. [1], [2], [4]). В [10] предложен метод построения квазианалитических приближенных решений системы (1.1) в случае полилинейной функции / В [11] для автономных систем с полиномиальной правой частью в качестве развития результатов из [10] был предложен специальный метод, учитывающий то, что функции у1, ..., /" являются именно многомерными многочленами. Относительная простота правой части рассматриваемой системы дала возможность с помощью этого метода строить приближенные аналитические решения не только в виде функции времени, но и начальных условий. В отличие от большинства известных методов, последнее позволило во многих случаях прямо отслеживать систематическую ошибку вычислений. Такое отслеживание чрезвычайно важно, например, при исследовании уравнений хаотической динамики, поскольку здесь точность вычислений играет решающую роль, а вычисления приходится проводить на достаточно больших промежутках времени.
1) Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (коды проектов 15-01-08838, 13-07-00077).
1694
Целью настоящей работы является уточнение основных результатов из [11] и их распространение на неавтономные системы вида (1.1).
2. ПОСТРОЕНИЕ ЛОКАЛЬНЫХ РЕШЕНИЙ Для построения локального решения х(0 системы (1.1) с начальным условием
х (^) = х0 (2.1)
заменим (1.1) интегральным уравнением
г
х(г) = х0 + £(т, х(т))йт. (2.2)
'о
Пусть а и Т — некоторые положительное числа и
Га, г(хо) = {(х,г) е К" +1 : |х-х„| < а, г е ['о, 'о + Т}
есть соответствующее им множество. Обозначим через Па, Т(х0) множество непрерывных функций, определенных на отрезке [?0, ^ + Т], графики которых содержатся в Га, т(х0). Далее, введем в рассмотрение оператор А, определенный на множестве Па, Т(х0) и действующий на функции Ф е Па т(х0) по правилу
хо +
Поскольку замкнутый шар
Аф = х0 + £(т, ф(т))йт.
Ва(х0) = {х е К" : |х-х0| < а} (2.3)
компактен, а функция / непрерывна, существует положительное число
Тогда из условия
т = тах тах £(г, х)|.
г е [¡0, г0 + Л х е Ва(х0)
Т < а (2.4)
т
следует, что оператор А отображает множество Па, Т(х0) в себя (см., например, [12]). Поэтому положим число Т таким, что выполнено неравенство (2.4).
Для отыскания решения х(1) уравнения (2.2) будем использовать метод последовательных приближений Пикара вида
хы +1 (г) = х0 + £(т, хдКх))йт. (2.5)
I
= х 0 +
'0
Действуя как обычно, положим
х1 (г ) = х0 (2.6)
и заметим, что частные производные
£, и = 1,...,«,
дх
определены и непрерывны в пространстве К" +1. Тогда, как легко видеть, существует такое натуральное число к*, что к-я степень
А^ф = А ...А ф
к
оператора А является сжатием на множестве Па, т(х0) при к > к* (см., например, [12]). Следовательно, метод (2.5), удовлетворяющий условию (2.6), при к > к* эквивалентен методу сжатых отображений. Это означает, что последовательность
х1 (г), х2( г),..., х_дг( г),. (2.7)
сходится к решению х(1) равномерно на отрезке [10, 10 + Т].
Чтобы найти х(1), заметим, что все функции у1, ..., /" — многомерные многочлены с постоянными коэффициентами переменных I, х1, ..., х". Поэтому согласно (2.5) и (2.6) для всех I е [10, 10 + Т] справедливо равенство
г
х2(г) = х0 + £(т, х0)йт = х0 + У1 (х0, г0, г), (2.8)
г0
где — некоторый многомерный многочлен переменных х0, 10,1. Теперь, подставляя (2.8) в (2.5), при N = 2 и I е [10, 10 + Т] имеем
Х3(t) = Xq + JfT, -2(т))dT = Xq + У2(-% to, t),
где у2 — некоторый многомерный многочлен переменных x0, t0, t.
Если все функции f1, ..., fn — многомерные многочлены переменных t, х1, ..., хп с постоянными коэффициентами, то несложно заметить, что для произвольного N> 2 при t е [t0, t0 + 7] справедливо равенство
+ 1 (t) = х0 + yN(-% ^ t) ,
в котором yN — соответствующий многомерный многочлен переменных x0, t0, t.
Поскольку последовательность (2.7) сходится к решению x(t) уравнения (2.2) равномерно на отрезке [t0, t0 + 7], то переходя в (2.5) к пределу при N —»- + да, получаем равенство
х( t) = Хо + у(хо, to, t), (2.9)
справедливое для всех t е [t0, t0 + 7], где при фиксированных x0, t0 функция у определена и непрерывна при t е [t0, t0 + 7] и удовлетворяет равенству
lim max |у(хо, to, t) - ^(хо, to, t)| = 0. (2.10)
N^ t e [t0, t0 + Г]
Но выбор начального условия (2.1) по существу не играл никакой роли. Поэтому справедлива
Теорема 1. Предположим, что точка x0 е [Rn и число а > 0 заданы. Тогда для всех положительных T, удовлетворяющих неравенству (2.4), решение x(t) системы (1.1) с начальным условием (2.1) может быть получено как предел равномерно сходящейся на отрезке [t0, t0 + 7] последовательности (2.7), построенной методом (2.5) с начальным приближением (2.6). Более того, при t е [t0, t0 + 7] для решения x(t) выполнены равенства (2.9) и (2.10).
3. ПРОДОЛЖЕНИЯ ЛОКАЛЬНЫХ РЕШЕНИЙ
Перейдем к построению нелокальных решений системы (1.1). При этом, следуя [11], будем трактовать данную задачу как задачу построения продолжения локального решения с некоторого достаточно малого отрезка [t0, t0 + T] вправо.
Пусть x(t) — решение системы (1.1) с начальным условием (2.1). Действуя, как и в разд. 2, зададим некоторое положительное число а и определим числа t1 и m1 исходя из выполнения условий
m1 = max max f(t, x)|
t e [to, t1] x e Ba(x„)
и
к = ¿о + -,
т1
где Ва(х0) — замкнутый шар, задаваемый равенством (2.3). Тогда согласно теореме 1 при I е [?0, справедливо равенство
х(0 = Хо + У(х(¿о, ¿о, 0), причем для всех значений I е [?0, ?1] решение х(1) расположено в шаре Ва(х0).
Зафиксируем число а и определим числа ?2 и т2 исходя из выполнения условий
т2 = тах тах |Д х )|
I е [¿1, ¿2] х е Ва(х(<!>)
и
¿2 = ¿1 + -. т2
Тогда согласно теореме 1 для всех I е [?1, ?2] имеет место равенство
Х(¿) = X(¿1) + у(х(¿1), ¿1, 0.
Более того, при ? е [?1, ?2] решение х(?) расположено в шаре Ва(х(?1)).
Продолжая действовать аналогичным образом, видим, что справедлива
Теорема 2. Если решение х(1) построено на отрезке [?0, ?к], то оно может быть продолжено на отрезок [?к, ?к +1], где 1к +1 — действительное число, определяемое из условий
тк +1 = тах тах |Д х)|
I е[Iк, Iк + 1] X е Еа(х(1к))
tk +1 = tk + —. (3.1)
mk +1
При этом для всех значений t е [tk, tk +1] решение x(t) расположено в шаре Ba(x(tk)), причем выполнено равенство
x(t) = x(tk) + y(x(tk), tk, t).
Согласно теореме 2 метод из разд. 2 позволяет продолжить вправо каждое локальное решение x(t) системы (1.1) на любой конечный отрезок [t0, tv] с [t0, t+), где значение t+ удовлетворяет одному из условий t+ = или
sup |x( t)| =
t ^ t+
(см. [13]). Более того, если функция у аналитически построена на отрезке [t0, t0 + T], задаваемом теоремой 1, то в силу теоремы 2 она также аналитически построена на любом отрезке [t0, tv] с [t0, t+). При этом точное построение функции у весьма затруднительно (если вообще возможно) даже в простейших случаях (см. разд. 4). Поэтому перейдем к построению приближенного решения и заметим, что имеет место
Теорема 3. Пусть выполнены условия теоремы 2. Тогда для каждого положительного числа б можно указать такое натуральное число Nk, что для всех N > Nk
max |у (x(tk), tk, t) - y^(x(tk), tk, t)| < 6.
t e [ k tk +1]
При этом для всех N > 1 справедливы неравенства
2л \\N~ 1
, (n kN (tk +, - tk)) a max |у(x(tk), tk, t) - yNx(tk), tk, t)\ < V N'\ *+ 1 kJ'--(3.2)
t e[tk, tk + 1] (N - 1
и
max +1 (x(tk), tk, t) - Vn(x(tk), tk, t)| <
t e [k 'k +1]
2л \\N-1
( n (tk + i - tk)) а (N - 1 ) ! ,
где
AN = max max
max
i,j = 1,..., n t e[tk, tk + 1] x e SJxCk))
f( t, x)
dX
(3.3)
(3.4)
Замечание 1. Неравенства (3.2) и (3.3) (а также используемое для их получения равенство (3.4) (см. [13])) непосредственно следуют из дифференцируемости функции У (см. [12]). При этом если функция У нелинейна по х, то для любого фиксированного а для всех Nk > 1 справедливо равенство
sup AN = +да.
(3.5)
В силу теоремы 3 продолжение решения х(1) всегда может быть построено на любом конечном отрезке [10, с [10, 1+) с наперед заданной точностью 6. При этом на каждом из отрезков [1к, 1к+1] с с [10, приближенное решение х (I) удовлетворяет равенству
X(t) = XX(tk) + Vn,(X(tk), tk, t),
(3.6)
т.е. строится в виде функции
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.