Автоматика и телемеханика, № 2, 2014
© 2014 г. А.Н. ЖИРАБОК, д-р техн. наук, А.Ю. СУВОРОВ
(Дальневосточный федеральный университет, Владивосток)
МЕТОД ПОСТРОЕНИЯ РОБАСТНЫХ ДИАГНОСТИЧЕСКИХ НАБЛЮДАТЕЛЕЙ1
Рассматривается задача построения робастных диагностических наблюдателей. Предлагается подход, позволяющий рассматривать системы с негладкими нелинейностями и получать полное описание множества возможных решений с определенными робастными свойствами.
1. Введение и постановка задачи
Функциональное диагностирование является одним из мощных средств повышения эффективности эксплуатации сложных технических систем, поскольку оно позволяет производить проверку правильности функционирования системы в процессе выполнения ею своих основных функций и оперативно поставлять информацию о возникающих сбоях и дефектах. За последние десятилетия были разработаны разнообразные методы диагностирования технических систем, описываемых различными моделями - линейными, нелинейными, сингулярными с дискретным и непрерывным временем. Один из подходов к решению задач диагностирования связан с использованием диагностических наблюдателей [1, 2], главная задача при построении которых - обеспечение робастности (минимальной чувствительности) к внешним возмущающим воздействиям, параметрическим неопределенностям и ошибкам модели; будем обобщенно называть все указанные факторы возмущениями. Решению этой задачи посвящены многочисленные публикации, например. [2-5].
Робастность может достигаться как на этапе генерации невязки, так и при принятии решений, в соответствии с чем различают активный и пассивный методы ее достижения. Активный метод направлен на уменьшение отношения шум/сигнал, где под шумом понимается составляющая невязки, вызываемая возмущениями, а под сигналом - составляющая, вызываемая дефектами в системе. Разработано несколько различных подходов к реализации активного метода: полная развязка от возмущений [1, 2, 4]; оптимизационный подход с использованием тех или иных критериев с целью минимизации шумовых составляющих вектора невязки [2-6]; адаптация к неизвестным постоянным или медленно меняющимся параметрам системы [2, 7].
Из сказанного следует, что активный метод характеризуется избирательными свойствами невязки по отношению к дефектам и возмущениям. В отли-
1 Работа выполнена при финансовой поддержке Дальневосточного федерального университета и Российского фонда фундаментальных исследований (проект № 14-07-91051_а).
чие от этого пассивный метод предполагает загрубление общей чувствительности процедуры диагностирования по отношению как к возмущениям, так и к дефектам. Для его реализации обычно используется пороговая логика принятия решений.
В настоящей работе акцент сделан на активный метод, пассивный рассмотрен менее детально. Известные работы в этой области характеризуются тем, что они позволяют получать единственное решение, робастные свойства которого затем подвергаются анализу, и в случае неудовлетворительного результата ищется новое решение с последующим аналогичным анализом, что говорит о переборном характере известных процедур. Ставится задача разработки такого подхода к построению диагностических наблюдателей, который позволит рассматривать системы с недифференцируемыми нелинейностями и получать полное описание множества возможных решений с определенными робастными свойствами.
2. Модель системы и ее преобразования
Пусть заданная система описывается моделью с дискретным временем
(2.1) x'(t + 1) = f'(x' (t),u(t)), y(t) = h'(x'(t)),
где x' £ X' С Rn, u £ U С Rm, y £ Y С Rl - векторы состояния, управления и выхода; f' и h' - нелинейные векторные функции, которые могут быть недифференцируемыми. Предполагается, что компоненты функции h' функционально независимы во всей области X' за исключением множества меры нуль, где эта независимость может нарушаться. Если h' дифференцируема,
то это требование заменяется условием rank ^fp-j = I для всех х' £ X' за исключением множества меры нуль, где это условие может нарушаться.
Произведем ряд преобразований исходной системы, которые направлены, во-первых, на приведение ее к виду с линейной функцией выхода, во-вторых, к виду с разделенными линейной и нелинейной составляющими. Введем нелинейное преобразование координат Ф следующим образом:
x = Ф(х') = ( K(x') ... h[(x') х'г1 ... x'ln_t )T,
где x'il,. ..,x'i i - некоторые компоненты вектора состояния, функционально не зависимые от компонент функции h', hi - ее i-я компонента. В силу указанного выше свойства функции h' и выбора переменных x'il,...,x'i t преобразование Ф обратимо, т.е. для всех x' £ X за исключением множества меры нуль существует функция Ф-1. В новых координатах система принимает вид
(2.2) x(t + 1) = Ф^'И^)) = Ф(1-'(Ф-1Ш),и(t)) = f (x(t),u(t)),
y(t)= h'^-1(x(t))) = Hx(t),
где H = (Iixi 0), Iixi - единичная lxl матрица. Отметим, что в отличие от [8] для реализации такого преобразования не требуется дифференцируемость функции h'.
В [5, 8] показано, что с целью учета дефектов и возмущений, действующих на систему, а также последующего применения так называемого логико-динамического подхода [9] модель (2.2) может быть приведена к виду с разделенными линейной и нелинейной составляющими:
где F и G - матрицы, описывающие линейную динамику; Ai,...,Ap -матрицы-строки; L и D - известные постоянные матрицы, d(t) - вектор, описывающий дефекты: при их отсутствии d(t) = 0, при появлении d(t) становится неизвестной функцией времени; p(t) G Rq - неизвестная функция времени, описывающая возмущения, действующие на систему; C - постоянная матрица размера n х p, имеющая следующую структуру: если в правую часть уравнения для i-й компоненты вектора состояния системы (2.2) входит нелинейность pj(Ajx,u), то C(i,j) = 0, в противном случае C(i,j) = 0. В общем случае функция pj может иметь несколько членов вида Ajx. Отметим, что аддитивные составляющие Lp(t) и Dd(t) c неизвестными функциями времени p(t) и d(t) для отражения возмущений и дефектов часто используются в работах по функциональному диагностированию (см., например, [4]).
Замечание. В частных случаях функция h' в исходной модели (2.1) может быть линейной, т.е. соответствующее уравнение будет иметь вид y(t) = = Hx'(t) для некоторой матрицы H. В этом случае выделение линейной части, т.е. переход к модели (2.3), производится без предварительного преобразования координат; будем тогда полагать x = x' и f (x,u) = f '(x',u).
Рассмотрим вначале линейный случай, когда С = 0, т.е. нелинейная составляющая отсутствует и система описывается моделью
Описание линейного диагностического наблюдателя пониженной размерности имеет следующий вид:
x*(t + 1) = F*x*(t) + G*u(t) + Jy(t) + Kr(t), y*(t) = H*x* (t),
где K - матрица обратной связи, x* - вектор состояния наблюдателя, r(t) -невязка, формируемая в виде
для некоторой матрицы Я. Вопросы выбора матрицы К детально изложены в ряде публикаций, в частности в [8, 10], поэтому в настоящей работе они не рассматриваются. Размерность наблюдателя изначально предполагается
у pp(Apx(t),u(t)) y(t)= Hx(t),
3. Основные соотношения в линейном случае
x(t + 1) = Fx(t) + Gu(t) + Lp(t) + Dd(t), y (t) = Hx(t).
r(t) = Ry(t) - y*(t)
неизвестной, она определяется в процессе его синтеза. Начальное состояние наблюдателя может быть произвольным; при соответствующем выборе матрицы К невязка т(Ь), которая может иметь ненулевое значение из-за несовпадения начальных состояний исходной системы и наблюдателя, асимптотически стремится к нулю.
Предполагается, что при отсутствии дефектов и возмущений векторы х* и х связаны равенством х*(Ь) = Фх(Ь) для некоторой матрицы Ф, которая определяется в процессе решения задачи и удовлетворяет следующим уравнениям [1, 2, 5]:
(3.1) КН = Н*Ф, ФГ = Г*Ф + зн, С* = ФС.
Отметим, что рассматриваемый наблюдатель также называется функциональным [11]. Известно, что полная развязка от возмущений является наиболее благоприятной с точки зрения робастности. Для обеспечения такой развязки, а также чувствительности к дефектам матрица Ф должна удовлетворять условиям [1, 2, 5]
ФЬ = 0, ФБ = 0.
В одном из методов построения наблюдателей [2, 5] последний ищется в канонической форме с матрицами
/ 0 0 . . 0 0
1 0 . . 0 0
Г* = 0 1 . . 0 0 , Н* = (00 . . 0 1
\ 0 0 . . 1 0
В этом случае уравнения (3.1) можно представить в виде совокупности к уравнений:
(3.2) КН = Фк, ФгГ = Ф— + ЗН, г = 2,...,к, Ф1Г = Зх И,
где Фг и Зг - г-е строки матриц Ф и З, г = 2,...,к, к - размерность наблюдателя. В [2, 5] показано, что уравнения (3.2) можно свернуть в одно:
(3.3) КНГк = Зк НГк-1 + Зк-1НГк-2 + ... + З1 И.
Решение этого уравнения сводится к определению минимальной размерности наблюдателя к и описывающих его матриц К и З; дополнительно с использованием соотношений (3.2) определяется матрица Ф, которая необходима для нахождения матрицы С* и проверки условий ФЬ = 0 и ФБ = 0.
Недостатком метода является невозможность непосредственного включения в него условия ФЬ = 0, поэтому после решения уравнения (3.3) приходится проверять это условие и при его невыполнении находить другое решение при прежней или увеличенной размерности наблюдателя, т.е. фактически производить определенный перебор. Для преодоления этого недостатка предлагается новый подход, состоящий в явном учете условия ФЬ = 0 в уравнениях (3.2), который также позволяет получить полное описание множества возможных решений с определенными робастными свойствами и выбрать из них оптимальное по некоторому критерию решение, например с максимальной чувствительностью к дефектам.
4. Обеспечение полной развязки от возмущений
4.1. Предварительные результаты
Для реализации предлагаемого подхода вводится матрица Ь*, содержащая в качестве строк все линейно независимые решения уравнения Ь*Ь = 0, в этом случае из условия ФЬ = 0 следует равенство Ф = МЬ* для некоторой матрицы М. Заменим в (3.2) строки матрицы Ф на выражения вида М^Ь*, в результате чего получим уравнения
ЯН = МкЬ*, МЬ*¥ = М-хЬ* + .ДН, г = 2,...,к, МхЬ*Г = .Н,
здесь Мг - г-я строка матрицы М. Преобразуем полученные соотношения к б
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.