научная статья по теме МЕТОД РИМАНА ПРИ ПЛОСКОЙ ДЕФОРМАЦИИ ОДНОРОДНОГО ПОРИСТОГО ПЛАСТИЧЕСКОГО МАТЕРИАЛА Механика

Текст научной статьи на тему «МЕТОД РИМАНА ПРИ ПЛОСКОЙ ДЕФОРМАЦИИ ОДНОРОДНОГО ПОРИСТОГО ПЛАСТИЧЕСКОГО МАТЕРИАЛА»

МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА № 2 • 2015

УДК 539.374

© 2015 г. С. Е. АЛЕКСАНДРОВ, Е. А. ЛЯМИНА

МЕТОД РИМАНА ПРИ ПЛОСКОЙ ДЕФОРМАЦИИ ОДНОРОДНОГО ПОРИСТОГО ПЛАСТИЧЕСКОГО МАТЕРИАЛА

Исследуется система статических уравнений, описывающая напряженное состояние в однородном пористом пластическом материале, подчиняющемся пирамидальному условию текучести, в условиях плоской деформации. Показано, что определение радиусов кривизны характеристик сводится к решению телеграфного уравнения. Таким образом, для построения сетки характеристик целесообразно использовать метод Римана, который широко применяется для решения краевых задач в классической теории пластичности несжимаемых материалов. Эти решения могут быть непосредственно обобщены на рассматриваемую модель пористого материала.

Ключевые слова: характеристики, метод Римана, пористый материал, плоскодеформированное состояние, идеальная пластичность.

1. Введение. Известно, что уравнения классической теории пластичности материалов, подчиняющихся условию текучести, независящему от среднего напряжения, являются гиперболическими при плоской деформации [1]. Поле характеристик в этом случае может быть построено методом Римана [2]. В частности, большое количество краевых задач решено этим методом в [3, 4]. Метод Римана также используется для контроля точности численных решений, полученных другими методами [5]. При определенных условиях уравнения теории пластичности пористых материалов также являются гиперболическими при плоской деформации [6]. Метод Римана для решения соответствующих краевых задач не применялся. В публикуемой работе рассматривается начальное плоское течение однородных пористых материалов, подчиняющихся пирамидальному условию текучести [6]. Это условие обобщает условие текучести Треска на пористые материалы. Показано, что в характеристических координатах уравнения для радиусов кривизны характеристических кривых сводятся к телеграфному уравнению. Этому же уравнению удовлетворяют радиусы кривизны характеристических кривых при применении классической теории пластичности [2]. Таким образом, решения, полученные в [3, 4] методом Римана, могут быть непосредственно использованы для определения сетки характеристик при начальном течении однородных пористых тел.

2. Основные уравнения. Пирамидальное условие текучести имеет вид [6]:

Ы -а,| Ы . .

— — = 1, I, ]

+ Ш = 1, ,, ] = 1,2,3, , * ] (2.1)

2тs Р8

Здесь с1, а2, а3 — главные напряжения, а = (с1 + а2 + а3 )/3 — среднее напряжение, т8 — предел текучести при чистом сдвиге, р5 — предел текучести при гидростатическом давлении. В общем случае, т8 и зависят от текучего значения пористости. Однако, в публикуемой работе рассматривается начальное течение однородного материала. По-

Фигура

этому, пространственные производные от т5 и р,, равны нулю. Полная система определяющих уравнений состоит из (2.1) и ассоциированного закона течения. При плоско-деформированном состоянии эта система уравнений и уравнения равновесия образуют систему гиперболического типа, если 3р5 > 4т5 [6].

Далее предполагается, что это неравенство выполняется. Из (2.1) видно, что принятое условие текучести является кусочно-линейным в главных напряжениях. Таким образом, возможны разные режимы течения. В [6] показано, что плоское течение возможно только на ребрах поверхности текучести, пересекающих оси координат пространства главных напряжений. Для определенности примем, что а < 0. Без ограничения общности можно считать, что напряжение а3 перпендикулярно плоскости течения, а остальные главные напряжения удовлетворяют неравенству 01 < 02. В этом случае плоскодеформированное состояние возможно только на ребре

р2 - р1 __о = ! р3 - р1 __о = 1

2Т 5 Р, 2Т 5 р,

Из этих уравнений следует, что а2 = а3. Таким образом

02 (3Р5 - 4т5) - 01 (3р, + 2т5) = 6т,р, (2.2)

Это уравнение и уравнения равновесия образуют определенную систему уравнений для напряжений. В [6] показано, что характеристические направления этой системы симметричны относительно направлений главных напряжений 01 и 02, а величина угла ф между касательной к каждой характеристике и направлением главного напряжения 01 определяются как

Ф = arctgx, X = (3р5 + 2т5)1(3р, - 4т5) (2.3)

3. Уравнения в характеристических координатах. Положим, что характеристики семейства а повернуты относительно направления 01 на угол ф против хода часовой стрелки, а характеристики семейства Р повернуты на тот же угол по ходу часовой стрелки. Угол между осью х произвольной декартовой системы координат (х, у) и направлением главного напряжения 01, отсчитываемый от оси против хода часовой стрелки, обозначим у (фигура). Поскольку пространственные производные от т5 и р5 равны нулю, то характеристические соотношения принимают вид [6]:

0

х

sin2^d ( + о2) -вдоль а -линий и sin2^d (c + c2 ) +

6т,

(3Ps -Ts )

6Ts (3Ps - T s )

(Oi +O2 + 2ps ) = 0

(ci +C2 + 2ps ) = 0

(3.1)

(3.2)

вдоль Р -линий. Отметим, что в оригинальных выражениях вместо 1 у стоит 1фа, где фа — угол наклона характеристик семейства а к оси х, отсчитываемый от оси против хода часовой стрелки. В рассматриваемом случае этот угол отличается от у на постоянную величину, у - фа = п - ф (фиг. 1). Поэтому, 1фа можно заменить на 1 у. Интегрируя (3.1) и (3.2), получим

(3p -Тs)sin2xlnÎHH52 + 2^-¥ = /1 (в)

6ts У ps )

+ 2l + ¥ = /2 (a)

ps )

(3 ps — T s )sin2X 6ts

(3.3)

Здесь /i (в) и /2 (a) — произвольные функции Р и a, соответственно. Отметим, что из (2.1) следует, что |ci| < ps и |с2| ^ ps. Причем, равенство возможно только в вершине пирамиды, которая исключена из рассмотрения. Поэтому, с1 + а2 + 2ps > 0. Представляет интерес только случай, когда оба семейства характеристик криволинейны. В этом случае уравнения (3.3) эквивалентны системе

(3ps -тs) sin 2%

6т s

(3ps -тs)sin2X

6т s

ln

ln

П

П

Ci + a 2

+ 2

Ci + C 2 + 2

- y + y0 = -2P sin 2ф + y - y 0 = 2a sin 2ф

Здесь п и уо — произвольные постоянные. Решая эту систему относительно у и стх + ст2, найдем

V - V0 = (а + в) sin 2ф, Pi + °2 = n i exp [у (а - в)] - 2

ps

6тs sin 2ф

(3.4)

Y =

(3ps -тs )sin2x

Присоединяя к этой системе уравнение (2.2), можно вычислить 01 и 02.

Семейства а - и Р -линий могут быть рассмотрены как криволинейные координаты. Предположим, что направление главного напряжения 02 делит пополам угол между положительными направлениями а - и Р -линий (фиг. 1). Введем радиусы кривизны характеристических кривых соотношениями

i = дф0 R dsa

i =

S dse

(3.5)

Здесь Я - радиус кривизны а-линий, 5 — радиус кривизны Р -линий, фр — угол наклона Р-линий к оси x, отсчитываемый против хода часовой стрелки, <Э/<Э5а и б/б^р обозначают производные по направлениям а и Р, соответственно. Для радиусов кривиз-

ны принято такое же правило знаков, как в [2]. Поскольку углы между каждым из характеристических направлений и направлением главного напряжения oí являются постоянными величинами, то (3.5) преобразуется к форме

i , ! = (3.6)

R dsa S dsp Из геометрических соображений (фиг. 1) следует, что

^ = - cos (у + ф) Iх = cos (|-ф) dsa OSa

в (3.7)

^ = - sin (| + ф), = sin (|-ф)

dsa 5sp

Из (3.4) видно, что dу = sin 2фdа вдоль а -линий и dу = sin 2фdр вдоль Р -линий. Тогда с помощью (3.6) уравнения (3.7) преобразуются к виду

— = -R sin 2ф cos (у + ф), — = -S sin 2ф cos (у - ф)

da f (з-8) д- = -R sin 2ф sin (у + ф), dp = -S sin 2ф sin (у - ф)

Подставляя эти соотношения в условия интегрируемости д2х/дадр = д2х/дрда и д2 у/дадр = д2 у/дрда, получим с учетом (3.4): дR д S

- cos (у + ф)--+ cos (у - ф)--+ R sin (у +ф)т2ф - S sin (у -ф^т2ф = 0

дв да

dR д S

- sin (у + ф)--+ sin (у - ф)--R cos (у + ф) sin 2ф + S cos (у - ф) sin 2ф = 0

дв да

Решая эти уравнения относительно дR/dfi и дS/да, найдем

— + R cos 2ф - S = 0, — - S cos 2ф + R = 0 (3.9) дв да

Введем новые переменные R0 и S0 соотношениями

R = R0 exp (na + mfi), S = S0 exp (na + mP) (3.10)

Подставляя (3.10) в (3.9), найдем

dR + R0 (m + cos2ф) - S0 = 0, dS° + S0 (n -^2ф) + R0 = 0 (3.11)

дв да

Положим, что n = -m = cos 2ф. Тогда уравнения (3.11) и (3.10) преобразуются к виду

dR0 - S0 = 0, dS0 + R0 = 0 (3.12)

op да

R = R0 exp[cos2ф(a-P)], S = S0 exp[cos2ф(a-P)] (3.13)

соответственно. Уравнения (3.12) по форме совпадают с уравнениями для радиусов кривизны характеристических линий в классической теории пластичности несжимаемых материалов [2]. В частности, они сводятся к телеграфному уравнению, для кото-

рого функцией Римана является функция Бесселя первого рода нулевого порядка от аргумента z = 2^/(а - ао )(ß - ßo) .Подставляя (3.13) в (3.8), получим

— = -R0 exp [cos 2ф (а - ß)] sin 2фcos (| + ф)

да

— = -S0 exp [cos 2ф (а - ß)]sin 2ф cos (| - ф)

? <3-14)

— = -R0 exp [cos 2ф (а - ß)]sin 2ф sin (| + ф)

да

— = -So exp [cos 2ф (а - ß)]sin 2ф sin (| - ф)

Подстановка решения уравнений (3.12) в (3.14) и последующее интегрирование позволяют найти зависимости x и y от а и ß. При этом необходимо исключить у с помощью (3.4). Зависимость напряжений ст^ и ст2 от а и ß следует из (2.2) и (3.4). Таким образом, зависимость oj и о2 от x и y получена в параметрическом виде.

4. Заключение. Показано, что при плоской деформации однородного пористого тела, подчиняющегося пирамидальному условию текучести, радиусы кривизн характеристических линий определяются уравнением (3.13). Причем, R0 и S0 удовлетворяют по отдельности телеграфному уравнению, для которого функция Римана известна. В классической теории пластичности несжимаемых материалов величина ф, входящая в (3.13), равна я/4. Таким образом, из (3.13) следует, что R = R0 и S = S0, а уравнения (3.9) совпадают с (3.12). При ф ^ п/4 известные решения по классической теории пластичности могут быть использованы для нахождения зависимостей R0 и S0 от а и ß. Действительно, пусть известно некоторое решение при ф = я/4. Тогда, соответствующее решение в рамках рассматриваемой модели пористых тел получаются после применения преобразования (3.13) при заданном значении ф ^ я/4 и интегрирования в (3.14).

Работа выполнена при финансовой поддержке грантов РФФИ-13-01-93000-Вьет_а и НШ-1275.2014.1.

СПИСОК ЛИТЕРАТУР

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.

Показать целиком

Пoхожие научные работыпо теме «Механика»