МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА № 2 • 2015
УДК 539.374
© 2015 г. С. Е. АЛЕКСАНДРОВ, Е. А. ЛЯМИНА
МЕТОД РИМАНА ПРИ ПЛОСКОЙ ДЕФОРМАЦИИ ОДНОРОДНОГО ПОРИСТОГО ПЛАСТИЧЕСКОГО МАТЕРИАЛА
Исследуется система статических уравнений, описывающая напряженное состояние в однородном пористом пластическом материале, подчиняющемся пирамидальному условию текучести, в условиях плоской деформации. Показано, что определение радиусов кривизны характеристик сводится к решению телеграфного уравнения. Таким образом, для построения сетки характеристик целесообразно использовать метод Римана, который широко применяется для решения краевых задач в классической теории пластичности несжимаемых материалов. Эти решения могут быть непосредственно обобщены на рассматриваемую модель пористого материала.
Ключевые слова: характеристики, метод Римана, пористый материал, плоскодеформированное состояние, идеальная пластичность.
1. Введение. Известно, что уравнения классической теории пластичности материалов, подчиняющихся условию текучести, независящему от среднего напряжения, являются гиперболическими при плоской деформации [1]. Поле характеристик в этом случае может быть построено методом Римана [2]. В частности, большое количество краевых задач решено этим методом в [3, 4]. Метод Римана также используется для контроля точности численных решений, полученных другими методами [5]. При определенных условиях уравнения теории пластичности пористых материалов также являются гиперболическими при плоской деформации [6]. Метод Римана для решения соответствующих краевых задач не применялся. В публикуемой работе рассматривается начальное плоское течение однородных пористых материалов, подчиняющихся пирамидальному условию текучести [6]. Это условие обобщает условие текучести Треска на пористые материалы. Показано, что в характеристических координатах уравнения для радиусов кривизны характеристических кривых сводятся к телеграфному уравнению. Этому же уравнению удовлетворяют радиусы кривизны характеристических кривых при применении классической теории пластичности [2]. Таким образом, решения, полученные в [3, 4] методом Римана, могут быть непосредственно использованы для определения сетки характеристик при начальном течении однородных пористых тел.
2. Основные уравнения. Пирамидальное условие текучести имеет вид [6]:
Ы -а,| Ы . .
— — = 1, I, ]
+ Ш = 1, ,, ] = 1,2,3, , * ] (2.1)
2тs Р8
Здесь с1, а2, а3 — главные напряжения, а = (с1 + а2 + а3 )/3 — среднее напряжение, т8 — предел текучести при чистом сдвиге, р5 — предел текучести при гидростатическом давлении. В общем случае, т8 и зависят от текучего значения пористости. Однако, в публикуемой работе рассматривается начальное течение однородного материала. По-
Фигура
этому, пространственные производные от т5 и р,, равны нулю. Полная система определяющих уравнений состоит из (2.1) и ассоциированного закона течения. При плоско-деформированном состоянии эта система уравнений и уравнения равновесия образуют систему гиперболического типа, если 3р5 > 4т5 [6].
Далее предполагается, что это неравенство выполняется. Из (2.1) видно, что принятое условие текучести является кусочно-линейным в главных напряжениях. Таким образом, возможны разные режимы течения. В [6] показано, что плоское течение возможно только на ребрах поверхности текучести, пересекающих оси координат пространства главных напряжений. Для определенности примем, что а < 0. Без ограничения общности можно считать, что напряжение а3 перпендикулярно плоскости течения, а остальные главные напряжения удовлетворяют неравенству 01 < 02. В этом случае плоскодеформированное состояние возможно только на ребре
р2 - р1 __о = ! р3 - р1 __о = 1
2Т 5 Р, 2Т 5 р,
Из этих уравнений следует, что а2 = а3. Таким образом
02 (3Р5 - 4т5) - 01 (3р, + 2т5) = 6т,р, (2.2)
Это уравнение и уравнения равновесия образуют определенную систему уравнений для напряжений. В [6] показано, что характеристические направления этой системы симметричны относительно направлений главных напряжений 01 и 02, а величина угла ф между касательной к каждой характеристике и направлением главного напряжения 01 определяются как
Ф = arctgx, X = (3р5 + 2т5)1(3р, - 4т5) (2.3)
3. Уравнения в характеристических координатах. Положим, что характеристики семейства а повернуты относительно направления 01 на угол ф против хода часовой стрелки, а характеристики семейства Р повернуты на тот же угол по ходу часовой стрелки. Угол между осью х произвольной декартовой системы координат (х, у) и направлением главного напряжения 01, отсчитываемый от оси против хода часовой стрелки, обозначим у (фигура). Поскольку пространственные производные от т5 и р5 равны нулю, то характеристические соотношения принимают вид [6]:
0
х
sin2^d ( + о2) -вдоль а -линий и sin2^d (c + c2 ) +
6т,
(3Ps -Ts )
6Ts (3Ps - T s )
(Oi +O2 + 2ps ) = 0
(ci +C2 + 2ps ) = 0
(3.1)
(3.2)
вдоль Р -линий. Отметим, что в оригинальных выражениях вместо 1 у стоит 1фа, где фа — угол наклона характеристик семейства а к оси х, отсчитываемый от оси против хода часовой стрелки. В рассматриваемом случае этот угол отличается от у на постоянную величину, у - фа = п - ф (фиг. 1). Поэтому, 1фа можно заменить на 1 у. Интегрируя (3.1) и (3.2), получим
(3p -Тs)sin2xlnÎHH52 + 2^-¥ = /1 (в)
6ts У ps )
+ 2l + ¥ = /2 (a)
ps )
(3 ps — T s )sin2X 6ts
(3.3)
Здесь /i (в) и /2 (a) — произвольные функции Р и a, соответственно. Отметим, что из (2.1) следует, что |ci| < ps и |с2| ^ ps. Причем, равенство возможно только в вершине пирамиды, которая исключена из рассмотрения. Поэтому, с1 + а2 + 2ps > 0. Представляет интерес только случай, когда оба семейства характеристик криволинейны. В этом случае уравнения (3.3) эквивалентны системе
(3ps -тs) sin 2%
6т s
(3ps -тs)sin2X
6т s
ln
ln
П
П
Ci + a 2
+ 2
Ci + C 2 + 2
- y + y0 = -2P sin 2ф + y - y 0 = 2a sin 2ф
Здесь п и уо — произвольные постоянные. Решая эту систему относительно у и стх + ст2, найдем
V - V0 = (а + в) sin 2ф, Pi + °2 = n i exp [у (а - в)] - 2
ps
6тs sin 2ф
(3.4)
Y =
(3ps -тs )sin2x
Присоединяя к этой системе уравнение (2.2), можно вычислить 01 и 02.
Семейства а - и Р -линий могут быть рассмотрены как криволинейные координаты. Предположим, что направление главного напряжения 02 делит пополам угол между положительными направлениями а - и Р -линий (фиг. 1). Введем радиусы кривизны характеристических кривых соотношениями
i = дф0 R dsa
i =
S dse
(3.5)
Здесь Я - радиус кривизны а-линий, 5 — радиус кривизны Р -линий, фр — угол наклона Р-линий к оси x, отсчитываемый против хода часовой стрелки, <Э/<Э5а и б/б^р обозначают производные по направлениям а и Р, соответственно. Для радиусов кривиз-
ны принято такое же правило знаков, как в [2]. Поскольку углы между каждым из характеристических направлений и направлением главного напряжения oí являются постоянными величинами, то (3.5) преобразуется к форме
i , ! = (3.6)
R dsa S dsp Из геометрических соображений (фиг. 1) следует, что
^ = - cos (у + ф) Iх = cos (|-ф) dsa OSa
в (3.7)
^ = - sin (| + ф), = sin (|-ф)
dsa 5sp
Из (3.4) видно, что dу = sin 2фdа вдоль а -линий и dу = sin 2фdр вдоль Р -линий. Тогда с помощью (3.6) уравнения (3.7) преобразуются к виду
— = -R sin 2ф cos (у + ф), — = -S sin 2ф cos (у - ф)
da f (з-8) д- = -R sin 2ф sin (у + ф), dp = -S sin 2ф sin (у - ф)
Подставляя эти соотношения в условия интегрируемости д2х/дадр = д2х/дрда и д2 у/дадр = д2 у/дрда, получим с учетом (3.4): дR д S
- cos (у + ф)--+ cos (у - ф)--+ R sin (у +ф)т2ф - S sin (у -ф^т2ф = 0
дв да
dR д S
- sin (у + ф)--+ sin (у - ф)--R cos (у + ф) sin 2ф + S cos (у - ф) sin 2ф = 0
дв да
Решая эти уравнения относительно дR/dfi и дS/да, найдем
— + R cos 2ф - S = 0, — - S cos 2ф + R = 0 (3.9) дв да
Введем новые переменные R0 и S0 соотношениями
R = R0 exp (na + mfi), S = S0 exp (na + mP) (3.10)
Подставляя (3.10) в (3.9), найдем
dR + R0 (m + cos2ф) - S0 = 0, dS° + S0 (n -^2ф) + R0 = 0 (3.11)
дв да
Положим, что n = -m = cos 2ф. Тогда уравнения (3.11) и (3.10) преобразуются к виду
dR0 - S0 = 0, dS0 + R0 = 0 (3.12)
op да
R = R0 exp[cos2ф(a-P)], S = S0 exp[cos2ф(a-P)] (3.13)
соответственно. Уравнения (3.12) по форме совпадают с уравнениями для радиусов кривизны характеристических линий в классической теории пластичности несжимаемых материалов [2]. В частности, они сводятся к телеграфному уравнению, для кото-
рого функцией Римана является функция Бесселя первого рода нулевого порядка от аргумента z = 2^/(а - ао )(ß - ßo) .Подставляя (3.13) в (3.8), получим
— = -R0 exp [cos 2ф (а - ß)] sin 2фcos (| + ф)
да
— = -S0 exp [cos 2ф (а - ß)]sin 2ф cos (| - ф)
? <3-14)
— = -R0 exp [cos 2ф (а - ß)]sin 2ф sin (| + ф)
да
— = -So exp [cos 2ф (а - ß)]sin 2ф sin (| - ф)
dß
Подстановка решения уравнений (3.12) в (3.14) и последующее интегрирование позволяют найти зависимости x и y от а и ß. При этом необходимо исключить у с помощью (3.4). Зависимость напряжений ст^ и ст2 от а и ß следует из (2.2) и (3.4). Таким образом, зависимость oj и о2 от x и y получена в параметрическом виде.
4. Заключение. Показано, что при плоской деформации однородного пористого тела, подчиняющегося пирамидальному условию текучести, радиусы кривизн характеристических линий определяются уравнением (3.13). Причем, R0 и S0 удовлетворяют по отдельности телеграфному уравнению, для которого функция Римана известна. В классической теории пластичности несжимаемых материалов величина ф, входящая в (3.13), равна я/4. Таким образом, из (3.13) следует, что R = R0 и S = S0, а уравнения (3.9) совпадают с (3.12). При ф ^ п/4 известные решения по классической теории пластичности могут быть использованы для нахождения зависимостей R0 и S0 от а и ß. Действительно, пусть известно некоторое решение при ф = я/4. Тогда, соответствующее решение в рамках рассматриваемой модели пористых тел получаются после применения преобразования (3.13) при заданном значении ф ^ я/4 и интегрирования в (3.14).
Работа выполнена при финансовой поддержке грантов РФФИ-13-01-93000-Вьет_а и НШ-1275.2014.1.
СПИСОК ЛИТЕРАТУР
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.