тгавить вопрос об »етааии, а именно нтовой механики, екая интерпрета-:ли и существуют Но на следующем
ну, излагать сле-механике) имеют ие скрытые пара-[ (какие-то фазы). цы в том и ли ином крытым парамет-(екотором смысле гимым процессам на примере одной )ычное уравнение ю, во всяком слу-ш вероятностей в гь, что у частицы ;азать, что кван-мй вероятностей экотором смысле мественные рас-еленности, не те-доказательства ничиться равно-
ее туманны, чем л квантовой ме-зрпретация, так ется, такие рас-шенность кван-ли не решение, I, чем обычные,
164.
шло 4.II.2004 г.
ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ -A..L , .
И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА м Ч "
Том 143, № 3 v. . - *ч июнь, 2005
. -гш< väti
«Д.ЙЧ t ! ' ■ i . ,•.>■■• <; i
.. f. - H.J
->c;fi. • If* ■<■
HP г>1 ■-'^•'Л.
•; - >? ■
" * «J» >'< - ; -, •
Я», •
. . II
©2005 г. - - A.B. Латышев*, A.A. Юшканов* : >
МЕТОД СИНГУЛЯРНЫХ УРАВНЕНИЙ В ГРАНИЧНЫХ ЗАДАЧАХ КИНЕТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ
Развивается новый эффективный метод решения граничных задач кинетической теории. Метод позволяет получить решение граничных задач для зеркально-диффузных граничных условий с произвольной степенью точности. В основе метода лежит идея разбиения задачи на две, одна из которых имеет диффузное условие отражения молекул от стенки, а вторая - зеркальное условие. Метод излагается на примере классических задач кинетической теории - задачи Крамерса (об изотермическом скольжении) и задачи о тепловом скольжении. Используются уравнение Вхатнагара-Гросса-Крука (с постоянной частотой столкновений) и уравнение Вильямса (с частотой столкновений, пропорциональной скорости молекул). -Ц»-.- V(,4. Г •-!? .' , (,,
Ключевые слова: граничная задача, кинетическое уравнение, задача Крамерса, задача о тепловом скольжении, коэффициенты изотермического и теплового скольжений.
1. ВВЕДЕНИЕ
Метод сингулярных интегральных уравнений является важным методом в теоретической и математической физике, с помощью которого был решен ряд значительных проблем [1]. В кинетической теории точному аналитическому решению поддается сравнительно узкий класс граничных задач [2], [3]. Поэтому развитие новых эффективных методов в этом направлении является актуальной проблемой.
К настоящему времени имеется ряд граничных задач кинетической теории, решенных аналитически (см., например, [4]-[6]). Однако в этих задачах условие на стенке является либо диффузным, либо почти зеркальным. Если взять в этих задачах более общее граничное условие, например, зеркально-диффузное условие (условие Максвелла) на стенке, точное решение построить не представляется возможным.
В то же время ощущается настоятельная потребность в решении ряда задач как для электронов в металле (скин-эффект), так и для разреженных газов (скольжение и скачки макропараметров на границе газ-твердое тело) при наличии общих зеркально-диффузных граничных условий.
- - * - -m - j i 't't ■ * - г
* Московский государственный областной университет, Москва, Россия. E-mail: avlatyshev@comail.ru, yushkanov@mtu-net.ru i
Цена 18 |»у6. Переплет 1 р.
438 а. в. латышев, а. а. юшканов ,
В связи с этим в данной работе развивается метод, позволяющий получить решение задачи с зеркально-диффузным граничным условием Максвелла с произвольной степенью точности.
Метод основан на использовании сингулярных интегральных уравнений с ядром Ко-ши и на точном решении задачи с диффузным условием и задачи с зеркальным условием на стенке.
В работе [7] также был предложен метод для решения граничных задач с условием Максвелла, основанный на приближенном решении сингулярных интегральных уравнений. Особенностью предлагаемого в данной работе метода, в отличие от рассмотренного в работе [7], является совпадение с точными результатами при ц —> 0 и при ц = 1, т.е. когда коэффициент аккомодации тангенциального импульса принимает предельные значения: ц = 0 соответствует чисто зеркальному рассеянию молекул на стенке, д = I - полностью диффузному рассеянию.
Полученные в работе результаты показывают, что в случае постоянной частоты столкновений в задаче Крамерса значения коэффициента скольжения отличаются от значений того же коэффициента, рассчитанного в работе [8] на основе применения численных методов решения кинетического уравнения: при ц = 0.1 - на 0.014%, при ц = 0.5 - на 0.034%, при <7 = 0.9 - на 0.087%; при ц = 1 результаты совпадают. В задаче о тепловом скольжении эти значения отличаются при ц = 0.1 на 0.015%, при ц = 0.5 на 0.028%, при <7 = 0.9 на 0.006%; при ц = 1 значения совпадают.
2. УРАВНЕНИЕ БХАТНАГАРА-ГРОССА-КРУКА
Как известно [2], [5], [7], задача Крамерса с условием Максвелла на стенке сводится к решению следующей граничной задачи:
= 4= - (2-1)
.ОХ 0г
ф(0,ц) = (1-д)т-р), А» > 0, . " • ' (2.2) ф{х,ц) =флв{х,ц)+о{ 1), х > +оо, ц < 0, ' (2.3)
гДе . .... ...
, р) = 2и0 + 2д„(х - ц), ; г
Со ~ неизвестная скорость изотермического скольжения, ду - градиент безразмерной массовой скорости.
Разделение переменных в уравнении (2.1) приводит к выражению
* - ■' ' ' . ; * '. а
фГ1(х,р)=е-х/г>Ф(т),р), ... (2.4)
где г) - спектральный параметр, или параметр разделения.
Подставляя (2.4) в (2.1), приходим к характеристическому уравнению
(Ч-ц)Ф(т1,ц) =
(2.5)
Цена 18 Пареплет 1 р.
МЕТОД сингулярных уравнений в задачах кинетической теории 439 ; условием (нормировкой на собственную функцию Ф) . ^
/•Оо 5
/
J — оо
Ф(т),м)«гр = 1.
(2.6)
При V € (-00, оо) из уравнений (2.5), (2.6) в пространстве обобщенных функций [9]
находим собственные функции непрерывного спектра:
5 '¡|> г-Ц
' ф(п, и) = -^Р— + е"2\(щ)6(г} - м)-
(2.7)
Здесь А(,) - дисперсионная функция Черчиньяни, <$(*) - дельта-функция Дирака, символ Рх~1 означает главное значение интеграла от х , ' "
\{г) = 1 + г
1 е
л/п ]-оо г~
Решение задачи (2.1)-(2.3) теперь будем искать в виде
ф(х,ц) = гЫ*'м) + Фс(х,и),
где
■ (х,ц) = Г е-х/"Ф(гу,м)а
Уо < " '
(г?) йц,
(2.8)
(2.9)
а(п) - неизвестная функция (коэффициент непрерывного спектра), функцияФ определяется равенством (2.7), функции ^ и ^ являются решениями уравнения (2.1).
С помощью (2.8) перепишем условие (2.2) в виде
1/>с(0,м) -(1- «№с(о, -м) = м>0,
(2.10)
где
Мр) = (1 " <7)^(0, -р) - ^аз(0, л) = -29% + 25„(2 - д)М,
а условие (2.3) - в виде '
фс{+оо,ц) = 0, м<0.
Воспользовавшись тождеством , • „
А = дА + (1 - <7)А, 1
(2.11)
(2.12)
(О, /,) и ф0{ц) из уравнения (2.10) в виде (2.12). Тогдаусловие (2.10) мож-шде
#с(0,р) + (1 - «Ш<М - м0, = ^оЫ + (1 - М > 0- (2.13)
представим но записать в виде
Величины ц и 1 — ц являются линейно независимыми. Следовательно, условие (2.13) эквивалентно двум условиям:
^с(0,/х) = + ц>0, (2.14)
... /х) - ^с(0, -/х) = фо(ц) - чС{ц), ц> о, ,, (2.15)
где С (ц) - некоторая неизвестная функция.
Таким образом, задача Крамерса с условием Максвелла на стенке эквивалентна двум граничным задачам, первая из которых состоит из уравнения (2.1), условия (2.11) вдали от стенки и диффузного условия (2.14); вторая задача состоит из уравнения (2.1), условия (2.11) вдали от стенки и зеркального условия (2.15).
Обозначим через ф^ (х, /х) и ф^ (х, /х) соответственно решения первой и второй граничных задач. Их решение позволяет определить функции ф^(0, ц) и ф^(0, /х) через неизвестную функцию С(ц). Обозначим также ^с (¿0 = Фс2\о,ц) — Фс*\0, — А4)- Так как в точном аналитическом решении ф^\х, ц) = ф^ (х,ц), то очевидно, что функция С(ц) определяется из условия
ФсМ = 4*4- -/х). ' "' ' ' (2.16)
Перейдем к решению этих задач. "у.*"""
3. ЗАДАЧА С ДИФФУЗНЫМ ГРАНИЧНЫМ УСЛОВИЕМ
Начнем с первой задачи. Ищем решение в виде разложения (2.9). Подставляя (2.9) в левую часть условия (2.14), получаем сингулярное интегральное уравнение с ядром Коши:
1 г°° щЩп^ + хА(/х)аЫ = Ы(1) + (1 _ м > 0 (зл)
VК Jo V ~ И Введем вспомогательную функцию • (
ад'ГвМЙ, (3.2,
л/ТГ Т) - 2
, ■ - . -. . -аналитическую везде в комплексной плоскости кроме разреза вдоль положительной действительной полуоси. Граничные значения этой функции сверху N+(fJ,) и снизу ТУ- (/х) на полуоси /х > 0 связаны формулой Сохоцкого:
ЛГ+(/х) -N-(11) = 2у/ж1ца{ц), /х > 0. : -г ' (3.3)
Будем считать, что функция С(ц) аналитически продолжима с действительной полуоси в комплексную плоскость. С помощью граничных значений N(2) и Х(г) сведем уравнение (3.1) к краевой задаче:
А+Ы[7У+Ы - фо(») - (1 - д)С(ц)} = • г Ь • ' = А-(/1)[ЛГ-(/1) - ф0(ц) - (1 - д)С0х)], // > 0. . ' (3.4)
ц
Цена 18
Ш:
Переплет I в
льно, условие (2.13)
(2.14)
(2.15)
-с
1 эквивалентна двум условия (2.11) вда-из уравнения (2.1),
эрвой и второй гра-)кфс2\о,ц) через -^2)(0,-р). Так 1ИДН0, что функция
(2.16)
ЮВИЕМ
Подставляя (2.9) равнение с ядром
^ > 0. (3.1)
(3.2)
южительной дей-
N+(ß) и снизу
(3.3)
ствительной по-г) и А (г) сведем
(3.4)
метод сингулярных уравнений в задачах кинетической теории 441
Индекс коэффициента С(ц) = А- (/х) / А+ (ß) этой задачи равен x(G) = — 1. В самом деле, обозначим через 0(/х) = arg А+ (ц) регулярную однозначную ветвь аргумента, фиксированную в нуле условием 0(0) = 0. Заметим, что #(+оо) = тт. Следовательно,
x(G) = ¿[аг6СЫ](0,+оо) - -^[Ö(/x)](o,+oc) = = _i.
2тг1
Рассмотрим однородную задачу, соответствующую задаче (3.4):
Х+М А+(/х)
Решение задачи (3.5) [10] имеет вид
А "(л)' C(r)dr
ß>0.
(3.5)
*W = I.v(.), vW = ircWÜL, c(r) = -
z 7Г Jq T — Z
arctg ■
А (r)
2 7гу0 т — г " 2 уДте-т2'
Преобразуем задачу (3.4) с помощью (3.5) к задаче определения аналитической функции по ее нулевому скачку на разрезе: ,пг . . .... ..„- . ,.
. х+(»)[м+(ц) - Ми) - (1 - </№)] = .' ■;
= Х- Ы[ЛГ- („) - тр0(/х) - (1 - Л > 0. (3.6)
Общее решение задачи (3.6) зависит от порядка роста функции С (/л) в бесконечно удаленной точке. Ограничимся далее для определенности приближениями нулевого и первого порядков, взяв в качестве функции С(ц) полином первой степени С(ц) = Со + С\ц (в нулевом приближении С(ц) = Со, С\ = 0). Тогда общее решение задачи (3.6) дается формулой
¿о
N(z) = -2U0q + 2(2 - q)gvz + (С0 + Схг)(\ - q) +
X(z)>
(3.7)
где do - произвольная постоянная. ,, ,
Неизвестная функция а (г/) находится из равенства (3.3), е
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.