ИЗВЕСТИЯ РАН. ТЕОРИЯ И СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ, 2013, № 1, с. 3-17
ТЕОРИЯ СИСТЕМ И ОБЩАЯ ТЕОРИЯ УПРАВЛЕНИЯ
УДК 681.5:629.7
МЕТОД СИНТЕЗА ЗАКОНОВ "МЯГКОГО" И "СВЕРХМЯГКОГО" УПРАВЛЕНИЯ КОНЕЧНЫМ СОСТОЯНИЕМ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ
© 2013 г. Г. Н. Разоренов
Москва, Военная академия РВСН им. Петра Великого Поступила в редакцию 15.07.11 г., после доработки 19.04.12 г.
Рассматривается задача синтеза законов управления конечным состоянием динамической системы в нетрадиционной постановке, когда наряду с краевыми условиями для параметров состояния системы задаются краевые условия для управляющих воздействий. Законы управления, обеспечивающие нулевые значения управляющих воздействий в терминальный момент времени, названы законами "мягкого" управления. Законы управления, при которых обеспечиваются нулевые значения не только самих управляющих воздействий в терминальный момент времени, но и ряда их последовательных производных по времени, названы законами "сверхмягкого" управления. Практическая целесообразность применения подобных законов в алгоритмах управления летательными аппаратами и объектами других типов показана в работах, приведенных в списке литературы.
DOI: 10.7868/S000233881206011X
Введение. Одной из первых отечественных работ, в которых были рассмотрены законы "мягкого" и "сверхмягкого" управления и показана целесообразность их применения в задачах управления движением летательных аппаратов и объектов других типов, является монография А.П. Батенко [1]. Однако в этой публикации данные законы управления были получены лишь для частного случая линейной системы второго порядка, а общий метод синтеза управлений здесь не рассматривался. Тем не менее приведенные в этой монографии законы управления, выраженные в виде программ управления разомкнутого типа, а также в виде законов замкнутого управления, сформированных по принципу обратной связи, нашли затем многочисленные применения как сами по себе, так и в рамках общей концепции синтеза управлений по методу решения обратных задач динамики [2].
Постановка общей задачи синтеза законов "мягкого" и "сверхмягкого" управления конечным состоянием многомерных нелинейных динамических систем, а также ее решение методами вариационного исчисления принадлежат проф. В.Н. Бородовскому (НПЦ АП им. акад. Н.А. Пилюгина.). Основное содержание разработанного В.Н. Бородовским метода синтеза законов "мягкого" и "сверхмягкого" управления изложено в [3, 4]. В этих же публикациях показана целесообразность применения таких законов для управления процессом силового приведения гиростабилизирован-ной платформы (ГСП) ракеты в заданное угловое положение перед пуском. В частности, при управлении угловыми разворотами ГСП традиционными методами требуется мгновенное обнуление управляющего момента при достижении ГСП заданного терминального состояния [4]. Однако на практике обнуление управляющего момента возможно лишь за некоторое конечное время. Данное обстоятельство негативно влияет на точность управления и ухудшает динамику переходных процессов в окрестности терминального состояния. Применение в этих условиях закона "мягкого" управления обеспечивает плавное уменьшение управляющего момента по мере приближения к терминальному состоянию, что, как показывают натурные эксперименты, заметно повышает точность управления. Эффективность аналогичных законов управления применительно к объектам других типов показана в [5] на примере задачи управления полетом ступени разведения элементов полезной нагрузки ракеты-носителя, где трудно выполнимое на практике требование мгновенного обнуления тяги двигательной установки ступени разведения также может быть снято и заменено законом управления, обеспечивающим плавное уменьшение тяги до нулевого значения по мере приближения объекта управления к заданному терминальному состоянию.
Накопленный к настоящему времени опыт применения законов "мягкого" и "сверхмягкого" управления показывает, что данное направление теории аналитического конструирования тер-
минальных регуляторов заслуживает дальнейшего развития и совершенствования. Актуальным является также поиск новых подходов к задаче синтеза управлений, обладающих теми или иными преимуществами по сравнению с известным методом. Цель настоящей публикации состоит в том, чтобы изложить один из таких новых подходов к задаче синтеза законов "мягкого" и "сверхмягкого" управления для класса линейных и линеаризованных моделей динамических систем. В отличие от вариационного метода В.Н. Бородовского [3] данный подход не использует понятий вариационного исчисления, а опирается на предварительно найденный оптимальный закон управления, полученный согласно методологии принципа максимума Л.С. Понтрягина. Это существенно упрощает всю процедуру синтеза управлений и делает ее предельно прозрачной. Основу данного подхода составляет идея введения в оптимальный закон управления, сформированный в рамках классической задачи синтеза, дополнительных функций влияния. Эта мера позволяет увеличить число степеней свободы управляющих воздействий, чем и обеспечивается возможность решения задачи синтеза с дополнительными краевыми условиями, характеризующими свойства "мягкости" и "сверхмягкости" искомого закона управления. Основные положения данного подхода излагались ранее в [5, 6].
1. Постановка задачи. В задаче синтеза управлений по методу В.Н. Бородовского первоначально рассматривается нелинейная система в виде совокупности нелинейных дифференциальных уравнений с краевыми условиями в виде нелинейных многообразий. Однако далее в соответствии с принятым в этом методе вариационным подходом задача сводится к синтезу управлений в линеаризованной системе с краевыми условиями в виде линейных многообразий. Учитывая это, будем сразу ставить задачу управления для линейной динамической системы, минуя процедуры линеаризации нелинейной системы и перехода к уравнениям в вариациях. Это позволяет упростить рассматриваемую далее методику синтеза управлений, не умаляя вместе с тем общности получаемых результатов.
Итак, рассмотрим модель гладкой линейной нестационарной динамической системы
х = А(')х + В(')и; х е X с Я" и е и с Ят; г е [го,гк]. (1.1)
Здесь х — и-мерный вектор параметров состояния системы; и — га-мерный вектор управляющих воздействий; Xи и — фазовое пространство и пространство управлений системы (1.1); 'о и ^ — начальный и конечный моменты времени интервала управления. Векторы х и и рассматриваются как столбцы. Предполагается, что ограничения на величину управляющих воздействий, как и на длительность процесса управления, отсутствуют, а функции, описывающие матрицы А(') и В('), непрерывны и дифференцируемы.
Будем полагать, что система (1.1) обладает свойством полной достижимости, чем определяется существование решения задачи управления конечным состоянием системы во всем фазовом пространстве при произвольных начальных и конечных состояниях. По известному критерию Р. Калмана [7, с. 46] свойство полной достижимости системы гарантируется фактом невырожденности матрицы достижимости:
'к
СХ'о,'к) = |Ф('к,г)В(г)Вт(г)Фт(гк,г)йг; |0(го,'к) * 0. (1.2)
'о
В формуле (1.2) Ф(?к, 0 есть переходная матрица, определенная равенством
Ф(' к,') = ¥(' к )¥-1('),
где у(') — фундаментальная матрица однородной системы
х = А(')х. (1.3)
С целью упрощения изложения ограничимся задачей управления с закрепленными концевыми точками, т.е. будем полагать, что заданы начальное и конечное состояния системы:
х('о) = х о; х(гк) = хк. (1.4)
В дополнение к краевым условиям (1.4) зададим конечные значения вектора управляющих воздействий и ряда его последовательных производных по времени до порядка I включительно, которые в частном случае могут быть нулевыми:
и('к) = ик, (1.5)
и('к) = и к, (1.6)
ü(iK) = ü к, (1.7)
u(0(iK) = üK°. (1.8)
В задаче требуется синтезировать законы разомкнутого (программного) управления, а также законы замкнутого управления, сформированные по принципу обратной связи и обеспечивающие выполнение краевых условий (1.4)—(1.8). Краевые условия (1.6)—(1.8) для производных от управляющих воздействий подразумевают, что искомые законы управления должны обладать свойством дифференцируемости до порядка l включительно в конечный момент времени. Примем, что соответствующее свойство гладкости должно быть присуще синтезируемым законам управления на всем интервале управления. Требование оптимальности искомых законов управления по какому-либо критерию постановкой задачи не предусматривается, при этом не исключается, что рассматриваемая задача синтеза управлений может иметь не единственное решение. Далее будем использовать следующие определения.
Определение 1. Закон управления, обеспечивающий перевод системы (1.1) из заданного начального состояния x0 в заданное конечное состояние хк, называется законом "мягкого" управления, если управляющие воздействия в конечный момент времени ?к равны нулю, йк = 0.
Определение 2. Закон управления в той же задаче управления называется законом "сверхмягкого" управления порядка l , если сами управляющие воздействия и их последовательные производные по времени до порядка l включительно равны нулю в момент ?к: йк = ü к = ... = ü^ = 0.
Таким образом, сформулирована задача управления с нетрадиционными краевыми условиями (1.5)—(1.8) для управляющих воздействий. Такая задача требует применения специальных способов ее решения. Способ, излагаемый ниже, основан на использовании хорошо известного в теории управления решения задачи в ее традиционной постановке, когда рассматриваются только краевые условия (1.4) для параметров состояния системы, а к искомому закону управления предъявляется требование его оптимальности по квадратичному критерию минимума энергетических затрат на управление:
'к
J = 1 fü'Rüdt ^ min, (1.9)
2 J x,u
to
где R — положительно определенная весовая матрица. Для удобства последующих ссылок приведем основные этапы получения данного закона управления.
2. Решение задачи управления в традиционной постановке. Для получения закона управления динамической системой (1.1) в задаче с краевыми условиями (1.4) и с критерием оптимальности
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.