МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА № 2 • 2015
УДК 539.3
© 2015 г. Е. А. БАШКАНКОВА, А. Б. ВАКАЕВА, М. А. ГРЕКОВ
МЕТОД ВОЗМУЩЕНИЙ В ЗАДАЧЕ О ПОЧТИ КРУГОВОМ ОТВЕРСТИИ В УПРУГОЙ ПЛОСКОСТИ
Методом возмущений построено решение плоской задачи теории упругости для плоскости с криволинейным отверстием, близким по форме к круговому. Дан алгоритм вычисления любого приближения, которое представлено в виде интеграла типа Коши, зависящего от всех предыдущих приближений. В явном виде получены комплексные потенциалы первого приближения для эллиптического отверстия и криволинейного отверстия, граница которого отклоняется от единичной окружности в радиальном направлении по косинусоидальному закону. На примере эллиптического отверстия проведен анализ погрешности первого приближения при вычислении коэффициента концентрации напряжений путем сравнения его с точным решением. Исследовано влияние формы отверстия на распределение окружных напряжений на границе.
Ключевые слова: метод возмущений, плоская задача, криволинейное отверстие, концентрация напряжений.
1. Введение. Решение целого ряда важных проблем механики твердого тела можно построить при помощи метода возмущений. Во многих случаях этот метод связан с возмущением границы тела, для которой соответствующая краевая задача имеет простое решение или может быть достаточно просто решена в замкнутом виде.
В задачах теории упругости при использовании метода возмущений границы, как правило, привлекаются интегральные представления и интегральные уравнения. Таким путем были исследованы полуограниченные трещины с фронтом, близким к прямой линии [1, 2], а также трещины, близкие к круговым [3—6]. В этих трехмерных задачах для поверхности данной трещины, т.е. для возмущенной поверхности, базовая поверхность лежит в плоскости. Примером возмущенной поверхности, для которой базовая поверхность не лежит в плоскости, является "сморщенная" поверхность трещины, возмущенная из плоской круговой [7], и поверхность слабо искривленной трещины при плоской деформации [8]. Метод возмущений в работах [7, 8] основан на использовании фундаментального решения Кельвина [9] и соответствующих гиперсингулярных интегральных уравнений. Метод возмущений в сочетании с сингулярными интегральными уравнениями был применен к анализу криволинейных трещин, близких к прямолинейной, в [10, 11] и к трещине в виде дуги окружности в [11].
Кроме задач о трещинах метод возмущений применялся также к задачам о деформации упругого тела, имеющего волнистую внешнюю границу или границу раздела его разнородных частей. Так, в [12] исследована концентрация напряжений у волнистой поверхности в двумерном и трехмерном случаях, используя функции Грина и решения соответствующих задач [13, 14].
Для плоской задачи теории упругости разработан весьма мощный метод комплексных потенциалов Колосова [15, 16], который во многих случаях позволяет применять метод возмущений границы, не привлекая интегральные представления и интеграль-
ные уравнения. Методом возмущений, основанным на использовании потенциалов Колосова и соотношений Мусхелишвили [16], были построены решения задач о криволинейной трещине [17, 18], а также решены двумерные задачи о включении, близком к круговому, и двухкомпонентном композите с границей раздела, близкой к прямолинейной [19].
Применение метода возмущений в названных работах ограничивается построением первого приближения, которое даже в случае плоской задачи ищется различными способами. В то же время при использовании комплексных представлений Колосо-ва—Мусхелишвили разработан единый путь построения решения методом возмущений, позволивший создать алгоритм нахождения любого приближения для широкого круга краевых задач [20—27]. Вместе с тем, поскольку анализ эффектов, связанных со слабым отклонением границы от базовой (плоскость, окружность, прямолинейная граница и пр.), удается провести уже при помощи первого приближения, то очень важно оценить погрешность этого приближения. Сравнение его с методом конечных элементов показывает близкие результаты по вычислению коэффициента концентрации напряжений у синусоидальной поверхности [19], однако не дает ответа о погрешности первого приближения, поскольку оба метода являются приближенными. Цель данной работы — применить метод возмущений к задаче о почти круговом отверстии в упругой плоскости и оценить погрешность первого приближения для двух видов отверстий, сравнив его с известным точным решением соответствующей задачи для эллиптического отверстия.
2. Постановка задачи. Рассмотрим бесконечное упругое тело или пластину с цилиндрическим отверстием, близким по форме круговому единичного радиуса (фиг. 1). Считаем, что выполнены условия плоской деформации или плоского напряженного состояния, и в плоскости, перпендикулярной оси цилиндра, граница отверстия Г определяется равенством
г -С = ^ (1 + е/( 5)), С^Г (2.1)
где 5 = е'9, I = ге'9; г, 9 — полярная система координат, ' — мнимая граница, 0 < б 1, 1.
В общем случае считаем, что на Г действуют нормальные апп и касательные <зш усилия
+ I = Р (О, СеГ (2.2)
а на бесконечности заданы напряжения в декартовой прямоугольной системе координат x1, x2 ^ = x1 + 1x2) и угол поворота ю:
Нш а ¡у = sij, Нш ю = 0 (2.3)
г — <» г — <»
В произвольной точке плоскости z вектор напряжений ап = ат + юш и вектор перемещений u = u1 + ш2, где u1 и и2 — перемещения вдоль осей x1 и x2 соответственно, связаны с комплексными потенциалами Гурса—Колосова Ф, голоморфными в области О вне отверстия, общим соотношением [16, 28]:
0(г) = пФ(г) + Фг"' + гФ7(7) + ], г е О
аг
(2.4)
ед = Ь(г), п = 1
[-2 ^аы/аг, п = -к
Здесь dz = \dz\e'"', а — угол между осью x1 и осью ? локальной системы координат п, ?, отсчитываемый от оси х1 против часовой стрелки, к = (1 + 3ц)/(1 + ц) при плоской деформации и к = (51 + 6ц)/(31 + 2ц) при обобщенном плоском напряженном состоянии, 1, ц — параметры Ламе. Черта сверху означает комплексное сопряжение, штрих — производную по аргументу.
Поведение функций Ф^) и при z ^ <» определяется соотношениями
Ф(г) = А - —1 + 0(Л, ¥(г) = + —К^—1 + 0(1
2п( 1 + к) г У' 2 п( 1 + к) г У
(2.5)
А = (5П + ^)/4, Б2 = (^ - 5ц + 2¡312)/2 , Р = I \р(С)аС
3. Метод возмущений. Заметим, прежде всего, что при известном конформном отображении внешности отверстия на внешность (внутренность) круга можно найти точное решение задачи определения напряженно-деформированного состояния плоскости с отверстием, имеющем достаточно гладкую границу. Согласно теореме Ри-мана такое отображение всегда существует, однако в подавляющем числе случаев его аналитическое выражение для заданного отверстия может быть найдено только приближенно [29]. Для почти круговых отверстий альтернативой конформному отображению может служить аналитический метод возмущений границы, для применения которого нет необходимости вводить криволинейную систему координат, в которой граница отверстия должна быть одной из координатных линий.
Чтобы построить алгоритм для нахождения любого приближения в методе возмущений, введем новую функцию У^), голоморфную в конечной области В с границей
Г = {г г"1 е Г} (фиг. 2):
г
-1.5
Фиг. 2
Т(г) = - Ф[ + z~2(гФ'[+ 1
D
При учете (3.1) соотношение (2.4) принимает вид
1
G(z) = пФ(г) + Ф(г) +
■г
Ф( г) + TI-II + [г --1Ф' (г)
-2 ia
(3.1)
(3.2)
Полагая в равенстве (3.2) п = 1, перейдем в нем к пределу при z ^ С е Г, а = а0, где а0 — угол между положительным направлением касательной к кривой Г в точке ^ и осью х:. Учитывая условие (2.2), приходим к краевому условию, которому должны удовлетворять функции Ф^) и У^):
ф(0 + Ф(С) +
Ф(0 + TI-II + [Z - - )Ф'(0
1
-2ia0
e = P(Z)
(3.3)
Здесь приняты обозначения Ф(0 = lim Ф (z) при z е ^ и Y(Z) = lim T (z) при z e D.
z ^C г ^C
ia0
Так как e = dZ/\dZ\ и согласно (2.1) dZ = is(1 + sg(s))d9, где g(x) = f(s) + sf'(s), то уравнение (3.3) преобразуется к следующему:
2?2.
sZ-K
52С (1 + е*(5))(Ф(С) + Ф(О) -(1 + е*(5))[Ф(С) + Т(С ) + <Ж- 1 )Ф'(01 (=3 4)
= 52 С2 (1 + е*( 5 ))р (С), СеГ
В уравнении (3.4) ^ е Г, а С, е Г , причем Г = Г только при е = 0, т.е. в случае кругового отверстия. В общем случае при 0 < б 1 кривые Г и Г представляют собой малое возмущение единичной окружности. В связи с этим, следуя [20—27], для нахождения функций Ф, У и решения задачи в целом воспользуемся методом возмущений, который сводится к разложению искомых функций по степеням малого параметра е:
Ф(г) = У Фт(г), T(г) = V ^Т„(г) ¿—I m! m'
-- о
m!
(3.5)
да
да
о
m
m
В свою очередь предельные значения функций Фт на Г, функций Тт на Г и функцию р(^) разложим в соответствующие ряды Тейлора в окрестности единичной окружности = 1, рассматривая переменную 5 как параметр
,(0 = х Л)^Ф^(3), = X Л)3*"\
Ф
к = 0
к = 0
а3
(3.6)
( 6 Л ) ) рк) (3) к! ^
Р (С) = х1
к = о
При учете разложений (3.5), (3.6) уравнение (3.4) принимает вид
" р™ " Г - 2
X ™ X |(1+)(1 +6 *)
т! ■
- 0 к = 0
(Л Фк ( 3) + (рЛ Фк ( 3)" _к! к! .
- (1 + 6*)
(Л к!
Фтк)(з)+—к^т{у+3(1+бЛ) ((1+бЛ (1+бЛ) -1) Фтк+1)(з)
а3 3
(3.7)
(1+бЛ )2 (1+р*) х(Лк) (3)
к = 0
к!
Здесь введено обозначение Л = Л( 3) = /(3). Принимая во внимание разложения (3.5), (3.6), соберем в (3.7) коэффициенты при Ет (т = 0, 1, ...). Тогда приходим для каждого приближения к краевой задаче Римана—Гильберта о скачке функций Ет^), голоморфных вне единичной окружности = 1:
^(3) - Нт(3) = 4т(3) , I3 = 1
() н() н() К (г), г > 1
нт(3) = , ,11Ш нт(г) , нт(г) = \
г-1 +0 [Т„(г), г < 1
(3.8)
(3.9)
Функции дт находятся из (3.7) и для первых трех приближений определяется формулами:
40 (3) = -Р
Ы3) = - 3/р' + (* + 2Л)(Ф0 -р) + (* - * + 2Л)Ф0 + + 3/Ф0 + 3(Л+Л)Ф0 - *Т0 + 3/Т0
?2(3) = 2Л(Л + 2*)(Ф0 + Ф0 -р) + 23Л2Л + *)(Ф0 -р) + (3.10)
+ 23Л2Л + 3Л + * - *)Ф0 - 23Л*Т0 + (3Л)2(Ф0' -р") -- 3Л(23Т0 + 32Т0') + 2(2Л + *)(Ф1 + Ф1) - 2*(Ф + Т1) +
+ 23ЛФ1 + 23(Л+Л)Ф1 - 2*Т0 + 23ЛТ,1
зо
т
Фиг. 3
Здесь аргумент 5 у функций опущен для сокращения записи. Согласно Мусхели-швили [16] решение задачи (3.8) имеет вид
^ (г) = -1-. Г ^ б* + Ят (г)
2яг ^ 5 - г
15 = 1 (3.11)
Ло = А + Сг1 + Бг2, Ят = 0 (т = 1, 2
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.