Автоматика и телемеханика, № 8, 2014
Линейные системы
© 2014 г. В.Г. МЕЛЬНИКОВ, д-р техн. наук (melnikov@mail.ifmo.ru), Н.А. ДУДАРЕНКО, канд. техн. наук (dudarenko@mail.ifmo.ru)
(Санкт-Петербургский национальный исследовательский университет информационных технологий, механики и оптики)
МЕТОД ЗАПРЕЩЕННЫХ ОБЛАСТЕЙ В ПРОБЛЕМЕ ЛОКАЛИЗАЦИИ СПЕКТРОВ МАТРИЦ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ1
Получены новые критерии локализации спектров матриц динамических систем в многосвязных областях. Введено понятие запрещенной области,, предложено обобщение теоремы Ляпунова-Джури на многосвязные области локализации. Получены в виде последовательности матричных неравенств необходимые и достаточные условия локализации спектра вне запрещенной области. На примерах показано построение условий локализации спектра вне частотных полос и робастной локализации корней в многосвязной области.
1. Введение
В теории линейных динамических систем проблеме локализации корней на комплексной плоскости уделяется большое внимание. Известны условия локализации корней в открытых областях с границами в виде прямых и кривых второго порядка [1—4], имеются предложения о применении кривых четвертого и выше порядков [5-9]. В [1, 5] дано обобщение матричного уравнения Ляпунова о локализации спектра матрицы. Проблема локализации корней актуальна для систем робастного управления [10-15] и управления мульти-агентными системами [16].
2. Локализация корней вне замкнутой запрещенной области S
Задачу локализации спектра в открытой, не включающей границы, области D будем трактовать как задачу отсутствия собственных значений матрицы в запрещенной области S, определяя D = C\S [7, 8]. При этом области S и D могут быть многосвязными, ограниченными или неограниченными. Преимущество такого подхода в том, что запрещенные области можно рассматривать по частям, поскольку локализация вне запрещенной области эквивалентна одновременной локализации вне каждой из ее частей и, как следствие, в пересечении расширенных областей локализации, которые являются
1 Работа выполнена при финансовой поддержке ведущих университетов РФ (субсидия 074-U01), Министерства образования и науки РФ (проект № 14.Z50.31.0031), Российского фонда фундаментальных исследований (проект №10-08-01046), Комитета по науке и ВШ правительства Санкт-Петербурга.
пересечениями дополнений запрещенных подобластей до С. При этом запрещенные области можно разбивать на конечное или континуальное множество подобластей, пересекающихся или непересекающихся. Границы запрещенной области и границы запрещенных подобластей могут быть кусочно-гладкими, состоящими из нескольких замкнутых или незамкнутых кривых.
Пусть для спектра корней вещественной (п х п)-матрицы А назначена замкнутая ограниченная или неограниченная многосвязная запрещенная область >5, представленная в виде объединения конечного множества пересекающихся или непересекающихся подобластей, включающая все граничные кривые, конечные и бесконечные,
(1) 5 = и5„ V а = 1^7.
Расширенными областями локализации назовем дополнения подобластей Ба до С:
(2) 1)а=С\5а3 1) V а = Т^,
Д С Да обусловлено тем, что Б а С Б ^ С\Ба ^ С\ и Ба.
Теорема 1. Если запрещенная область представлена объединением запрещенных подобластей (1), то область локализации спектра представляется в виде пересечения множества расширенных областей локализации:
(3) Б = Б* при Б = С\5, £>* = = П(С\5а) V« = 1757.
Аналогичное утверждение верно и в случае континуального множества покрывающих с пересечениями замкнутых подобластей Б^ с границами, уравнения которых содержат функции с несколькими варьируемыми постоянными параметрами, являющимися функциями параметра сдвига ц.
Теорема 2. Пусть запрещенная область Б представлена в виде объединения континуального параметрического множества запрещенных подобластей, заданных на конечном интервале изменения параметра ц,
(4) Б = иБм V ц € [0, т],
т.е. пусть Б полностью покрывается ("заметается") подобластью Бм при изменении ц в указанных пределах. Тогда область локализации спектра матрицы А определяется как пересечение континуального параметрического множества расширенных областей
(5) Д = Д* при Д* = ПДМ, Дм = С\БМ V ц € [0, т].
Замечание 1. Можно допустить также случай ц € [0,т1] и [т2,т3] ... ... и [тк-1,тк], когда параметр сдвига пробегает несколько отдельных интервалов или принимает множество дискретных значений.
3. Обобщение теоремы о локализации спектра матрицы
К настоящему времени хорошо разработана теория локализации корней матрицы в различных алгебраических областях, ограниченных прямыми линиями и элементарными кривыми второго порядка. Основополагающими результатами этой теории являются теоремы о локализации корней в открытой левой полуплоскости, в открытом центральном единичном круге и теорема Ляпунова о матричных неравенствах. Обобщение теоремы Ляпунова на области, задаваемые алгебраическими неравенствами, имеется в [1, 2, 5, 6]. Ниже предлагается обобщение этих результатов на случай многосвязных сложных областей.
Необходимое и достаточное условие устойчивости вещественной (п х п)-матрицы А, т.е. локализации ее спектра собственных значений в левой открытой полуплоскости, эквивалентно условию положительной определенности матрицы Н, являющейся решением матричного линейного алгебраического неравенства Ляпунова А'Н + НА < 0, т.е. уравнения А'Н + НА = —Q, где Q -назначаемая положительно определенная симметрическая (п х п)-матрица. Условие локализации спектра в единичном круге эквивалентно условию положительной определенности Н > 0 решения уравнения Н — А'НА = Q > 0, где в качестве Q можно, например, назначить единичную матрицу Q = Е [1].
Пусть на плоскости комплексной переменной в = х + гу € С задан алгебраический степенной многочлен вида
/ (в) = Ив)|2 — |^(в)|2 = Ф(в)ф) — ф(в)ф(в),
определяющий алгебраическую кривую Г = {в : /(в) = 0}, которая разделяет комплексную плоскость на открытую область локализации корней Б = {в : /(в) > 0} = С\Б и область Б = {в : /(в) ^ 0}. Тогда условие локализации в Б спектра собственных значений любой вещественной матрицы А можно назвать условием пустоты области >5. Имеет место обобщенная теорема Ляпунова-Джури [1, 2].
Теорема 3. Необходимое и достаточное условие локализации в Б спектра вещественной матрицы А эквивалентно условию положительной определенности симметрической матрицы Н, являющейся решением линейного алгебраического матричного неравенства
<р(А')Н<р(А) — ф(А')Нф(А) > 0
или уравнения
<р(А')Н<р(А) — ф(А')Щ(А) = Q, Q> 0,
где Q - назначаемая положительно определенная симметрическая (п х п)-матрица, А' - транспонированная матрица.
Выполним некоторое обобщение этой теоремы. Пусть на комплексной плоскости С запрещенная область представлена объединением (1) подобластей Ба с включенными границами Га, заданными уравнениями вида
/а(в) = 0:
(6) Ба = {з&С: /а(з) = ^0}, =
где (а(в),фа(в) - заданные многочлены от комплексной переменной в с вещественными коэффициентами. Тогда каждая открытая расширенная область Да = С\Ба, включающая область локализации Д и все запрещенные области, кроме Ба, определяется неравенством
(7) Да = {в € С : /«(в) = |^«(в)|2 |фа(в)|2 > 0} .
Теорема 4. Пусть многосвязная запрещенная область представлена в виде объединения (1) подобластей (6) и соответственно область локализации Д = С\Б представлена в виде пересечения (3) расширенных областей вида (7). Тогда необходимым и достаточным условием локализации спектра вещественной матрицы А в области Д является существование V симметрических положительно определенных матриц Ха, удовлетворяющих следующим матричным уравнениям:
(8) <ра(А')Ха<ра(А) - ■фа(А')ХаМА) =Яа>0, Уа = 1^7.
Замечание 2. Если в качестве Яа принять не зависящую от индекса единичную матрицу Е, то необходимым и достаточным условием локализации в Д спектра матрицы А является положительная определенность всех решений Ха последовательности матричных уравнений
СРа(А')ХаЫА) - фа{А')Хафа{А) =Е, V а = Т^.
Рассмотрим другой случай, когда запрещенная область Б покрыта континуальным множеством пересекающихся и непересекающихся подобластей Б^, зависящих от параметра сдвига ц. Точнее, пусть область ББ полностью заметается подобластью Б^ при изменении параметра ц в конечных пределах, причем Бц определяется неравенством вида
(9) Бм = {в € С : /(в,ц) = |((в,ц)|2 - |ф(в,ц)|2 < 0} , ц € [0,т].
Тогда имеет место следующая теорема.
Теорема 5. Пусть открытая область Д есть дополнение до С запрещенной многосвязной замкнутой области Б = иБм V ц € [0,т], образованной объединением подобластей вида (9). Необходимым и достаточным условием принадлежности спектра матрицы А области Д = С\Б является условие положительной определенности параметрической матрицы X(ц) при всех ц € [0^], являющейся решением матричного неравенства ((А',ц)Х(ц)((А,ц) — ф(А',ц)Х(ц)ф(А,ц) > 0 или уравнения
(10) ((А', ц)Х(ц)((А, ц) — ф(А', ц)Х(ц)ф(А, ц) = Я, ц € [0, V],
где Я - назначаемая симметрическая положительно определенная матрица, постоянная или зависящая от параметра ц, например, Я = Е.
Теорему 5 можно применять и в случае, если ц задано на объединении нескольких конечных интервалов.
4. Модифицированные овальные области Кассини
В качестве подобластей, покрывающих запрещенную область, предложим области, ограниченные модифицированными трехпараметрическими овалами Кассини. В уравнение классических овалов и пар овалов Кассини, расположенных симметрично относительно оси Оу, входят два параметра а2 ,с2, которые определяют их форму [17]. Рассмотрим на комплексной плоскости С модифицированные овалы Кассини с тремя параметрами, расположенные симметрично относительно вещественной оси и сдвинутые влево от мнимой оси на величину параметра у,
(11) Г(а, с, у) = {в = х + зу :((х + у)2 + у2)2 + 2с((х + у)2 — у2) + с2 — а2 = 0} ,
где допускаем, что новая система параметров и = (а, с, у) принадлежит области и = {и = (а, с, у) : а € (0, те), у € [0, те), с € [—а/2, 0] и [а, те)}.
Рис. 1. Овалы и пары овалов Кассини при у = 1, а = 1, с € [—0,5; 1,75].
Отсюда получаем удобную для численных расчетов овалов формулу
(12) Т(и) = |(ж, y):y =
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.