УДК 681.2.081
МЕТОДИЧЕСКИЕ ПОГРЕШНОСТИ МИКРОЭЛЕКТРОМЕХАНИЧЕСКИХ ДАТЧИКОВ ДАВЛЕНИЯ ПРИ ИЗОТРОПНОМ МОДЕЛИРОВАНИИ УПРУГИХ СВОЙСТВ МОНОКРИСТАЛЛИЧЕСКОГО КРЕМНИЯ1
METHODICAL ERRORS OF MICROELECTROMECHANICAL SENSORS OF PRESSURE AT ISOTROPIC MODELLING OF ELASTIC PROPERTIES
OF SINGLE-CRYSTAL SILICON
Бестугин Александр Роальдович
д-р техн. наук, профессор, декан факультета,
зав. кафедрой
E-mail: kaf23@guap.ru
Киршина Ирина Анатольевна
канд. эконом. наук, доцент
Окин Павел Александрович
аспирант
Филонов Олег Михайлович канд. техн. наук, доцент Санкт-Петербургский государственный университет аэрокосмического приборостроения
Факультет радиотехники, электроники и связи
Кафедра конструирования и технологии электронных и лазерных средств
Аннотация: Проведено исследование методической погрешности микромеханического датчика давления с вторичным емкостным измерительным преобразователем, возникающей из-за применения в конструкторских и метрологических расчетах изотропной модели упругих свойств монокристаллической мембраны. Получено решение уравнения Жермен-Лагранжа для круглых анизотропной и изотропной мембран, проведено сравнение значений их прогибов для обоих случаев. Проведенный анализ показал, что выходная погрешность измеряемой величины, соответствующей изотропному приближению, достигает 7 % от измеряемого давления и вносит существенный вклад в общую погрешность датчика. Показано, что эта погрешность может быть легко скомпенсирована схемотехническими средствами. Ключевые слова: методическая погрешность, монокристаллическая мембрана, анизотропия упругих свойств, уравнение Жермен-Лагранжа.
ВВЕДЕНИЕ
Создание прецизионных микроэлектромеханических систем (МЭМС), способных при достигнутом уровне миниатюризации полноценно конкурировать с системами аналогичного назначения в традиционном исполнении, в настоящее время стало одним из главных направлений развития микросистемой техники.
1 Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, гранты № 15-07-00118-а; 15-07-00119-а; 15-07-00120-а.
Bestugin Aleksandr R.
D. Sc. (Technical), Professor, Dean of Faculty, Head of Department E-mail: kaf23@guap.ru Kirshina Irina A.
Ph. D. (Economic), Associate Professor Okin Pavel A. Postgraduate Filonov Oleg M.
Ph. D. (Technical), Associate Professor Saint-Petersburg State University of Aerospace Instrumentation Faculty of radioengineering, electronics and communication
Chair of designing and technology of electronic and laser means
Abstract: This article examines the methodical error of microma-chined pressure sensor with secondary capacitive transducer due to the use of the calculations and metrology isotropic model of the elastic properties of single crystal membrane. Obtained solution of Germain-Lagrange equations for anisotropic and isotropic circular membranes compared the values of their deflections in both cases. The analysis showed that the output error of the measured value corresponding to the isotropic approximation reaches 7 % of the measured pressure values and contributes significantly to the total error of the sensor. Since the magnitude of this error is uniquely associated with the measured pressure, it can be easily compensated by means of circuit design.
Keywords: methodical error, monocrystalline membrane, anisotropy of the elastic properties, the equation Germain-Lagrange.
Существующее технологическое обеспечение производства МЭМС, основу которого составляют планар-ные технологические операции, обладают потенциалом, намного превышающим требования и проектные нормы как выпускаемых, так и перспективных МЭМС.
В частности, иммерсионные и ЕИУ — литографические системы обеспечивают линейное разрешение на уровне 13 нм, в то время как для большинства разрабатываемых МЭМС разрешение в 100 нм является избыточным.
Поэтому основными причинами расхождений результатов проектирования и экспериментов являются
д4 w + 2 d2w + d4w = q
л 4 , 2 . 2 , 4 D'
dx dx dy dx
(1)
вид:
д4 w + 2 d3w
1 з2 w + 1 aw + 2
d4W
dr
r dr
2 д3 W
3 2
r д9 dr
22 r dr
+ 1 ¿W
r4 de2
3 dr
2 2 2 r dr de
+
1 <LW = q
r4 ae 4 D'
где x = r cose; y = r sine; x2 + y2 = r2; e = arctgy/x;
cose = x/r; sine=y/r; ^ = - z = -SH^ ; ^ = X = cose .
dx r2 r dy r2 r
Граничные условия для круглой мембраны:
Wn = 0; d-W
n ' dn
= 0,
г
где Г — контур мембраны (окружность радиуса а), Жп — перемещение точек на контуре в направлении нормали п к пластине.
В решении уравнения Жермен-Лагранжа участвуют
, 3
следующие параметры: D =
ЕГ
12(1 - v2)
кость мембраны; E — модуль упругости кремния (100); v — коэффициент Пуассона кремния (100); h — толщина мембраны; а — радиус мембраны.
Существующее мнение о трудностях расчета и моделирования анизотропных структур [1] во многом преувеличено, по крайней мере, для мембран с простой топологией — круглых, эллиптических, прямоугольных, для которых решения уравнения Жермен-Лагранжа известны давно. Статика и динамика мембран с треугольными, трапецеидальными и другими экзотическими контурами подробно исследованы в [3].
Решение уравнения Жермен-Лагранжа для круглых или эллиптических мембран проводится в полярных переменных (r, 9) независимо от граничных условий. Вид этих решений зависит от геометрии мембраны — толщины h и диаметра 2а для окружности. Анизотропные модули упругости E(9) и коэффициенты Пуассона v(9) представляются функциями полярного угла 9, задающего направление на кристаллической плоскости (в данном случае на плоскости (100)) по отношению к одной из кристаллографических осей. В соответствии с [1] эти зависимости имеют вид:
— изгибная жест-
Рис. 1. Схема микромеханического датчика абсолютного давления с недеформированной круглой мембраной при ч = 0:
1 — мембрана (чувствительный элемент датчика); 2 — обкладки конденсатора — вторичного измерительного преобразователя; 3 — корпус датчика; q — давление среды
некорректные исходные допущения, неучет размерных и структурных особенностей МЭМС, а также анизотропия упругих свойств монокристаллического кремния [2].
Влияние анизотропии на метрологические характеристики МЭМС исследуется в данной статье на примере датчика абсолютного давления с чувствительным элементом в виде круглой монокристаллической мембраны и емкостным вторичным измерительным преобразователем (рис. 1), в состав которого входит та же мембрана — подвижная обкладка и металлизированное дно корпуса — неподвижная обкладка.
МЕТОДИКА ОПРЕДЕЛЕНИЯ ПОГРЕШНОСТЕЙ МЭМ ДАТЧИКОВ ДАВЛЕНИЯ
Вне зависимости от того, изотропна или анизотропна мембрана, ее поверхность при деформации описывается функцией прогиба Ж, являющейся решением уравнения Жермен-Лагранжа:
11
E(e) =
11 ,36■10 7 , 7 3 + cos 4 e
(Па),
v(e) = 1 , 43 + cos 4 e ( ) 7,73 + cos4e '
(2)
(3)
Подставляя в (2) и (3) значения угла e от 0 до 2п получим:
Emin = 1,3-Ю11 Па < E(e) < Emax = 1,7-Ю11 Па; (4)
11
В полярных переменных уравнение (1) принимает
AE(e) = Emax - Emin = 0,4-Ю11 Па; Vmin = 0,06 < v(e) < Vmax = 0,28;
(5)
М9) - УтаХ - ^п - 0,22
Беря некоторые фиксированные значения Е и V из интервалов (4) и (5), получим для изотропного случая решение, не зависящее от угла 9:
Щг, 9) - Ж(г) - ^ (а2 - г2)2.
Для анизотропных мембран решение уравнения Жермен-Лагранжа с учетом (2) и (3) после элементарных преобразований принимает вид [4]:
2 2 2 9> = =
— (а
22 г )
64Е (9) й3/12( 1 - V2)
2 2 2
= 12—(а - г ) (57,7 + 12,6еов(49))
727 ■ 1011 И3
(7,73 + еоБ (49))
а 2п
Са = и
880 гй9йг 0 о йо - т г, 9 )
для анизотропного случая
а 2п
си = i i
880гй9йг
0 о йо - т( г)
для изотропного.
Максимальное давление, измеряемое датчиком с выбранной геометрией мембраны в соответствии с [6],
рассчитывается по формуле:
2
[ас:] 4И2 7
—тах = « 1-10' Па = 10 МПа,
3а
а максимальный прогиб мембраны определяется как
4
тотах = 136 ^^ « 3-10-5 = 30 мкм. 16 ЕИ
3
Жох Жо2 Жоз
т
I I IVI I
Конструкторские и метрологические расчеты при проектировании датчиков упрощаются для изотропных материалов, поскольку в известных методиках они рассматриваются как континуальные среды с постоянными Е и V. Упругие свойства монокристаллических анизотропных мембран описываются тензорами четвертого ранга, компоненты которых зависят от направления в монокристалле и принципиально не сводятся к одномерным скалярным моделям.
Для определения методической погрешности датчика из-за применения в расчетах изотропных моделей вместо анизотропных рассмотрим в качестве эталона аналогичный по размерам датчик с анизотропной кремниевой мембраной.
В качестве параметра, по которому будем сравнивать изотропный и анизотропный датчики, выберем емкости вторичных измерительных преобразователей при одинаковых давлениях —.
Функциональная схема измерительного канала микромеханического датчика абсолютного давления с емкостным вторичным измерительным преобразователем при нагруженных мембранах и их сечения плоскостью, параллельной основанию датчика, приведены на рис. 2.
В соответствии с [5] емкости конденсаторов с деформируемой обкладкой (мембраной) вычисляются как двойные интегралы:
Рис. 2. Схема работы измерительного канала МЭМ датчика при нагруженных мембранах:
1 — недеформированная мембрана (обкладка вторично измерительного преобразователя); 2 — деформированная мембрана с модулем упругости Е = 1,7-Ю11 Па; 3 — деформированная анизотропная мембрана; 4 — деформированная изотропная мембрана с модулем упругости Е = 1,3-Ю11 Па; 5 — металлизированная неподвижная обкладка (дно корпуса); А — сечение мембраны плоскостью А (деформация изотропная
Е = 1,7-Ю11 Па); В — сечение мембраны плоскостью А (деформация анизотропная); С — сечение мембраны плоскостью А (деформация изотропная Е = 1,3-Ю11 Па)
Предел прочности кремния [а^] принимаем равным 2-109 Па, хотя в справочной литературе приводятся и другие значения этой величины. Зазор йо между обкладками должен удовлетворять требованию: йо < тОтах = 30 мкм.
Для повышения чувствительности вторичного измерительного преобразователя уменьшим значение зазора йо до интервала 5-10 6 м < йо < 10-10 6 м, вследствие чего п
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.