ПРОБЛЕМЫ МАШИНОСТРОЕНИЯ И НАДЕЖНОСТИ МАШИН
№ 2, 2015
УДК 539.3
© 2015 г. Гусев Е.Л.
МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ ПРЕДЕЛЬНЫХ ВОЗМОЖНОСТЕЙ СТРУКТУРНО-НЕОДНОРОДНЫХ КОНСТРУКЦИЙ С ТРЕБУЕМЫМ КОМПЛЕКСОМ СВОЙСТВ ПРИ ВОЛНОВЫХ ВОЗДЕЙСТВИЯХ В ВАРИАЦИОННОЙ ПОСТАНОВКЕ
Институт проблем нефти и газа СО РАН, г. Якутск
На основе математического и компьютерного моделирования проведено исследование задач оптимального синтеза структурно-неоднородных конструкций с требуемыми энергетическими характеристиками при волновых воздействиях. Задачи оптимального проектирования конструкций сформулированы в вариационной постановке. На основе конструктивного анализа дифференциальных уравнений, описывающих динамику структурно-неоднородных конструкций, разработана методика нелокального оптимального синтеза, позволяющая осуществлять эффективное проектирование структурно-неоднородных конструкций с требуемым комплексом свойств. Приведены результаты численных расчетов.
Широкое распространение композиционных конструкций в различных областях физики, техники, приборостроения, общность их математического описания приводят к необходимости создания единого подхода к задачам исследования предельных возможностей структурно-неоднородных конструкций по достижению требуемого комплекса свойств [1—7]. Современные конструкции должны удовлетворять широкому комплексу требований, связанных с ограничением на вес, стоимостью, прочностью, жесткостью, надежностью, стойкостью к воздействию дестабилизирующих факторов различной физической природы и многим другим. Поэтому проблеме оптимального проектирования конструкций уделяется значительное внимание. Применение оболочечных конструкций, особенно слоистой структуры, обеспечивает сочетание высокой несущей способности с малой массой. Слоистая структура обеспечивает также достижение необходимых тепло-, звуко-, виброизоляционных и других важных свойств. Это актуально для конструкций ракетно-космической, авиационной, судостроительной и многих других отраслей современной техники. Внедрение композиционных материалов, обладающих высокими удельными характеристиками (прочностью, жесткостью) и многими другими необходимыми для ответственных изделий свойствами, а также возможностью регулирования механических и физических характеристик в широких пределах, позволяет создавать многофункциональные высокоэффективные слоистые конструкции с заданными параметрами. Повышение эффективности конструкций неразрывно связано с совершенствованием подходов и моделей их оптимального проектирования и расчета. Наиболее универсальным является вариационный подход, позволяющий свести задачи оптимального проектирования композиционных конструкций к задачам оптимального управления системами дифференциальных уравнений специальной структуры.
Чрезвычайно важное значение слоистых композитных конструкций в физике и технике обусловливается тем, что они являются одним из существенных элементов раз-
личных устройств, управляющих энергетическими характеристиками волновых процессов. Развитие научно-технического прогресса сопровождается расширением областей применения устройств, принципы работы которых основаны на использовании закономерностей, возникающих при взаимодействии волновых процессов различной физической природы с неоднородными структурами. Проблема наиболее эффективного функционирования таких устройств связана с проблемой всестороннего исследования предельных возможностей неоднородных структур как фактора управления параметрами волнового поля. Решение же последней проблемы возможно только на основе разработки эффективных методов конструирования предельных структур.
Задачи оптимизации, возникающие при решении задач оптимального синтеза структуры композиционных конструкций с требуемым комплексом свойств при волновых воздействиях, обладают целым рядом специфических особенностей. Основные из них следующие: многоэкстремальность волновых задач оптимального синтеза, что затрудняет исследование предельных возможностей; дискретность ряда варьируемых параметров, являющихся физическими свойствами материалов слоев, что приводит к задачам оптимального управления комбинаторного типа; разрывность решений краевых задач, описывающих распространение волн в композитных конструкциях, на поверхностях разрыва распределений физических свойств, что приводит к задачам оптимального управления с разрывными фазовыми координатами; необходимость обеспечения условий наилучшей конструктивной реализуемости; некорректность задач оптимального синтеза композиционных конструкций по А.Н. Тихонову, как обратных задач математической физики [8].
Специфические особенности задач оптимального синтеза композитных конструкций приводят к тому, что в этих задачах представляет существенный интерес выделение всей совокупности вариантов конструкций, реализующих предельные возможности, т.е. выделение всей совокупности решений, доставляющих функционалу качества глобальный минимум. Отмеченные трудности приводят к необходимости разработки новых методов исследования предельных возможностей. Это позволит повысить эффективность применения слоисто-неоднородных композиционных структур в различных областях физики, техники, приборостроения.
Для случая электромагнитных волн внутри слоев распространение волн будет описываться системой уравнений Максвелла
гоШ,--— = 0, го1Е, + * = 0, Л , <г < Ь,, * = 1,..., N,
'с дг * с дг 1 *
где Н5, Е, — векторы электрической и магнитной напряженности электромагнитного поля в 5-м слое; е5, ц, — диэлектрическая и магнитная проницаемости 5-го слоя; Ь, — координаты границ раздела слоев с различными физическими свойствами; N — число слоев.
На границах раздела слоев будут выполняться условия сопряжения решений, заключающиеся в непрерывности нормальной и тангенциальной составляющей векторов электрической и магнитной напряженности. Граничные условия отражают взаимосвязь падающей и отраженной волн на внешней и внутренней поверхностях конструкции. В качестве показателя эффективности решений в исследуемой вариационной постановке выбрана среднеквадратическая мера близости зависимости
энергетического коэффициента пропускания Г(ю) к требуемой зависимости Т(т) в заданном диапазоне частот [юшЬ, юшах]
®шах
I = * " '2
Г ~ 2
= I [ Т(ю)-Т(ю)] drn^ min,
где Г(ю) = П°"' /П'" , П^"', П'" — проекции вектора Пойнтинга на ось г в прошедшей и падающей волнах соответственно.
ю
Одними из наиболее эффективных методов построения решений с требуемым комплексом свойств в вариационной постановке являются методы, основанные на принципе максимума Л.С. Понтрягина [1—3, 7, 9].
Для случая наклонного падения электромагнитных волн на композиционную конструкцию необходимые условия оптимальности можно сформулировать в следующей форме. Введем систему скалярных функций Як (1 < к < Ы), являющихся аналогом функций Гамильтона в вариационной постановке в задачах оптимального синтеза при воздействии электромагнитных волн
Як(; 6)1 г = ; в)| г + ; 6)1 г, 1 < к < N;
Я
(; б)|г = - | Яе
•'ша
I
■ 2,
а.
к
6кМ(6)
6 6оМо^п 301 Ю)
\1к(ю) -
дг
dю +
Ш
+ I Яе
ак—Ук(г. ю) Мк
дг .
dю,
Я,
'(; 6)1 г = - | Яе
ш
I
2
а
м(б) 6оМой1п »оК лФк<А ю)
--I Як(г. ю) —д-
Мк 6Мк )
dю +
ш
+ I Яе
6 , Лк(.г. ю)
--Рк(г,ю) —~-
Ь6к .
dю,
Шш
ак = (1 - ^^sin2»оJ , ' 6кМк '
где Як(; 6)\ , Я'к(; 6)\ — составляющие электромагнитной волны с вертикальной и горизонтальной составляющей соответственно; функции/к(^, ю), gk(z, ю) — комплексные амплитуды для составляющих электромагнитной волны с вертикальной и горизонтальной составляющими соответственно; функции ю), Рк^, ю) — комплексные решения соответствующей сопряженной краевой задачи [1—4, 7]; 6к, 6к — диэлектрическая и магнитная проницаемости к-го слоя конструкции; 6 — варьируемый параметр из допустимого множества диэлектрических проницаемостей материалов допустимого набора Л, используемого при оптимальном синтезе структуры композиционной конструкции; ц(6) — магнитная проницаемость материала допустимого набора, диэлектрическая проницаемость которого есть 6; »0 — угол падения электромагнитной волны на композиционную конструкцию. Тогда оптимальная структура композиционной конструкции, определяемая оптимальным числом слоев Ы*, оптимальными параметрами диэлектрической и магнитной проницаемостями внутри 5-го слоя композиционной конструкции 6* , М* (5 = 1, ..., Ы*), оптимальными координатами границ раздела слоев Ь* (5 = 1, ..., Ы*) удовлетворяет соотношениям принципа максимума
Як( *;
6*)
шахЯ(*; 6),
ееЛ
Ь*-1 < г < Ь* (к = 1,..., N *).
Несмотря на то, что методы оптимального синтеза, основанные на необходимых условиях оптимальности, связанными с нелокальными вариациями параметров, типа принципа максимума Л.С. Понтрягина, позволяют строить эффективные решения,
ш
тем не менее получаемые результирующие решения являются локально-оптимальными. Одним из наиболее эффективных подходов к решению этой проблемы является разрабатываемый подход, основанный на установленном свойстве внутренней симметрии в структуре оптимальных композиционных конструкций и теории многозначных отображений [1—5, 10]. Показано, что данный подход позволяет исследовать предельные возможности слоисто-неоднородных композиций по достижению заданного комплекса свойств. Для определенного круга волновых задач синтеза показано, что во взаимосвязи параметров в слоисто-неоднородных композициях, реализующих предельные возможности, существует внутренняя симметрия, что позволяет существенно уменьшить их размерность [1—7]. В таких задачах, которые в дальнейшем будем называть опорными, совокупность всех вариантов многослойных интерференционных покрытий, реализующих предельные возможности по управлению параметрами волнового поля, дополнительно удовлетворяет некоторой системе т уравнений М(и*) = 0. Множество решений этой системы выделяет на множестве допустимых вариантов конструкций О некоторое узкое компактное множество Q = {и : М(и) = 0,] = 1, ..., т}.
Разработана методика аналитического описания границ выделяемого компактного множества. Для опорных задач оптимального синтеза можно эффективно выделить совокупность всех в
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.