Автоматика и телемеханика, № 9, 2013
Нелинейные системы
© 2013 г. Д.Е. КВАСОВ, канд. физ.-мат. наук, Я.Д. СЕРГЕЕВ, д-р физ.-мат. наук (Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского, Калабрийский университет, Ренде, Италия)
МЕТОДЫ ЛИПШИЦЕВОЙ ГЛОБАЛЬНОЙ ОПТИМИЗАЦИИ В ЗАДАЧАХ УПРАВЛЕНИЯ1
Многие задачи управления сопряжены с поиском глобального экстремума в пространстве состояний или параметров исследуемой системы, что приводит к необходимости использования эффективных методов глобальной конечномерной оптимизации. В качестве таковых могут быть применены разработанные авторами геометрические алгоритмы липши-цевой глобальной оптимизации. Представлен их краткий обзор и проведено сравнение с некоторыми часто используемыми в инженерной практике алгоритмами глобального поиска. Численные эксперименты выполнены на нескольких известных примерах прикладных многоэкстремальных задач.
1. Введение
Решение многих вопросов анализа и проектирования систем управления связано с решением конечномерных задач оптимизации. Это могут быть задачи оптимальной настройки параметров системы для придания ей желаемых свойств, например робастной устойчивости (см., например, [1-5]); задачи синтеза оптимального управления, где конечномерная оптимизация в пространстве состояний выступает как многократная «элементарная» операция (см., например [5, 6]); задачи поиска оптимальной программы управления как конечномерной в классе ее кусочно-постоянных аппроксимаций (см., например, [7]) и многие другие (см., например, [8]).
Постоянно возрастающая сложность управляемых объектов влечет за собой усложнение их математических моделей, что значительно затрудняет поиск оптимальной комбинации параметров. Очень часто не представляется возможным найти такую комбинацию аналитически, и возникает необходимость построения численных методов для ее поиска (см., например, [7, 9-15]). При этом критерии качества управления рассматриваемыми объектами (целевые функции) во многих случаях не поддаются явному аналитическому описанию, а допускают лишь алгоритмическое представление (см., например, [6, 7, 12, 16, 17]) и требуют значительных затрат на их вычисление. Кро-
1 Работа выполнена при финансовой поддержке Министерства образования и науки Российской Федерации (соглашение о предоставлении гранта №14.В37.21.0878), Российского фонда фундаментальных исследований (проект №11-01-00682-я) и Совета по грантам Президента Российской Федерации для государственной поддержки научных школ (грант НШ-1960.2012.9).
ме того, опыт показывает, что в многих прикладных задачах управления (см., например, [12, 18-20]) настройка параметров сложных схем регулирования может быть сопряжена с существенной многоэкстремальностью функции цели, т.е. с наличием большого числа локальных экстремумов наряду с глобальным.
Численные методы решения подобных многоэкстремальных задач (методы глобальной оптимизации, см., например, [7, 10-15, 17]) существенно отличаются от методов локального поиска. Локальные оптимизационные методы, как правило, оказываются не в состоянии покинуть зоны притяжения локальных экстремумов и упускают глобальный оптимум. Использование же найденных локальных решений может оказаться недостаточным, поскольку глобальное решение может дать существенный выигрыш по сравнению с локальными (см., например, [12, 17, 20]).
Важными областями применения эффективных методов глобальной оптимизации (см., например, [2-5]) являются исследование и обеспечение устойчивости систем управления при наличии неопределенности в значениях их параметров (робастное управление), так как позволяют обеспечить желаемое безопасное функционирование управляемого объекта. В качестве простого, но важного примера рассмотрим одномерную (т.е. с одним входом и одним выходом) линейную непрерывную стационарную систему, описываемую передаточной функцией G(s,p). Вектор параметров p этой функции отражает неопределенность или неполноту в описании системы. Информация о параметрах часто известна лишь в виде интервалов их возможного изменения (технические допуски), т.е. p € D, где D есть гиперинтервал в N-мерном пространстве Rn . При этом говорят о системах с интервальной параметрической неопределенностью (см., например, [3, 4, 8]). Управление осуществляется при помощи регулятора с передаточной функцией C(s) заданной структуры (например, ПИД-регулятор, см. [21]).
Асимптотическая устойчивость получаемой замкнутой линейной системы определяется размещением корней ее характеристического уравнения n(s,p) = 0 в левой комплексной полуплоскости. В интересующих авторов задачах n(s,p) считается полиномом, степень которого не зависит от параметров p, а коэффициенты полинома зависят от параметров непрерывно. Допускается нелинейная зависимость, что отличает рассматриваемый авторами подход от предложенного, например, в [22] и характеризует многие прикладные задачи управления как, например, задачи из [4], где рассмотрены системы с полиномами типа
(1) n(s,p) = aos3 + ais2 + a2s + a3,
коэффициенты ao,..., аз которых нелинейно зависят от параметров p = = (Pi,P2):
ao(Pi,P2) = 0,5;
ai(pi,p2) = (2 + т(pi - 2))/(4 + т(pi - 2)); ( ) a2(pi,p2) = (5 + 3т(p2 - 2))/(10 + 3т(p2 - 2));
a3(pi,p2) = 1,01 - т(2(pi - 3,5)2 + 2(p2 - 3,5)2).
При этом вектор параметров р определен с точностью до параллелепипеда D € R2 и т (£) есть функция насыщения вида
т(о = sign(e)min{iei, i}, е € R.
В ряде важных случаев исследование устойчивости описанной замкнутой линейной системы приобретает форму анализа робастной устойчивости, проводимого в предположении существования номинальных значений параметров p = p € D, при которых полином n(s,p) - гурвицев. Такой анализ может быть выполнен, например, с использованием известных алгебраических критериев робастной устойчивости (см., например, [3]), приводимых к проверке выполнения неравенств типа
(3) ф(р) = min {фк(p)} > 0
k=l,...,m
для всех значений р € D С RN (проверка положительности m определителей Гурвица). В частности, для приведенного выше примера полинома (1)-(2) с коэффициентом а0(р) =0,5 > 0 имеем
(4) ф!(р) = а\('р), Ф2(р) = ai(p)a2(p) - ао(р)аз(р), фз(р) = аз(р),
где р = (р1,р2) € D С R2. Таким образом, условие робастной устойчивости характеристического полинома рассматриваемой системы управления может быть сведено к проверке сохранения гурвицевости этого полинома при всех допустимых отклонениях значений параметров от номинала (см. [3]), т.е. путем проверки выполнимости приведенного выше условия на базе неравенств (3) с многоэкстремальными функциями параметров р (каковой является, например, функция ф2(р) в (4)).
Большой интерес представляет также более общая задача определения наибольшего гиперинтервала, в котором функция ф(р) многомерного параметра р (см. формулу (3)) остается положительной (при этом сама функция многоэкстремальна на множестве параметров). Для понимания важности этой задачи достаточно отметить, что можно не просто определять устойчивость системы в каждом частном случае реализации неопределенных параметров, а находить так называемый радиус устойчивости Ymax, т.е. максимальный разброс интервальных параметров, при котором все полиномы n(s,p) семейства остаются устойчивыми:
(5) Ymax = sup{Y | n(s,p) устойчив, ||p - p|| ^ y},
где || ■ || есть некая норма в пространстве параметров М7 . Простейший поиск радиуса устойчивости заключается, например, в уменьшении значения Y в (5) методом половинного деления с последующей проверкой условия (3). В качестве примера упомянем известную в литературе трехпараметрическую систему из [23] с передаточной функцией
(6) С(8)С(8,Р)= РЛ8 + 2)
s(s + p2)(s + p3)(s + 10)
и характеристическим полиномом
(7) n(s, p) = s4 + (10 + Р2 + P3)s3 + (P2P3 + 10P2 + 10ps)s2 + (10P2P3 + Pi)s + 2pi.
Номинальный вектор параметров, при котором замкнутая система (6) устойчива, определен как p = (800, 4, 6) (предполагается, что передаточная функция замкнутой системы представлена как дополнительная функция чувствительности; см., например, [3]). Для такой системы практически важным является вопрос определения ее радиуса устойчивости Ymax в пространстве с нормой || ■ || = || ■ в (5) (с возможными весовыми коэффициентами w: ||p||^ = = maxi w"1|pi|, Wi > 0).
Похожие постановки задачи могут возникнуть также при использовании частотных критериев устойчивости (см., например, [2, 3, 8, 10, 22]).
Таким образом, целый ряд важных задач робастного управления может быть сведен к установлению положительности многомерных многоэкстремальных функций в гиперинтервале векторного пространства RN. Эта задача может быть успешно решена при наличии эффективных методов глобальной оптимизации: достаточно, например, чтобы глобальный минимум функции в (3) на множестве параметров был положительным.
Другие, не менее важные примеры многоэкстремальных оптимизационных задач теории управления рассмотрены, например, в [2, 3, 8-10, 12, 17, 24, 25].
Разнообразие задач глобальной оптимизации влечет за собой разнообразие подходов к их решению. Возможность построения адаптивных схем глобального поиска, отличающихся от переборных, связана с наличием и учетом неких априорных предположений о характере рассматриваемой проблемы. Такие предположения играют ключевую роль при разработке быстрых алгоритмов глобальной оптимизации и служат основным математическим инструментом для получения оценок глобального решения после остановки алгоритма. Как отмечается, например, в [12, 17, 26], при отсутствии предположений о целевой функции любое сколь угодно большое количество вычислений функции не дает гарантии нахождения глобального минимума, так как ее поведение между точками вычислений может отличаться очень узкими и глубокими пиками и впадинами.
Одним из естественных и важных (как для теории, так и для практики автоматического управления) допущений о задаче является предположение об ограниченности относительных изменений функции цели. Такое допущение связано с тем, что отношения приращений функции к соответствующим приращениям параметров обычно не могут превышать некоторого порога, определяемого ограниченной энергией
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.