научная статья по теме МЕТОДЫ РАСЧЕТА ДИФФУЗНОГО РАССЕЯНИЯ РЕНТГЕНОВСКИХ ЛУЧЕЙ ОТ КРИСТАЛЛИЧЕСКОЙ СРЕДЫ С КВАНТОВЫМИ ТОЧКАМИ СФЕРОИДАЛЬНОЙ ФОРМЫ Химия

Текст научной статьи на тему «МЕТОДЫ РАСЧЕТА ДИФФУЗНОГО РАССЕЯНИЯ РЕНТГЕНОВСКИХ ЛУЧЕЙ ОТ КРИСТАЛЛИЧЕСКОЙ СРЕДЫ С КВАНТОВЫМИ ТОЧКАМИ СФЕРОИДАЛЬНОЙ ФОРМЫ»

КРИСТАЛЛОГРАФИЯ, 2015, том 60, № 2, с. 199-206

ДИФРАКЦИЯ И РАССЕЯНИЕ ИОНИЗИРУЮЩИХ ИЗЛУЧЕНИЙ

УДК 548.732

МЕТОДЫ РАСЧЕТА ДИФФУЗНОГО РАССЕЯНИЯ РЕНТГЕНОВСКИХ ЛУЧЕЙ ОТ КРИСТАЛЛИЧЕСКОЙ СРЕДЫ С КВАНТОВЫМИ ТОЧКАМИ СФЕРОИДАЛЬНОЙ ФОРМЫ © 2015 г. В. И. Пунегов, Д. В. Сивков

Коми научный центр УрО РАН, Сыктывкар E-mail: vpunegov@dm.komisc.ru Поступила в редакцию 15.05.2014 г.

Предложены два независимых подхода для вычисления углового распределения диффузного рассеяния рентгеновских лучей от кристаллической среды с квантовыми точками (КТ) сфероидальной формы. Первый метод базируется на аналитическом решении с использованием разложения упругих полей деформаций вне КТ по мультиполям. Второй подход основан на расчетах атомных смещений вблизи КТ методом функций Грина. Анализ распределения интенсивности диффузного рассеяния в обратном пространстве в рамках двух подходов показывает, что оба метода дают схожие результаты для выбранных моделей пространственного расположения КТ.

DOI: 10.7868/S0023476115010191

ВВЕДЕНИЕ

В [1] впервые методом молекулярно лучевой эпитаксии выращены InAs/GaAs-сверхрешетки с квантовыми точкам (КТ). Структуры InAs/GaAs и Ge/Si с КТ наиболее изучены. В настоящее время широкий спектр наноструктурированных материалов интенсивно используется в производстве нано- и оптоэлектронных устройств, включая высокоэффективные лазеры, солнечные элементы, транзисторы, эмиттеры, ИК-фотоприемники и т.д. [2]. Уникальные свойства эпитаксиальных систем с КТ в первую очередь определяются формой, размерами, композиционным составом и упругими деформациями внутри и вне КТ, а также их пространственным порядком в кристаллической матрице. По этой причине исследование формы и упругих деформаций самоорганизованных КТ в последние годы вызывает большой интерес ([3] и литература в ней). Для вычисления упругих деформаций применяются подходы, основанные на численных методах конечных элементов, молекулярной динамики, валентно-силового поля, функций Грина и аналитических решениях [4].

Для исследования формы и размеров КТ преимущественно используются методы просвечивающей электронной и атомно-силовой микроскопии [3]. Также используется метод сканирующей туннельной микроскопии (СТМ) [3]. С его помощью установлено, что форма КТ InAs в кристаллической матрице GaAs лучше всего описывается эллипсоидом [5, 6]. Более того, в [7] пока-

зано, что покрытые сверху КТ ¡пЛз/ОаЛ тонким слоем ОаЛ81-х8Ъх также имеют эллипсоидальную форму. Отметим, что часто встречающиеся КТ в форме линзы [8] легко аппроксимируются эллипсоидальной формой.

Перечисленные методы, как правило, позволяют исследовать очень малые объемы образцов и в основном дают изображения индивидуальных КТ. Кроме того, приготовление сколов приводит практически к разрушению изучаемых объектов. В связи с этим возникает потребность в неразру-шающем исследовании в целом всего образца и получении информации о статистически усредненных характеристиках полупроводниковых систем с КТ. К наиболее эффективным и перспективным методам исследования таких объектов следует отнести высокоразрешающую рентгеновскую дифрактометрию [9, 10]. Одним из аспектов этого метода является анализ углового распределения диффузного рассеяния (ДР) в обратном пространстве, для успешной реализации которого необходимо развитие сопутствующих теорий.

Поэтому настоящая работа посвящена теоретическому рассмотрению ДР от эпитаксиальных слоев со скрытыми КТ сфероидальной формы. Проводится детальный сравнительный анализ двух независимых подходов для вычисления углового распределения интенсивности рассеяния в обратном пространстве, которые базируются на методе разложения вектора упругих смещений по мультиполям [11] и формализме функции Грина [12].

ДИФФУЗНОЕ РАССЕЯНИЕ

Рассмотрим кристаллическую структуру со скрытыми, пространственно некоррелированными КТ, которые в данном случае играют роль структурных дефектов. Выражение для интенсивности ДР в зависимости от вектора q = к — ко — Ь, где к 0,ь — волновые векторы падающего и отраженного рентгеновского пучка, Ь — вектор обратной решетки, имеет вид [13]:

II (Ь) = Кв Яе[тШ (1)

где Кв — постоянный коэффициент, а

т^) = | ёрЕ(р)ехр ^р) (2)

представляет собой корреляционный объем, который в свою очередь зависит от собственной корреляционной функции КТ

g(p) = (1/*wj D(r)D *(r + p)d r.

(3)

ем равен объему КТ Vqd: т(0) = J dpg(p) =

V,

QD-

Подставляя (3) в выражение для корреляционного объема (2), получаем

T(q) = |D(q)|2/ Vqd .

(4)

произведения фурье-образа поля смещений точечного дефекта и функции формы КТ, не совсем корректно, поскольку пространственные изменения деформаций от включений сферической и цилиндрической формы различаются [16]. Предложенный ранее подход для вычисления ДР от структур с эллипсоидальными КТ [11] ограничен выбором модели, в которой поля атомных смещений КТ затухают на бесконечности. Кроме того, решение для упругих смещений получено с точностью только до квадрупольного члена разложения. Поэтому полученные результаты [11] не всегда могут быть реализованы для анализа экспериментальных данных. Ниже приводится способ получения более общего аналитического решения для ДР от структуры со сфероидальными КТ.

Пусть в кристаллической среде случайным образом присутствуют включения, параметр решетки которых существенно отличается от периода кристалла основной матрицы. В результате на границе включений возникают упругие деформации несоответствия. Вектор атомных смешений в точке г запишем в виде

Термин корреляционный объем введен по аналогии с выражением корреляционная длина. Без учета полей деформаций вне КТ собственная корреляционная функция £(р), представленная формулой (3), описывает форму КТ. В узле обратной решетки, когда q = 0, корреляционный объ-

U(r) = ЛГ dr

Jv |r - r 1

где Л = ео(1 + V)/(4п(1 - v)), ео = (а,пС1Ш,оп -- атаМх)/атаМх - рассогласование решеток включения ЩпсШпоп и матрицы атамх, V - коэффициент Пуассона, V — объем включения. Вектор атомных смещений вне КТ запишем в виде ряда и(г) = = и0(г) + и1(г) + и2(г) + ...ип(г)—, где каждый член суммы имеет вид

U „(r) = Л(п + 1)^ P„(cos 0)О „.

Здесь — фурье-образ функции Дг) и имеет смысл амплитуды ДР [13].

АНАЛИТИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ

Квантовые точки, внедренные в кристаллическую структуру матрицы, формируют в периодической среде случайные поля упругих деформаций и тем самым представляют собой структурные дефекты наподобие хорошо известных точечных дефектов или кулоновских кластеров. Диффузное рассеяние, вызванное сферически-симметричными дефектами, достаточно хорошо изучено [13, 14]. Однако, согласно [3], форма КТ далека от сферически-симметричной конфигурации. Чаще всего, например для системы 1п-Л/ОаЛ8, фиксируются КТ в форме линзы или вытянутого в латеральном направлении сфероида.

Для анализа ДР от полупроводниковой структуры с КТ изначально была принята модель цилиндрических наноструктур [15]. Однако решение для вычисления ДР, представленное в виде

(5)

Здесь Оп = J dr' r' nPn(cos 0'), Pn(x) — полином Ле-

V

жандра степени n. В выражении для множителя Оn интегрирование ведется по объему КТ.

Рассмотрим модель КТ в форме сфероида (рис. 1а). Пусть lz — вертикальная эллиптическая ось, R — радиус сечения сфероида в латеральной

плоскости (латеральная полуось). Радиус Ro(0) = = (1 + [(R/[2lz] )2 -1] cos2 0)"1/2 задает границы КТ.

Для данной модели коэффициенты О n, входящие в (6), можно записать как

О,

(n-1)/2 1

= Z ank J

2k-1

dx

k=0 -1 n/2 1

О n = Z bnk J dx

k=0 -1

(1 + cx 2)(n+3)/2

2k

x

(1 + cx2)(n+3)/2'

, для нечетных n;

(6)

для четных n,

Рис. 1. Модель КТ в форме сфероида (а); изменение атомных смещений от границы сфероидальной КТ Я0(6) до границы между соседними наноструктурами Я1 (6) (б) в форме прямоугольного параллелепипеда (в) и сфероида (г).

где ank и bnk — множители, зависящие от степени полинома Лежандра n и номера слагаемого k,

c = (2R/lz) -1. Из соотношений (6) следует, что ненулевые значения имеют коэффициенты Q n только с четными номерами п. Подставив (6) в (5), после несложных преобразований можно показать, что вектор атомных смещений U(r) вне КТ может быть представлен в виде следующей суммы:

U(r) = a£Cn ((lz/2)2 - R2)(cos6)-^. (7)

объем КТ. Значе-

n=0

Здесь A = Л Vell, Vell = ^ IR2-

ния коэффициентов Cn первых десяти членов суммы (7) равны: C0 = 1; C1 = 0.24; C2 = 0.54 х 10-C3 = 0.12 х 10-1; C4 = 0.29 х 10- 2; C5 = 0.67 х 10-3 C6 = 0.16 х 10-3; C7 = 0.37 х 10-4; C8 = 0.89 х 10-5

C 9 = 0.11 x 10

- 6

Амплитуда ДР в (4) может быть записана в виде D(q) = Dsw (q) + DH (q) + £ D„(q). (8)

n=1

Здесь первое слагаемое — амплитуда ДР от

кристаллической матрицы без учета упругих де-

формаций вне КТ (рассеяние Стокса—Вильсона). Второй член суммы (8) по аналогии с "кулонов-скими" дефектами [13, 14] описывает хуанговское рассеяние. Расчет этого слагаемого (дипольного члена разложения) выполним в обобщенной сферической системе координат. В итоге получим следующее выражение для амплитуды хуангов-ского рассеяния:

Dh (q) = 2пАш Ф 0(q, R h).

(9)

Здесь функция Ф 0(#, Я, ^) зависит от # =

= VоХ + + и параметров Я, ^ рассматриваемого сфероида:

1

Ф о(д, Я, ^) = | йх ехр[/#р( х, Я, ) х],

-1

/ 1 + R2 - 1I \ 2 х

V _(lz/2)2 _ J

1/2

где р( х, R, lz) = R

Следующие мультипольные поправки в амплитуду ДР в зависимости от номера п имеют вид

Dn(q) = 2п(-1)n+1CnA[(l,/2)2 -- R2]n(hq)q2n-2Фn(q,R,lz),

где

ф

(q, R lz) = J dxP2n(x)x2Vqp(x,R,'z'xfn ((qp(x, R, lz)x).

-1

Множитель в подынтегральном выражении f (iqp( x, R, lz )x) представляет собой рекуррентную функцию вида

fn(r) =

1 ( 1 . 1 ( 1

+

2n - 1Vr2n-1 2n - 2 Vr2n-2

+ fn-1(r) II,

с начальным значением

f(r) = f 1 + ^

fr e

где E

1(iR) = J dz

exp(-iz)

— интегральная экспо-

номером n множитель -

ражением

1 -

Rp2n+3(9)

2n+3

2n+3

r

R

следует заменить вы-

r. В ито-

2n+3

R

2n+3

Ulim(r) = A^Cn ((lz/2)2 - R2)nP2n(cos0)

X

X

n=0

■>2n+3,

1 -

Ro 3(0)

Rin+3(0).

Л-1

(11)

2n+3

1 -

Rin+3(0).

2n+3 '

можно рассмотреть две геометрические фигуры: прямоугольный параллелепипед со сторонами 2dx, 2dy

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.

Показать целиком

Пoхожие научные работыпо теме «Химия»