Теория и проектирование датчиков, приборов и систем
УДК 621.3.083:681.2.088
МЕТОДЫ РАСЧЕТНОЙ ОЦЕНКИ ПОГРЕШНОСТЕЙ ДАТЧИКОВ
В. Д. Мазин
Систематизируются источники погрешностей, выделяются четыре метода расчетной оценки погрешностей датчиков, приводятся их достоинства и недостатки, рекомендуются области применения.
ВВЕДЕНИЕ
Расчетная оценка погрешностей датчиков экономит время и деньги, так как исключает необходимость дорогих экспериментов или, по меньшей мере, ограничивает их количество. Кроме того, экспериментальная оценка и вовсе невозможна, если погрешности вызываются многообразными причинами, проявляющимися в виде факторов, изменяющихся случайным образом. Калибровка же обычно проводится, как известно, при вполне определенных условиях.
Цель данной статьи состоит в выделении и сопоставлении имеющихся сегодня способов расчета характеристик погрешностей датчиков. При этом под расчетом понимается процедура, при которой суммируются отдельные составляющие погрешностей.
Корректная и полная оценка погрешностей подразумевает следующие шаги:
• выделение источников погрешностей;
• расчетное и(или) экспериментальное определение вызываемых этими источниками отклонений;
• суммирование составляющих погрешностей.
1. ИСТОЧНИКИ ПОГРЕШНОСТЕЙ И ИХ ВЕРОЯТНОСТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ
Перечислим причины возникновения погрешностей датчиков.
• Влияние датчика на объект. Соответствующая погрешность может быть оценена лишь при известных характеристиках объекта.
• Технологические отклонения конструктивных параметров (характеристик материалов, размеров деталей, показателей качества сборки, параметров электронных компонентов и др.) от их номинальных значений. Эти отклонения вызывают погрешности, если индивидуальная калибровка датчика не проводится, и ему приписывается единая для всей серии градуировочная характеристика.
• Воздействие факторов окружающей среды. К ним следует относить и влияние неинформативных параметров объекта, поскольку последний является частью среды, окружающей датчик, а в отдельных случаях попросту совпадает с нею. Влияние одного из таких параметров — скорости изменения измеряемой величины — приводит к динамической погрешности датчика. Временной уход характеристик датчика (старение) можно рассматривать как результат влияния внешнего фактора — времени. Погрешность линейности тоже оказывается результатом воздействия неинформативных параметров объекта, хотя это и может показаться необычным. Действительно, поскольку нелинейность может быть выражена степенным полиномом
п
А у = ^агхг, это означает, что
2
на датчик воздействуют неинформативные параметры сигнала видах*. Хотя они и «сопровождают» сигнал х в любом случае, они имеют иную размерность, нежели х, и не могут отождествляться с последним. Датчик подобно фильтру пропускает те «гармоники» хг, чувствительностью к которым он обладает.
• Гистерезис функции преобразования.
• Квантование выходного сигнала, если в датчике осуществляется кодовая модуляция.
• Неточность калибровки.
Если параметры и факторы воспринимаются как случайные величины (как это бывает в большинстве случаев), то необходимо задание законов их распределения, являющееся наиболее трудным этапом метрологического анализа. Законы распределения факторов окружающей среды в принципе, должны указываться в техническом задании. Однако чаще такие сведения отсутствуют, и разработчик сам решает вопрос о законах распределения либо используя другие, более доступные характеристики [1], либо руководствуясь собственным опытом. При отсутствии априорной информации о законе распределения разумно, исходя из концепции максимальной неопределенности, принять его равномерным.
Распределения значений конструктивных параметров в пределах
2 _ Sensors & Systems • № 2.2001
их технологических допусков определяются принятыми технологиями и применяемой контрольно-измерительной аппаратурой. Можно указать три наиболее часто задаваемых вида распределения (рис. 1). Все они обладают четкими границами, за пределами которых изделия бракуются. В первом случае мы имеем нормальный закон, усекаемый в пределах допуска (рис. 1, а). Во втором случае (рис. 1, б) распределение считается равномерным в пределах +Ахг-, однако учитывается, что отбраковка производится с помощью измерительной аппаратуры, которая сама обладает погрешностями. Последнее обстоятельство «размывает» границы распределения, которые можно представить скошенными. Наконец, в третьем случае (рис. 1, в) распределение считается просто равномерным.
Можно рекомендовать следующий практический прием: если имеются основания считать, что плотность вероятности убывает с удалением от центра распределения, последнее принимается нормальным, в противном случае оно считается равномерным (разумеется, если отсутствуют данные, позволяющие указать закон распределения более точно). Такой упрощенный подход оправдывается тем, что результат оценки при значительном числе источников погрешности и обычных невысоких требованиях к точности этого результата (1-2 значащих цифры) не слишком критичен к виду законов распределения отдельных составляющих.
2. МЕТОДЫ ОЦЕНКИ ПОГРЕШНОСТЕЙ
Можно указать четыре метода оценки погрешностей датчиков:
суммирование с.к.з. (средне-квадратических значений) составляющих погрешностей [1, 2];
векторно-аналитический [3];
упрощенный векторно-анали-тический;
статистическое моделирование (метод статистических испытаний)
[4].
Практически все они, в принципе допуская любую степень взаимной коррелированное™ отдельных составляющих, применяются лишь в ситуациях, когда такая корреляция отсутствует.
Первый из методов основывается на определении и суммировании с.к.з. отдельных составляющих независимо от того, дается в итоге точеч-
Рис. 1. Законы распределения значений конструктивных параметров датчиков: а — нормальный; б — равномерный со скошенными границами; в — равномерный
ная (среднеквадратическая) оценка, или с ее помощью оценивается интервал неопределенности (доверительное значение) [1, 2]. При этом составляющие делятся на аддитивные и мультипликативные и определяются через соответствующие частные производные. Так, коэффициент, характеризующий воздействие влияющего фактора хг- на чувствительность 5
ÔX:
(1)
Не вдаваясь в детали метода, различным образом преподносимого авторами работ [1] и [2], можно указать его общую формулу суммирования составляющих погрешно-
0,5
(2)
где Гц — коэффициент взаимной корреляции. Поскольку параметры-причины обычно заданы интервалами их изменения, и чаще всего желательно в такой же форме получить результат, то необходим переход от доверительных значений к среднеквадратическим и обратно.
В итоге порядок действий в соответствии с данным методом оказывается следующим:
• нахождение с.к.з. входных воздействий;
• определение соответствующих с.к.з. по выходу;
• суммирование этих составляющих;
• определение доверительных значений суммарных оценок. Достоинство метода заключается в простоте суммирования отдельных некоррелированных составляющих. К недостаткам следует отнести два момента. Во-первых, используемые постоянные значения частных производных (1), определенные при фиксированных значениях остальных факторов, дают возможность найти оценки не суммарного многомерного закона рас-
пределения, а его частных сечении, причем, вполне возможно, не самых опасных. Во-вторых, для перехода к доверительному значению суммарной погрешности необходимо знание результирующего закона распределения, что часто оказывается непреодолимо сложным.
Второй метод, который может быть назван векторно-аналитиче-ским, основан на представлении всех случайных и систематических отклонений в многомерном векторном пространстве [3]. Что касается векторного характера совокупности случайных величин, то он виден уже из формулы (2), соответствующей правилу суммирования векторов. Векторно-аналитическая модель распространяет эту аналогию на доверительные значения. На рис. 2 векторы ух1 и ух2 представляют собой относительные доверительные значения двух «входных отклонений», которые вызывают соответствующие относительные погрешности уу1 и у у 2 на выходе датчика. Большей доверительной вероятности Р$2 соответствуют большие длины векторов.
При монотонной зависимости у =/(хг), которая чаще всего имеет место,
-У(хш)
Ууг
y(xih) -
2v
Рис. 2. Геометрическая интерпритация векторно-аналитического метода
Датчики и Системы • № 2.2001
где хгй и хг£ — доверительные границы хг-, у — выбранная точка диапазона изменения выходного сигнала. В общем случае вектор входных отклонений связан с вектором погрешностей по выходу аффинором — тензором чувствительностей [4]. Его координаты
_ ёух1 11 аУх1 аУу '
При этом речь идет об относительной чувствительности воздействия у-той координаты на /-тую и далее на выходную величину. В общем случае подразумевается взаимодействие всех координат друг с другом. При / = у имеется в виду непосредственное влияние соответствующей переменной на выходную величину. Требуемый для заполнения матрицы аффинора учет всевозможных регулярных взаимосвязей делает аффинор в высокой степени информативным.
Заполнение матрицы предполагает возможность математического описания соответствующих зависимостей. Правильный выбор координатной системы и пренебрежение слабыми зависимостями приводят к диагональной матрице, которая существенно упрощает расчеты.
Геометрию пространства (углы между координатными осями) определяет метрический тензор (г (см. рис. 2, угол а). Он зависит от законов распределения отдельных составляющих, доверительной вероятности, отношения Ууг/Уу] и взаимной корреляции [3], при этом полагается, что последняя не учитывает регулярных взаимосвязей, описываемых аффинором. Строго говоря, тензор задан в каждой отдельной точке, что означает наличие обычных, прямолинейных векторов (евклидово пространство) только в каждой бесконечно малой области. Тем самым пространство оказывается кривым (римановым). Однако в большинстве случаев пространство можно рассматривать как прямое. В таком пространстве все составляющие суммируются по правилу
ъ = ■
и
Последовател
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.