ИЗВЕСТИЯ РАН. ТЕОРИЯ И СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ, 2014, № 6, с. 25-33
УПРАВЛЕНИЕ В ДЕТЕРМИНИРОВАННЫХ СИСТЕМАХ
УДК 681.5.015.24
МЕТОДЫ СИНТЕЗА РЕДУЦИРОВАННЫХ РЕГУЛЯТОРОВ СОСТОЯНИЯ ЛИНЕЙНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ*
© 2014 г. В. В. Аполонский, С. В. Тарарыкин
Иваново, Ивановский государственный энергетический ун-т Поступила в редакцию 06.08.13 г., после доработки 30.04.14 г.
Решается задача упрощения структуры (редуцирования) регуляторов за счет исключения обратных связей по отдельным координатам состояния управляемого объекта при обеспечении требуемых показателей качества и робастных свойств синтезируемых систем автоматического управления. Определяются условия и разрабатываются методы редуцирования регуляторов состояния путем формирования определенного распределения полюсов синтезируемых систем с учетом особенностей динамики объектов управления. Приводятся примеры эффективного управления объектами различной степени сложности на основе построения редуцированных регуляторов с числом обратных связей, на единицу меньшим размерности объекта.
Б01: 10.7868/80002338814050035
0. Введение. Безынерционные регуляторы состояния (РС), формирующие управляющие воздействия на основе информации о полном векторе состояния, являются эффективными средствами управления сложными линейными и линеаризованными объектами [1, 2].
Общая структурная схема систем автоматического управления (САУ) с одним входом уз(,) и одним выходом на базе РС с матрицей K обратных связей (ОС) по координатам состояния x(,s,) представлена на рис. 1, где приняты также следующие обозначения: A, B, C — матрицы динамики, входа и выхода объекта управления (ОУ) с размерностями (п х п), (п х 1) и (1 х п) соответственно, ж — комплексная переменная Лапласа.
Соответствующие системы операторных уравнений ОУ и САУ с РС имеют вид
В сравнении с динамическими полиномиальными регуляторами "входа — выхода" безынерционные РС обычно обеспечивают более высокую помехоустойчивость синтезируемых САУ, поскольку не формируют производных по времени от измеряемых координат состояния ОУ. Однако для реализации РС и формирования обратных связей K = [кь к2, ..., кп] требуется получение информации о всех координатах состояния ОУ, т.е. наличие полного комплекта соответствующих измерительных устройств. Отсутствие возможности измерения хотя бы одной или части координат приводит к необходимости использования динамических восстанавливающих или наблюдающих устройств [3, 4] со свойственной им проблематикой (адекватность объекту, учет возмущений, сложность, робастность, помехоустойчивость и др.).
Изложенные в [5] методы синтеза регуляторов пониженного порядка, предполагающие редукцию исходной модели ОУ или предварительно синтезированного полноразмерного регулятора (косвенные методы редукции), основанные на процедурах сбалансированных отсечений, не гарантируют сохранение желаемого качества управления. А разработанные прямые методы редукции, позволяющие изначально задавать структуру и качество системы управления, основанные на решении линейных матричных неравенств, использовании ковариационных подходов и применении оптимизационного метода минимизации нормы Н в пространстве Харди на бесконечности (Д^-оптимизация), не дают гарантий успешного синтеза регулятора заданного вида.
* Работа выполнена при финансовой поддержке гранта Российского научного фонда (проект № 14-19-00972).
5 х(^) = Ах(5) + Ву з(^), у(8) = Сх(5),
5 х(5) = (А + ВК)х(5) + Ву з(5), У(5) = Сх(5).
(0.1)
(0.2)
Уз^)
ю
B
sx(s)
x(s)
A
K
C
J(s)
Объект
J
И
Регудятор I I________________I
Рис. 1. Общая структурная схема САУ на базе РС
Обе группы методов, решающих задачу редукции в достаточно общей постановке, отличаются высокой степенью вычислительной сложности, приводят к потере качества управления и не позволяют вести селективную редукцию РС в направлении исключения из управления труднодоступных координат состояния.
Предпосылкой для более простого и надежного редуцирования РС с элементами селективности является то, что, как было показано в [6] при реализации робастного управления объектами, коэффициенты ОС по координатам состояния могут менять знаки при относительно небольших
изменениях среднегеометрического корня (СГК) D.0 = tfdO желаемого характеристического полинома (ХП) САУ
D(s) = sp + dp-1sF-1 + ... + d1s + d0
и, в силу их непрерывных зависимостей от могут принимать нулевые значения при определенном выборе СГК. Это указывает на возможность исключения ОС по отдельным координатам состояния при вариациях а также при изменениях вида распределения полюсов САУ с учетом особенностей конкретного ОУ.
Цель данной статьи — выявление возможностей, определения условий и разработки методов сокращения числа контролируемых координат состояния (редуцирования РС) путем формирования определенного распределения полюсов синтезируемых САУ в рамках заданных показателей качества управления.
1. Постановка задачи. Поставим задачу упрощения структуры (редуцирования) регуляторов состояния линейных динамических систем вида (0.2) за счет исключения ОС по труднодоступной координате состояния объекта модального управления путем определения и задания такой величины СГК принятого вида ХП, при которой достигается нулевое значение соответствующего коэффициента ОС и обеспечиваются желаемые показатели качества синтезируемой САУ.
2. Основная идея редуцирования регуляторов состояния и методы ее реализации. На рис. 2, а показан общий вид семейства переходных характеристик hd(t) САУ, полученных при выборе в качестве D(s) бинома Ньютона и вариациях его СГК Они формируют [6, 7] так называемые "зоны робастности" (заштрихованы), характеризующиеся наличием отрицательных коэффициентов k ОС по координатам состояния ОУ.
На границах hdl(t), ..., hd4(t), разделяющих "зоны робастности" и "зоны риска", которые характеризуются появлением положительных коэффициентов ОС по одной или нескольким координатам состояния, в силу непрерывных зависимостей коэффициентов ОС от величины происходит обнуление (переход через ноль) значений этих коэффициентов. Такое обнуление может достигаться подбором значений СГК заданного ХП или изменением вида самого ХП D(s). При этом крайняя правая граница перехода — hd4(t) обычно не представляет большого интереса при синтезе САУ, поскольку соответствует темпу процессов исходного ОУ. Для редуцирования РС могут использоваться другие границы перехода, соответствующие обнулению различных коэффициентов ОС синтезируемой САУ при повышении ее быстродействия относительно ОУ.
*, с
Рис. 2. Представление областей отрицательных (заштрихованы) и положительных ОС (а) и структурная схема
(б) САУ второго порядка
Если при совмещении переходной характеристики САУ с одной из указанных границ "зоны робастности" происходит обнуление коэффициента ОС по той координате состояния, измерение которой затруднительно или невозможно, а вид и темп процесса соответствуют требуемому качеству управления, то выбранное выражение ХП Б(ж) и значение СГК обеспечивают решение поставленной задачи. Если на границах "зоны робастности" указанные условия не выполняются, то можно попытаться обеспечить их изменением выражения желаемого ХП Б(ж) и его СГК П0, оставаясь при этом в пределах заданных требований к качеству САУ.
Важно отметить, что при обнулении одного из коэффициентов матрицы K не происходит изменение характера обратной связи — смены отрицательной ОС на положительную. Поэтому робаст-ные свойства САУ с редуцированным РС не будут претерпевать тех неблагоприятных изменений, которые обычно свойственны [6, 7] переходам системы из "зоны робастности" в "зону риска".
Вычисление требуемого значения в рамках принятого распределения полюсов САУ, определяемого выражением В(ж), может быть организовано путем многократного расчета параметров полноразмерного (нередуцированного) РС при вариациях и фиксации границ перехода САУ из "зон робастности" в "зоны риска". Искомое значение будет соответствовать обнулению коэффициента ОС по той координате, измерение которой не представляется возможным.
Однако точный "выход" на граничную переходную характеристику САУ указанным поисковым методом потребует выполнения многочисленных расчетов с очень малым шагом значений Поэтому целесообразно использование других — аналитических или численно-аналитических методов расчета, которые основываются на непосредственной связи параметров РС с величиной СГК ХП синтезируемой системы. Искомое значение выбранного ХП D(s) будет определяться при этом как следствие обнуления того элемента матрицы ^ который соответствует недоступной для измерения координате состояния ОУ. В завершении синтеза потребуется лишь оценить полученное значение СГК на предмет соответствия заданным требованиям быстродействия САУ.
При управлении объектами низкого порядка взаимосвязь параметров РС с величиной СГК может быть установлена относительно простыми алгебраическими вычислениями в общем (символьном) виде. Однако повышение размерности объектов потребует выполнения матричных операций как в численной, так и в численно-символьной формах.
3. Редуцирование регуляторов при управлении состоянием объектов второго порядка. Рассмотрим, как реализуется предложенная идея редуцирования РС при управлении объектом второго порядка с одним нулем и двумя полюсами, структурная схема которого приведена на рис. 2, б.
Таблица 1. Результаты синтеза САУ для различных значений величины СГК
Величина CTK: Q0, с 1 Kоэффициенты PC
k1 k2
5.00 -1.00 0.00
6.00 -0.83 -2.83
7.45 0.00 -9.90
10.00 3.17 -30.83
Передаточная функция ОУ имеет общий вид
Ho(s) = M = 2 bs + bo ,
A(s) s + axs + a0
где A(s) и B(s) — ХП и полином воздействия с положительными коэффициентами.
Ставится задача синтеза РС, обеспечивающего получение ХП САУ в виде бинома Ньютона
D(s) = (s + fio)2.
ОУ имеет невысокий порядок, поэтому удается аналитически найти решение задачи модального управления в символьной форме (в общем виде) [6, 7]
KT =
1
Z^fio - 2b0Q0 - b1a0 + b0a1 det U _-boD.0 - 2O.0(b1a0 - b0a1) + b0a0 + b1a0 где T — символ транспонирования, матрица управляемости о
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.