КОСМИЧЕСКИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ, 2013, том 51, № 2, с. 159-175
УДК 629
МЕЖОРБИТАЛЬНЫЕ ПЕРЕЛЕТЫ С МАЛОЙ ТЯГОЙ В ПРОИЗВОЛЬНОМ ПОЛЕ СИЛ
© 2013 г. А. А. Суханов1, А. Ф. Б. де А. Прадо2
1 Институт космических исследований РАН, г. Москва
sacha.su@hotmail.com 2Национальный институт космических исследований, Сан Жозе дус Кампус, Бразилия
prado@dem.inpe.br Поступила в редакцию 19.06.2011 г.
Рассматриваются перелеты с малой тягой между заданными орбитами при наличии возмущений разной природы. Предлагается простой метод нахождения траектории перелета, основанный на линеаризации движения около опорных орбит. Требуемая точность расчетов достигается путем увеличения числа опорных орбит. Метод может использоваться и в случае большого числа оборотов вокруг притягивающего центра; при этом осреднение движения не требуется. Предлагаемый метод применим также при частично заданной конечной орбите и при наличии ограничений на направление тяги. Оптимальное решение линеаризованной задачи не является оптимальным для исходной задачи; на численном примере оценивается близость решений этих двух задач. Возможности метода иллюстрируются примерами.
Б01: 10.7868/80023420613020052
1. ВВЕДЕНИЕ
Предлагаемая статья посвящена рассмотрению спиральных перелетов с идеально регулируемой малой тягой между двумя заданными орбитами. Если подобный перелет осуществляется в сильном гравитационном поле (т.е. если внешние силы намного превосходят силу тяги двигателя КА — такая ситуация имеет место, например, при разгоне малой тягой вблизи Земли), то спиральная траектория КА может содержать многие сотни оборотов вокруг основного притягивающего центра. Это обстоятельство усложняет оптимизацию таких перелетов. Существуют разные методы оптимизации многовитковых спиральных межорбитальных перелетов [1—7], большинство из них основано на осреднении движения. Однако методы эти имеют различные недостатки: они либо сложны [3, 5], либо обладают ограниченной применимостью, т.е. пригодны только для круговых или близких друг к другу орбит [1, 6, 7], для компланарных или коаксиальных орбит [2, 4, 6, 7]. Некоторые методы применимы лишь в задаче двух тел.
В данной работе предлагается простой и изящный метод нахождения межорбитальных перелетов в произвольном поле сил; единственное требование к полю сил заключается в том, чтобы орбиты в этом поле могли быть заданы пятью оскулирующими элементами. Метод основан на
линеаризации движения около некоторых опорных орбит. В этом отношении метод подобен методу транспортирующей траектории (МТТ), предложенному в статье [8] и развитому в работах [9—12], и использует некоторые элементы МТТ Однако в предлагаемом методе в качестве независимых переменных, по которым производится оптимизация, используются элементы опорных орбит, в то время как в МТТ такими переменными являются векторы состояния опорных орбит. Такая замена переменных позволила создать метод нахождения межорбитальных перелетов (МТТ решает задачу перелетов между заданными положениями в пространстве) с большим (до многих тысяч) числом витков (надежная сходимость модифицированного МТТ, описанного в работах [9—11], обеспечивается лишь при относительно небольшом — примерно до десяти — числе оборотов).
Предлагаемый метод позволяет находить траектории перелета следующих типов:
— перелет между заданным положением на начальной орбите и конечной орбитой с нахождением оптимальной точки входа на конечную орбиту (такая ситуация имеет место, например, в случае, когда старт производится с заданной орбиты в заданное время, а фазирование конечной орбиты не требуется);
— перелет между начальной орбитой и заданным положением на конечной орбите с нахождением оптимальной точки старта с начальной орбиты (такой случай реализуется, например, при полете в заданную точку геостационарной орбиты, если время старта с начальной орбиты может выбираться произвольно);
— перелет между двумя орбитами с выбором оптимальных точек старта и прилета (это классический случай межорбитального перелета).
В рассматриваемом здесь методе, в отличие от большинства других методов оптимизации мно-говитковых перелетов, осреднение движения не используется. Требуемая точность вычислений достигается путем выбора необходимого числа опорных орбит: увеличение числа орбит приводит к сокращению интервалов линеаризации и соответственно к повышению точности. Метод не накладывает никаких ограничений ни на число витков траектории перелета, ни на количество опорных орбит. Предлагаемый метод применим также в случае частично заданной конечной орбиты (например, могут быть заданы только большая полуось и эксцентриситет или только энергия орбиты, остальные элементы определяются оптимальным образом) и при наличии ограничений на направление тяги [13, 14].
В статье рассматриваются два частных случая поля сил, а именно поле с учетом сжатия центральной планеты и поле, соответствующее задаче двух тел. В этих случаях метод упрощается, а в случае задачи двух тел становится полностью аналитическим на каждой итерации вычислительной процедуры.
Однако, как показано в статье, оптимальное решение для линеаризованной задачи, полученное предлагаемым методом, не является оптимальным для исходной нелинейной задачи. Отметим, что это не следствие ошибок линеаризации (которые могут быть сведены практически к нулю), а принципиальное следствие замены исходной задачи линеаризованной. В статье на численном примере приводится сравнение оптимальных решений исходной и линеаризованной задач. Также даются некоторые сведения о сходимости и быстродействии метода, оценивается точность вычислений в зависимости от числа используемых опорных орбит. Приведенные численные примеры иллюстрируют возможности метода.
В статье используются следующие обозначения: I — текущее время, I = 0, I = Т — моменты времени начала и конца перелета, г, V — радиус-вектор и вектор скорости, а — вектор реактивного ускорения (вектор тяги), а = |а|, ф — угол между проекцией вектора тяги на плоскость оскулирую-щей орбиты и вектором скорости КА, у — угол между вектором тяги и плоскостью орбиты, I —
единичная матрица. Нижними индексами "0" и " Т" обозначаются значения параметров в моменты времени 0 и Т (если для индекса "0" не оговорено другое значение).
2. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Рассмотрим движение КА, описываемое уравнением
X = Г (х, ^ + & (1)
где х = {г, V} — вектор состояния КА, Г = Г (х, ^ = {V, 1^}, = (х, t) — ускорение от действия внешних сил,
g = {0, а}.
(2)
В общем случае эффективная электрическая мощность электрореактивной двигательной установки малой тяги (т.е. мощность с учетом к.п.д.) может быть записана в виде N = N (г, ^). Тогда минимизируемый функционал задачи с идеально регулируемой тягой имеет вид
I = о^, hN
(3)
где а = а . Минимум затрат рабочего тела на перелет достигается при минимальном значении функционала (3).
Обозначим через qн = q^^, qк = q^К0,^ 5-мерные векторы оскулирующих элементов, определяющих начальную и конечную орбиты соответственно. Задача заключается в нахождении траектории перелета между начальной и конечной орбитами за заданное время Т, на которой достигается минимальное значение функционала (3).
3. ПЕРЕЛЕТ МЕЖДУ ЗАДАННЫМ ВЕКТОРОМ СОСТОЯНИЯ И ЗАДАННОЙ ОРБИТОЙ
Граничные условия задачи, сформулированной в п. 2, могут быть записаны в виде
х0 - Ун0, хт — укТ,
(4)
где у н, у к — векторы состояния начальной и конечной орбит. Рассмотрим случай, когда вектор у н0 задан, а вектор у кТ не задан.
3.1. Перелет между близкими орбитами. Сначала предположим, что начальная и конечная орбиты близки друг к другу. В этом случае уравнение движения (1) может быть линеаризовано около начальной орбиты (рис. 1):
4 = ^ + &
0
Конечная орбита
Рис. 1. Перелет между близкими орбитами.
где
% = % (г) = X (г) - у н (*)
(6)
— вектор состояния линеаризованного движения,
дf
Г =
ду к
(7)
Н = -а + Р ТГ£ + р; а + р, 2N
(8)
дН
д^
= -р Г,
переменная р, удовлетворяет уравнению дН
Рг
дг
= -Р X
(9)
(10)
Рассмотрим матрицу 6-го порядка ¥ = ¥ ( г), являющуюся общим решением уравнения (9) с начальным условием ¥ (0) = I Матрица ¥ является сопряженной матрицей изохронных производных и равна
^ = ду не/ ду н.
(11)
Разобьем матрицу ¥ на две подматрицы размерности 6 х 3:
^ = [% ^ ].
(12)
Тогда сопряженные переменные могут быть представлены в виде
р = ¥тр, р^ = ^тр,
(13)
Вектор f и матрица F в (5), (7) вычисляются на начальной орбите, поэтому матрица F является функцией времени, даже если функция f явно от времени не зависит. Функция Гамильтона для уравнения (5) и минимизируемого функционала (3) имеет вид
где в — постоянный 6-мерный вектор. Функция Гамильтона (8) достигает максимума, если
а = Npv = N4$. (14)
Решение уравнения (5) дается формулой Коши \ = \ (г) = ф( г,0) ^ + |ф( г,т) gdт, (15)
где
Ф( гъг2) = 5у н (г1)/ду н ( г 2)
(16)
где р = {рг, р^ — вектор сопряженных переменных, соответствующих уравнению (5), pv — базис-вектор Лоудена, р, — сопряженная переменная, соответствующая дополнительному уравнению • = 1, делающему систему автономной. Вектор p удовлетворяет сопряженному уравнению в вариациях
— матрица изохронных производных. В силу соотношений (4), (6) £,0 = 0 в (15). Пользуясь зависимостями
ф (г, т) = ф( г, 0) ф(0, т) = ф( г, 0) ф-1 (т, 0), ф = ф( г,о) = ¥-1
(17)
и соотношениями (2), (12), (14), представим решение (15) в виде [9]
\ = фэР,
где
э = э ( г) = ^ V V
йг
(18)
(19)
— матрица 6-го порядка. Как следует из (6), (14), (18), для нахождения оптимального вектора тяги и вектора состояния траектории перелета достаточно найти вектор р. Незаданный вектор состояния у кТ может быть найден с помощью условия трансверсальности, которое в данном случае имеет вид
рт = р (Т)
дq
кТ
ду
кТ
О,
(20)
где о — произвольный постоянный 5-мерный вектор. В силу близости начальной и конечной
?о = 0
Конечная орбита
Траектория перелета ■ qn= qк
qy■ *4
ч 1 . — qn-l г
Опорные
ч/^ орбиты
\ Начальная орбита
qo = qн
Рис. 2. Перелет между произвольными орбитами.
орбит выполняется приближенное равенство дчк/дук ~ и, где обозначено
и = и
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.