ЭКОНОМИКА И МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ, 2007, том 43, № 2, с. 57-75
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ЭКОНОМИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ
МЕЖОТРАСЛЕВЫЕ МОДЕЛИ И ТЕОРИЯ КЛЮВОВ
© 2007 г. Э. Б. Ершов
(Москва)
Показывается, что для балансовых и оптимизационных, статических и динамических межотраслевых моделей множества их допустимых решений при естественных допущениях содержат особые решения, называемые клювами. Используются определения и утверждения, содержащиеся в (Ершов, 2002, 2007).
ВВЕДЕНИЕ
Взаимодействия в многоотраслевой экономике отображаются с помощью межотраслевых и более общих, включающих их как блоки, интегрированных моделей. Такие модели представляют собой достаточно сложный и в то же время изученный объект, для которого характерным свойством является неубывание объемов текущих затрат, объемов первичных факторов (труда и капитала) и невоспроизводимых природных ресурсов, необходимых для получения отраслевых выпусков в зависимости от их объемов. Это свойство проявляется, если производственные факторы и затраты, а также результаты, т.е. выпуски, измеряются в так называемых физических единицах или в некоторых фиксированных ценах. Именно свойство неубывания затрат вместе с простыми свойствами неравенств, обобщающих балансовые соотношения, позволяют в межотраслевых моделях использовать слабомонотонные по невыделенным аргументам нульслотовые и однослотовые функции. Другие свойства допустимых множеств решений, т.е. непустота, ограниченность и замкнутость, обеспечивающие существование у таких множеств клювов, представляют собой обычные свойства балансово-эконометрических моделей и их оптимизационных обобщений.
Покажем, что межотраслевые модели представляют собой объект, для изучения свойств и нахождения решений которых естественно использовать подход, связанный с клювами.
1. СТАТИЧЕСКИЕ МЕЖОТРАСЛЕВЫЕ МОДЕЛИ
Проиллюстрируем существование клювов на примерах наиболее известных по публикациям типовых статических межотраслевых моделей. История таких моделей началась со статической модели межотраслевого баланса В.В. Леонтьева (Ьеопйе£ 1936, 1941), представленной системой линейных уравнений распределения продукции п отраслей
X = аХ + У, (1)
с п неизвестными X = (х), в которой неотрицательна матрица коэффициентов прямых (текущих) затрат (а) со спектральным радиусом р(а) < 1. Элементарным обобщением этой модели является модель, задаваемая системой неравенств:
X> аХ + У, X> 0, (2)
определяющих допустимое множество О ее решений, при условии, что (а) > 0 и О Ф 0, имеет мини-клюв X (О), так как множество О очевидным образом удовлетворяет условиям теорем 1 и 2 о клювах (Ершов, 2002, 2007).
Напомним, что непустое множество О в п-мерном вещественном пространстве Яп точек X = (х)
имеет мини-клюв, если существует принадлежащая ему точка X = (Х,{), X е О, такая, что для любой точки У = (у) е О выполнена система неравенств Х; { <у, / =1, ..., п.
Для макси-клюва X = (Х,) е О требуется выполнение неравенств Х, >у, / = 1, ..., п. Достаточные условия существования у множества О мини- или макси-клюва в наиболее простой форме представляются в виде следующих утверждений.
Теорема 1 о клювах. Множество О с Я„ имеет мини-клюв (макси-клюв), если оно: непусто; ограничено снизу (сверху); замкнуто; замкнуто относительно бинарной операции покоординатной минимизации (максимизации), определенной для пары точекX1,X11 следующим образом:
X1' 11 = т1п(Х1; X11) = (х)'п) = (тт(х); х)))) (или X1- 11 = тах^; X11) = (х)'11) = (тах(х); х))))),
гдеX1 = (х)),X11 = (х)]), т.е. из X1 е О, X11 е О следует тт^; X11) е О.
Теорема 2 о клювах. Непустое множество О с Ли замкнуто относительно операции тт^; X11) (или тах^; X11)), если оно задается системой неравенств
/„(хг(а); Xг(а))> > 0, а =1'...'
где символ ">>" означает, что в неравенстве а используется один из символов ">" мли ">", 7 (а) -номер выделенной для функции/а переменной (номер 7(а) может быть не определен),- набор переменных хк, к Ф 7(а), и выполняются условия:
- область определения юа функции/а(X) замкнута относительно выбранной операции;
- функция/а(х7(ау Xг(а)) невозрастающая (неубывающая) по хк, к Ф 7(а).
Выделенный аргумент х7(а), по которому к функции /аС^) не предъявляются требования неубывания или невозрастания, называют слотовой переменной, или слотом. Свойство невозрастания функции/по переменной х] будем обозначать чертой под х, свойство неубывания - чертой над х. Тогда/(х7, X) - невозрастающая по хк, к Ф 7, функция. В дальнейшем используется обозначение МА для множества точекX = (х7), удовлетворяющих при заданной точке А = (а) системе неравенств а7 < х7, 7 = 1, ..., п, и МА , если х7 < а, 7 = 1, ..., п.
Естественным обобщением моделей (1) и (2) является модель, в которой каждый межотраслевой поток затрат х, (7,] = 1, ..., п) - это неубывающая функция выпуска X. в отрасли] или, в
более общем случае, сумма потоков х7. продукции отрасли 7 является неубывающей, но не
обязательно сепарабельной функцией 'г■(X) переменных х1, ..., хп (Ершов, 1963; Sаndberg, 1973; Lahiri, 1976, 1977; Бусыгин, 1976; Багриновский, 1977; Багриновский, Бусыгин, Радченко, 1978; Багриновский, Бусыгин, 1980). Отметим, что предположение о возрастании по всем аргументам
суммы £]х1], считающейся, как правило, сепарабельной (£ . х= ^^ х. (х.)), является стандартным для линейных и нелинейных, статических и динамических межотраслевых моделей.
Множество О допустимых решений такой обобщенной модели, в которой конкретизируется вид функций y7(X), задается системой неравенств:
/(X) = хг - ^г(X) - ¥, > 0, хг > 0, (3)
в которых х 7 - выделенная переменная для однослотовых и не возрастающих по невыделенным аргументам функций/(X) = /(х7; X) и gi(х7) = х7 > 0. Очевидно, что если О непусто, то существует
мини-клюв Х(О). Если ¥ > 0 и '(0) > 0, то мини-клюв Х(О) - одно из неотрицательных решений в общем случае нелинейной системы уравнений F(X) = X - '(X) - ¥ = 0 и даже мини-клюв для множества ОF(X) и МО, где О = (0, ..., 0) е Яп и ОF(X) - множество всех решений системы F(X) = 0. Частными случаями моделей этого класса, помимо модели (2), являются:
- модель межотраслевых взаимодействий (Яременко, Ершов, Смышляев, 1975) и ее оптимизационные варианты, для которых потоки х, задаются линейными уравнениями
о I 7 I ]
х 7] = а7] + а 7]х г + а7]х]
с неотрицательными коэффициентами а'7]- при переменной х7, моделирующей влияние фактора предложения, и а] при х] как переменной, отражающей фактор спроса, или, точнее, функциями х у = тах(0; а0 + а'^х^7 + а^х]), а сами потоки включаются в уравнения (1) или в неравенства
х7 ху + ¥, 7=1'.' п; (4)
]
Xj = max
- модель взаимодействия межотраслевых потоков (Ершов, 1991), в которой
( п т
0; 4 + X У]+Xа ¡ууу
V к = 1 I = 1
Уу - задаваемые отраслевые компоненты, у = 1, ..., п, функционального элемента I конечного продукта, коэффициенты ак и аа¡у неотрицательны, а множество допустимых решений О задается системой неравенств (4) и х, > 0, 1 =1, ..., п. При а0 = 0 и аку = а¡у = ау > 0 модель взаимодействия межотраслевых потоков превращается в обычную оптимизационную модель Леонтьева (2) или, если используются равенства, в модель (1), поскольку в таком случае Ху = ау(ХкХук + X' Уц) = а ¡уху.
Гипотеза использования в каждой отрасли одной средней линейной производственной технологии, на которой основывается модель Леонтьева, была заменена в модели, предложенной П. Саму-эльсоном (8атие^оп, 1951), на гипотезу существования в отрасли у нескольких линейных технологий с номерами X е г(у). Допустимое множество О решений этой модели задается системой неравенств:
X x^X X
l е г(i) j VXG г(j)
X X avXJ
i = 1, ..., n;
(5)
xJ - 0, j = 1, ..., n, Xe г (j ).
В ней xX - интенсивность использования в отрасли j технологии с номером-шифром X, r(j) - множество шифров таких технологий, коэффициенты затрат aX- и элементы Yi вектора Y = (Y) конечного продукта неотрицательны, и минимизируется критериальная функция Xj Xxе г(j)^jx)
с положительными коэффициентами cX, экономическая интерпретация которых не влияет на свойства модели.
Ряд исследователей, развивающих математическую экономику как направление экономической науки, в том числе П. Самуэльсон, К. Эрроу, Н. Джоржеску-Роэген, Т. Купманс, в статьях, включенных в "Cowles Commission Monograph № 13" (см. (Ершов, 2007)), а затем С. Карлин (Кар-лин, 1964, § 8.5) и К. Ланкастер (Ланкастер, 1972, § 6.7) показали, что двойственная к этой модели
задача линейного программирования имеет оптимальное решение popt = ( ), которое не зависит от вектора Y. Это приводит к разделению технологий каждой отрасли на всегда отсутствующие в оптимальном решении (при любом Y) или неоптимальные, неэффективные технологии и оптимальные технологии, которые могут появляться в оптимальном решении. Даже использование только одной из оптимальных технологий в каждой отрасли обеспечивает нахождение одного из оптимальных решений модели. В какой-то мере это свойство оправдывало в рамках принятых допущений гипотезу существования единственной, средней технологии в каждой отрасли.
Основное свойство модели (5) - независимость разделения технологий на оптимальные и неоптимальные от вектора конечного продукта - оказывается простым следствием того факта,
что двойственная задача линейного программирования с допустимым множеством решений i :
i: Pj - 0, Xpaij - Pj + cJ-0, j =1>-"> n, Xe г ( j ), (6)
i
на котором максимизируется критерий XjPj Y у, имеет макси-клюв p (i). Его координаты очевидным образом не зависят от координат вектора Y = (Yj), как от параметров параметров критериальной функции.
Идеи и методы линейного программирования многократно использовались при формулировании, анализе свойств и нахождении решений оптимизационных межотраслевых моделей. Возможно, наиболее характерным примером из множества таких моделей, описывающих состояние межотраслевой системы в одном году, одном периоде, является модель экономного планирования,
предложенная в (Юдин, Гольштейн, 1961). Она задается системой уравнений для межотраслевых потоков Ху и объемов капитальных затрат Ку продукции отрасли г, расходуемой в отрасли у.
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.