ИЗВЕСТИЯ РАИ. ТЕОРИЯ И СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ, 2007, № 2, с. 45-56
== ОБРАБОТКА ИНФОРМАЦИИ
УДК 519.21
МИНИМАКСНАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ В СТОХАСТИЧЕСКОЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ СИСТЕМЕ С НЕСТАЦИОНАРНЫМИ ВОЗМУЩЕНИЯМИ НЕИЗВЕСТНОЙ ИНТЕНСИВНОСТИ*
© 2007 г. М. В. Лебедев, К. В. Семенихин
МАИ (технический университет) Поступила в редакцию 18.07.06 г.
Рассмотрена задача минимаксной фильтрации в стохастической дифференциальной системе с нестационарными возмущениями неизвестной интенсивности. Для построения минимаксного фильтра использован метод, основанный на решении двойственной задачи. Доказано, что минимаксным фильтром будет фильтр Калмана с коэффициентами, определяемыми наихудшей функцией интенсивности. Явный вид минимаксного фильтра получен для модели наблюдения с произвольно коррелированными возмущениями.
Введение. Методам оценивания и фильтрации процессов в стохастических системах с неточно заданными вероятностными характеристиками посвящена обширная литература. С начала первых публикаций по проблемам оценивания в условиях априорной неопределенности сформировались два основных подхода: адаптивный и ро-бастный. При адаптивном подходе используемая оценка уточняется по мере извлечения недостающей априорной информации из поступающего потока измерений [1, 2]. При робастном подходе требуется (по ограниченному набору наблюдений) указать фиксированную оценку, чье наихудшее качество на заданном классе неопределенности будет наилучшим по сравнению с другими допустимыми оценками [3, 4].
Тем самым задача робастного оценивания принимает вид игровой постановки, в которой критерий (погрешность оценивания) зависит от пары элементов, выбираемых из двух заданных множеств, содержащих соответственно допустимые операторы оценивания и возможные характеристики модели наблюдения. Оценка, оптимальная в робастном смысле, называется далее минимаксной.
Развитие теории робастного оценивания за последние 40 лет можно проследить по публикациям [3-16]. Необходимо отметить, что большинство из указанных работ посвящено исследованию линейных моделей наблюдения, в которых априорная неопределенность задается посредством ограничений на моментные характеристики случайных параметров и возмущений. Для решения задачи минимаксного оценивания в таких системах используется несколько методов. Одни из них основаны на непосредственной минимизации наихудшего значения
* Работа выполнена при частичной финансовой поддержке РФФИ (грант < 05-01-00508-а).
критерия средствами выпуклого анализа, другие позволяют свести исходную минимаксную проблему к задаче линейного программирования [17] или же к задаче, к которой применимы численные алгоритмы полуопределенной оптимизации (semidefmite programming) [18].
В статье используется метод, основанномый на решении двойственной (максиминной) задачи [1921]. Идея этого метода заключается в следующем:
1) если характеристики модели наблюдения считать известными, то оптимальный фильтр и его среднеквадратическая ошибка описываются стандартными уравнениями фильтра Калмана;
2) неопределенные параметры модели требуется выбрать наихудшим образом, т.е. таким, чтобы погрешность оптимальной оценки достигала наибольшего значения;
3) для получения минимаксного решения остается подставить найденные наихудшие значения параметров в уравнения оптимального фильтра.
Ключевое звено данной схемы - обоснование утверждения о том, что оптимальный фильтр, рассчитанный при наихудших характеристиках, будет минимаксным. Как показано в [20, 22, 23], решение данной проблемы в положительном смысле возможно при соблюдении некоторого условия регулярности. Применительно к системе стохастических дифференциальных уравнений регулярность означает равномерную невырожденность матрицы интенсивности шумов наблюдаемого процесса.
Отметим некоторые особенности задачи минимаксной фильтрации, изучаемой в работе. Во-первых, оцениваемый и наблюдаемый процессы образуют нестационарную модель наблюдения и методы стационарной минимаксной фильтрации [24] к ней не применимы. Во-вторых, допускается наличие корреляции между возмущениями процесса со-
стояния и наблюдаемого сигнала. Это позволяет рассматривать модели с произвольно коррелированными шумами [12]. И наконец, неопределенность модели наблюдения - непараметрическая, так как неизвестными считаются функции интенсивности возмущающих процессов [22, 25]. Последнее означает, что двойственная задача (проблема поиска наихудшей интенсивности) оказывается бесконечномерной. В этой связи необходимо отметить работу [26], в которой задача минимаксной фильтрации решена для стохастической дифференциальной системы со стационарными возмущениями.
Описание модели наблюдения. Рассмотрим следующую стохастическую дифференциальную систему:
£( г) = £( 0) +1 а (5 )£( ^) ^ +1Ь (5) ф( 5),
0 0 г г
п( г ) = |А ( 5 )£( 5 ) йи + | В ( 5 ) 5 ),
(1.1)
шт(г, 5)
соу{ ^ (г), ^ (5)} = | и (т) йт,
(1.2)
г, 5 е [0, Т].
Ч = { и : [0, Т]
: и (т)
и
измерима и и(т) е Т V т е [0, Т] },
(1.3)
элементов множества Т далее будет использоваться запись в виде блочной матрицы:
V =
V V
' |1 ' IV
V V
' VI ' V
Коэффициенты системы (1.1) a(s) е [т х т, A(s) е е х т, Ь^) е [т х р, B(s) е х д являются известными измеримыми ограниченными функциями.
Следующие допущения играют ключевую роль при построении минимаксного фильтра:
А) множества Э и Т выпуклы и компактны; Б) выполнено условие регулярности
Зе> 0: В(5) VVB (5)>е/ V/ ^ е [0, Т]
VV е Т
(1.4)
в которой {£(:), t е [0, 7]} - т-мерный случайный процесс, описывающий состояние системы, а {п(0, t е [0, 7]} - и-мерный случайный процесс, доступный непосредственному наблюдению. Начальное состояние £(0) предполагается центрированным случайным вектором с матрицей ковариации D = = шу{£(0)}, принадлежащей заданному множеству неотрицательно определенных симметричных матриц Э. Возмущения |(:) е [р и v(t) е [д образуют процесс м>(:) = со1[|(:), v(t)], который является центрированным, не коррелированным с вектором £(0) и имеющим ортогональные приращения [27]. Последнее предположение означает, что ковариационная функция процесса м>(:) может быть представлена в виде
(неравенство между матрицами X > Y означает, что X - Y неотрицательно определена).
Отметим, что (1.4) указывает на равномерную невырожденность матрицы интенсивности шумов в уравнениях процесса наблюдения. При ^ = I данное условие используется для вывода уравнений фильтра Калмана-Бьюси [27].
Постановка задачи. Назовем случайный вектор £(г) допустимой оценкой вектора состояния £(:) по наблюдениям процесса {п(:),: е [0, 7]}, если существует измеримая функция g : [0, I х [0, I —►
|Т (г, 5 )||2 йй
такая, что
< ^ и
£(г) = jg(г, 5)йц(5) Vг е [0, Т]. (2.1)
0
Таким образом, рассматриваются только линейные неупреждающие преобразования наблюдаемого процесса.
Пусть далее Е - класс всех допустимых оценок
(фильтров), т.е. случайных процессов {£ (г), : е [0, 7]}
вида (2.1). Точность фильтра £ е Е будем измерять с помощью среднеквадратического критерия
Функция интенсивности и(т) принадлежит следующему классу:
Ц(£| Д и) = Е{||£(г) - £(г)||
г е [0, Т],
А и}
(2.2)
где Т - некоторое фиксированное множество неотрицательно определенных симметричных мат-
о
риц размера и х и, и = р + д, а символ V означает "для почти всех относительно меры Лебега". Для
где Е{ | D, и} - математическое ожидание, вычисленное в предположении, что процессы £(:) и п(:) удовлетворяют уравнениям (1.1) с ковариационной матрицей D начального состояния £(0) и функцией интенсивности возмущений и. Наряду с локальным функционалом (2.2) рассмотрим также интегральный критерий
Т
Ьт(£| А и) = 11г(£| Д и)йг. (2.3)
0
0
0
0
Определение 1. Пусть JT(•) - один из критериев LT(•) или /т(-). Допустимый фильтр Е, называется минимаксным относительно Jт(•), если
j е arg min sup JT (j| D, U).
jj е a D е 2, U е <
При этом
JT = inf
sup Jt(j D, U)
j е a D е 2, U е <
(2.4)
(2.5)
j е arg minJT(j| D, U),
j е a
(3.1)
где
(D, U) е arg max JT(D, U),
D е 2), U е <
JT(D, U) = inf JT(j D, U).
j е a
(3.2)
(3.3)
inf sup JT(j| D, U) =
j е a D е 2, U е <
= sup JT (D, U).
D е 2, U е <
(3.4)
J_t(D, U) =
tr[Y(t| D, U)] при Jt(■) = Zt(■),
\ (3.5)
jtr[y(s| D, U)]ds при Jt(■) = 7t(■),
а Y(s | D, U) удовлетворяет уравнению Риккати
Щ^Е!-- Г(s, Y(s D, U), U(s)), (36)
ds (3.6)
называется оптимальным гарантированным значением критерия Jт (•).
Минимаксный фильтр. В работе для построения минимаксного фильтра используется метод двойственной оптимизации [14, 20]. Суть его заключается в том, что минимаксный фильтр ищется в виде решения задачи оптимальной фильтрации:
у(0| В, и) = В, почти всюду на [0, Т], где Г(s,Y, V) = а(^)у + уат(^) + Ь(*) У^ЬТ(*) -- (Ь(*) VllVBт(*) + уЛт(*))(В(*) VVВт(*))-1 х (3.7) х( В (*) V^Ьт (*) + Л (* )у).
При этом _т (В, и) - оптимальное гарантированное значение критерия.
3). Минимаксный фильтр совпадает с фильтром Калмана
j (t) =
(3.8)
где В и и - наименее благоприятные характеристиками модели наблюдения. Последнее означает,
что В, и образуют решение следующей задачи максимизации:
Будем называть задачу (3.2) и функционал (3.3) двойственными, если выполнено равенство
Точная формулировка описанного алгоритма приведена в следующей теореме.
Теорема 1. Пусть Jt(•) - один из критериев Lt(•) или /(•). Если условия А) и Б) выполнены, то справедливы следующие утверждения.
1). Имеет место соотношение двойственности (3.4).
2). Существует решение двойственной задачи (3.2), где
= J{ a (s )j (s) ds + [ b (s) s) BT (s) + у (s )AT (s )]x
0
x (B (s) Uv( s) BT (s ))-1 [ dn( s) - A (s )j (s) ds] }, (3.9)
в котором y(s) = Y(s | D, U).
4). Минимаксный фильтр j и наименее благоприятные характеристики (D, U) образуют сед-ловую точку функционала JT(-) на произведении
a и 2 x <
Jt (j D, U) < Jt (j D, U) < (310)
< JT(j D, U) Vj е a и V(D, U) е 2 x <.
Доказательство. Доказательство теоремы 1 основано на следующем теоретико-игровом результате [16, лемма 5]. Если
а) функционал JT( j |-) вогнут на выпуклом множестве 2 x < при любом j е a;
б) (D, U) е arg max JT(D, U);
D е 2, U е <
в
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.