Автоматика и телемеханика, № 2, 2014
© 2014 г. С.А. КОЧЕТКОВ, канд. техн. наук, В.А. УТКИН, д-р техн. наук (Институт проблем управления им. В.А. Трапезникова РАН, Москва)
МИНИМИЗАЦИЯ НОРМЫ МАТРИЦЫ ОБРАТНОЙ СВЯЗИ В ЗАДАЧАХ МОДАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ1
В работе предложены алгоритмы оптимизации выбора обратной связи в задаче модального управления в многомерных линейных системах по критерию минимума нормы матрицы обратной связи. В основе предлагаемых подходов к решению поставленной задачи лежит представление исходной системы в ортонормированном базисе. В частности, представление в блочной форме управляемости позволяет разделить задачу оптимизации высокой размерности на решения подзадач оптимизации меньшей размерности. Основное внимание уделяется поиску начального значения матрицы обратной связи с помощью субоптимальных процедур поиска. Даются рекомендации по построению численных процедур поиска субоптимальных решений на основе градиентных методов. Эффективность разработанных алгоритмов продемонстрирована на численных примерах.
1. Введение
Задача модального управления, состоящая в назначении заданных корней характеристического уравнения замкнутых линейных систем с помощью линейной обратной связи, достаточно полно изучена и широко используется в теории и практике управления [1—6]. Известно [1, 3, 5], что в случае, когда количество входов объекта управления больше одного, задача модального управления имеет бесконечное множество решений в смысле многовариантности выбора матриц обратной связи. В задаче модального управления собственные числа замкнутой системы полагаются заданными и появляющуюся свободу выбора элементов матрицы обратной связи в системах с многими входами можно использовать только для варьирования матрицы собственных векторов замкнутой системы.
Известны несколько подходов к оптимизации выбора матрицы обратной связи в задаче модального управления. В первом подходе используется свобода выбора обратной связи для минимизации числа обусловленности матрицы собственных векторов номинальной замкнутой системы. Такой выбор позволяет задать матрицу замкнутой системы со спектром, наименее чувствительным к изменению параметров объекта управления [7—11]. Во втором подходе непосредственно минимизируется норма матрицы обратной связи [12, 13].
1 Работа выполнена при частичной поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проекты №№ 12-08-00865-а и 12-08-13105-офи_м_РЖД).
Проблема синтеза модального управления состоит в решении алгебраического уравнения типа Шура, которое может быть получено с помощью численных методов, рассмотренных, например, в [14-20]. Отметим, что задачи вычисления матрицы обратной связи по критерию минимума числа обусловленности или минимуму некоторой нормы являются невыпуклыми, поэтому использование оптимизационных процедур может приводить к нахождению только локальных минимумов [8, 9, 12, 13]. В этой связи представляется актуальным решение на первом этапе субоптимальных задач выбора матрицы обратной связи, используемой в дальнейших процедурах оптимизации в качестве начальных условий. Отметим, что само субоптимальное решение может оказаться вполне приемлемым для использования на практике.
В данной работе ставится задача минимизации нормы Фробениуса матрицы обратной связи в задаче модального управления. Основное отличие предлагаемых авторами подходов от известных состоит в том, что оптимизационные процедуры будут выполняться в рамках ортонормированных преобразований базиса исходной системы. Согласно приведённым выше рассуждениям основное внимание в статье уделяется проблеме поиска начального значения матрицы обратной связи, так как данный вопрос недостаточно освящен в существующих публикациях [12, 13]. В качестве начального условия может быть выбрано субоптимальное решение задачи минимизации обратной связи, которое вычисляется аналитически.
Работа имеет следующую структуру. В разделе 2 рассмотрены основные аспекты проблемы модального управления. В разделе 3 дается постановка задачи минимизации по норме Фробениуса матрицы обратной связи с использованием ортогональных преобразований. В разделе 4 приведена конструктивная процедура получения блочной формы управляемости (БФУ) с использованием ортонормированного преобразования и разработан пошаговый алгоритм синтеза обратной связи в рамках полученной блочной формы. В разделе 5 разработаны аналитические алгоритмы синтеза модального управления на основе последовательного размещения желаемых полюсов замкнутой системы применительно к системам общего вида. В разделе 6 даются рекомендации по организации вычислительных процедур, связанных с поиском субоптимального решения поставленной задачи с использованием процедур поиска начальных условий из разделов 4 и 5. Эффективность разработанных алгоритмов продемонстрирована на численных примерах.
2. Обсуждение проблемы
Рассматривается линейная многомерная стационарная система вида:
(2.1) x = Ax + Bu,
где x Е Rn, u E Rm0 - вектор состояния и вектор управлений, A и B -матрицы с постоянными коэффициентами соответствующих размерностей, rank B = mo. Без ограничения общности полагается, что пара матриц (A, B) -управляемая.
Ставится задача стабилизации системы (2.1) с помощью обратной связи
(2.2) и = Рх с заданным спектром замкнутой системы
(2.3) а{А +ВР) = {\г}, г=—г,
где Р £ ]^т0хп _ матрица обратной связи, а(-) - спектр соответствующей матрицы, Хг - ее собственные числа.
Как правило, спектр задается с отрицательными действительными частями, причем любое комплексное собственное число включается в заданный спектр вместе с комплексно-сопряженным ему числом.
Условию (2.3) можно сопоставить эквивалентное задание собственных чисел диагональной матрицы вида
Ло = diag (Х1 , .^+1,),
где матрица Ло имеет собственные числа, совпадающие с заданным спектром с точностью до перестановки блоков, и представляет собой клеточно-диагональную матрицу с жордаиовыми блоками на главной диагонали; А^, г = - действительные простые корни, г = 1' + 1,д, - клетки Жор-
дана, соответствующие кратным или комплексно-сопряженным собственным
я
числам, £ , у + ^ пг = п. Такое представление позволяет све-
г=ь+1
сти задачу поиска минимальной по норме матрицы обратной связи к поиску матриц замкнутых систем из класса подобных матрице Ло.
Существование такой обратной связи гарантируется выполнением условия управляемости системы (2.1). Обычно порядок блоков в матрице Ло не определен и, следовательно, следует рассматривать заданный спектр как матрицу РЛо, где Р - произвольная матрица перестановок блоков. Далее для выбранной матрицы перестановок будем использовать обозначение Л = РЛо.
При решении поставленной задачи возникает ряд трудностей, связанных с высокой размерностью систем управления. Прямой путь состоит в решении параметризованных матрицей обратной связи алгебраических уравнений вида:
(2.4) ¿ег(1Х - А) = 0, А = А + ВР
с целью вычисления корней этого уравнения, совпадающих с заданным спектром (2.3).
Характеристическое уравнение матрицы А имеет вид
(2.5) <1е1(Х1 - А) = Хп + ^п-1(А)Хп-1 + ^п-2(А)Хп-2 + ... + ^о(А) = 0.
Для решения задачи модального управления следует выписать заданный полином с корнями, равными заданным собственным числам,
п
(2.6) [] (Х - Хг) = Хп + ^°п-1Хп-1 + ^°п-2Хп-2 + ... + ^
г=1
и найти коэффициенты обратной связи путем приравнивания коэффициентов полиномов из (2.5) и (2.6):
(2.7) <рг{А + ВР)=$, г=~г.
Система (2.7) представляет собой п нелинейных уравнений относительно т х п коэффициентов матрицы Е. С ростом размерности системы получение параметризированного многочлена (2.5) и решение нелинейных алгебраических уравнений (2.7) становится трудноразрешимым.
Приведение исходной системы к различного рода каноническим формам позволяет упростить решение задачи модального управления. В качестве примера рассмотрим систему (2.1) с одним управляющим воздействием.
Теорема 1 [1, 21]. При скалярном управлении задача модального управления имеет единственное решение.
Доказательство утверждения теоремы 1 основывается на представлении системы (2.1) неособой заменой переменных Х = Рх в управляемой форме Фробениуса вида
(2.8) Хг = Хг+\, г = 1, п — 1, хп = —атх + и,
где коэффициенты вектора ат = (а0,..., ап-1) совпадают с коэффициентами характеристического многочлена матрицы А:
(2.9) — А) = \п + ап-гХп-1 + ап-2^п-2 + ... + ао.
В канонической форме управляемости (2.8) изменение коэффициентов характеристического многочлена замкнутой системы выбором управления в виде и = —/тх, /т = (/0,..., /п-1), согласно выражению а1 + / = из (2.6), однозначно решает задачу обеспечения замкнутой системе заданного спектра.
Конструктивность доказательства теоремы 1 состоит в том, что задача решения нелинейных уравнений (2.7) сводится к решению простых линейных алгебраических уравнений.
Для систем с векторным управлением аналогичные результаты синтеза модального управления могут быть получены, например, на основе использования канонического представления в форме управляемости Бруновского [3]:
(2.10)
грЗ - грЗ А - I гул . _ 1
= хг+1> 1 = 1, рз 1, З/р. — а^ сс I 'К^' J — 1 ^ тть ^
где Хз £ Ерз , Хз = (х{, . . . ,х^ )т, хт = (хт, . . . ,хт), Р1 + Р2 + ... + Рт = п.
В системе (2.10) выбор управлений, например, в виде из = а^ГХ — /'З'хз позволяет реализовать в каждой замкнутой подсистеме Рз заданных собственных чисел, что и решает задачу модального управления.
В отличие от систем с одним входом при векторном управлении появляется неоднозначность выбора коэффициентов обратной связи, что следует из того, что в системе (2.7) число уравнений меньше числа переменных и, следовательно, может ставиться задача оптимизации в каком-либо смысле. Именно задача оптимизации выбора обратной связи в системе (2.1) с векторным управлением (то > 1) является центральной задачей данного исследования.
3. Постановка задачи
Применительно к системе (2.1) в предположении mo > 1 ставится задача минимизации критерия
(3.1) tr(FFT) — min
с ограничениями вида (2.3).
Прямой путь решения поставленной задачи состоит в сведении ее к задаче безусловной о
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.