Автоматика и телемеханика, № 7, 2015
Линейные системы
© 2015 г. А.Ю. ПОПОВ, д-р физ-мат. наук (Apopov@mail.ru) (Институт программных систем им. А.К. Айламазяна РАН, Переславль-Залесский), С.С. ПУХОВ, канд. физ-мат. наук (Spukhov@mail.ru) (Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова), А.М. ЦИРЛИН, д-р техн. наук (tsirlin@sarc.botik.ru) (Институт программных систем им. А.К. Айламазяна РАН, Переславль-Залесский)
МИНИМИЗАЦИЯ ТОЧНОЙ ВЕРХНЕЙ ГРАНИ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧАСТЕЙ КОРНЕЙ КВАЗИМНОГОЧЛЕНА И ПРЕДЕЛЬНАЯ СТЕПЕНЬ УСТОЙЧИВОСТИ ЛИНЕЙНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ С ОБРАТНОЙ СВЯЗЬЮ1
Для класса квазимногочленов, характерных для математических моделей промышленных систем регулирования, найдена верхняя оценка степени устойчивости, показано, что она соответствует кратному действительному корню характеристического уравнения системы, получены условия, для которых эта верхняя оценка достижима.
1. Введение
При расчете параметров регуляторов промышленных систем часто стремятся к тому, чтобы не только обеспечить устойчивость системы, но и добиться максимума расстояния от множества корней характеристического уравнения до мнимой оси [1-6].
Обозначим через W0(p) и (р) передаточные функции объекта и регулятора соответственно. Для подавляющего большинства процессов в химической, пищевой, металлургической промышленности регулируемые объекты характеризуются распределенными параметрами и апериодическим видом переходных процессов. На практике при расчете систем регулирования распределенность аппроксимируют введением чистого запаздывания.
Регуляторы имеют типовую структуру, представляющую собой параллельное соединение пропорционального, дифференциального и интегрального блоков, а передаточные функции объекта и регулятора имеют вид
N
(1) Wo(p) = Кв-ртЦ (1+ ЗД-1,
к= 1
(2) Wr (р)= Со/р + С1 + С2р. Характеристическое уравнение замкнутой системы
(3) Wо(p)Wr (р) = 1
1 Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект № 10-06-00161).
после подстановки в (3) передаточных функций (1), (2) принимает форму
N
(4) K (Со + Cip + C2P2)= рЦ (1 + Tkp)epT.
k= 1
Для некоторых объектов запаздывание т может быть сколь угодно мало, и тогда уравнение (3) выглядит проще:
N
(5) К (Со + С\р + С2Р2)= р [] (1+ ТкР).
к= 1
Выбором масштабов — времени и координаты — можно перейти к форме записи уравнений (4), (5), в которой т = К = 1. Для этого полагаем
г = тр, ¿>о = тКСо, ¿>1 = КС, = и = 1
т Тк
в уравнении (4);
1
ТУ
в уравнении (5).
Получим характеристические уравнения в форме N
z = р, Sj = KCj, tk = —, l^k^N
(6) z П + = s° + +
z
k=1
(7) г Д (l + ^=S0 + SlZ + S2z2.
Левую часть этих равенств обозначим через f (z). Задача состоит в таком выборе параметров регулятора Co,Ci,C2, чтобы наибольшая действительная часть корней уравнений (6) или (7) была минимальной (и, конечно же, отрицательной — это является необходимым условием устойчивости системы). В самом простом регуляторе — интегральном — Ci = C2 = 0 и выбирается только один параметр Co. В интегрально-пропорциональном регуляторе C2 = 0, а в случае интегрально-пропорционально-дифференциального регулятора уравнения примут форму (4), (5).
Решение поставленной задачи в [3-6] основывалось на предположении, что максимум степени устойчивости для системы, имеющей m варьируемых коэффициентов, достигается в случае, когда ближайшим к мнимой оси является действительный корень кратности (m + 1). Это допущение приводит к следующей последовательности расчета параметров регулятора. 1. Находят максимальный корень (m уравнения
(8) f (m)(x)=0, m = 1, 2, 3,
где x — действительная часть комплексной переменной z.
2. Для т = 1 (И-регулятор)
(9) 50 = / (С1).
Для т = 2 (ПИ-регулятор)
(10) = /'(С2), 50 = /(С2) -
Для т = 3 (ПИД-регулятор)
(11) = 0,5/"(Сз), = /'(Са) - 25*Сэ, 50 = /(Сз) - 5*Сз - 5*Сз2-
Расчет параметров регулятора по условиям кратности действительного корня позволяет найти эти параметры в аналитической форме, проследить чувствительность их и |£т| к изменению характеристик объекта, однако является ли найденное значение |£т| максимальной степенью устойчивости системы, вообще говоря, не доказано.
В ряде случаев можно воспользоваться (см. [6]) достаточным условием того, что расстояние корня ( характеристического уравнения (3) от мнимой оси совпадает со степенью устойчивости: Чтобы действительный корень ( характеристического уравнения системы с обратной связью был ближайшим к мнимой оси, система с амплитудно-фазовой характеристикой W(гш - Со), (0 < С, должна быть устойчивой, для этого достаточно выполнения неравенства
(12) ^(¿ш - ((гш - ()| < 1 ^ = 0.
При ш = 0 левая часть этого неравенства равна единице.
Далее для класса целых функций, включающего функции /(г), упомянутые выше, доказано, что |£т| является верхней оценкой для степени устойчивости системы.
Для систем, характеризующихся уравнениями (6), (7) с И- и ПИ-регуляторами и устойчивым объектом, характеристическое уравнение которого имеет только действительные корни, оценка |£т| достижима, а значит, изложенная выше процедура выбора параметров регулятора обоснована.
Показано, что для системы с ПИД-регулятором и апериодическим объектом первого порядка с запаздыванием, когда /(г) = г + ^ е~, для € € (0, 2] предельная степень устойчивости равна модулю максимального кор-
-С//// \ О лА? + 12— " „ „
ня f (х), а именно з —у 2-, и ей соответствует действительный корень
функции / кратности 4, а при ¿1 > 2 ближайшие к мнимой оси корни комплексные и степень устойчивости равна двум.
В следующем разделе дана точная постановка задачи, формулировка основных результатов и некоторые примеры, а в Приложении — тексты доказательств.
2. Основные результаты
Дана целая функция /, действительнозначная на М. Рассмотрим уравне-
ние
т— 1
(13) f(z) = J2SkZk\ S = (So,S1,...,Sm-1)eRn
k=0
Точную верхнюю грань действительных частей корней уравнения (13) обозначим R(f,S). Требуется найти величину
(14) Km(/) = inf{fí(/,S)|S€Mm}.
Существуют целые функции / (например, /(z) = sinz), для которых R(f, S) = +оо при любом S € Rm. Для таких функций задача некорректна.
Поставленная задача вряд ли может быть решена в общем случае. Ограничимся функциями f, составляющими специальный подкласс квазимногочленов. Предполагаем, что
i
(15) f (z) = £ Pj (z)ea
j=i
Pj - многочлены с действительными коэффициентами, aj € R, 0 ^ ai < a2 ... ... < ai. Критерий корректности задачи (14) для функций (15) состоит в справедливости неравенства
max deg Pj ^ deg Pi.
KKi-1
Наиболее важен в приложениях самый простой случай l = 1. В этом случае задача (14) всегда корректна, но для функций ceaz или с0 + c1z мало содержательна (величина Rm (f) для этих функций равна — то даже при m = 1). Поэтому в случае l = 1 предполагается, что deg P1 ^ 1, если a1 > 0, и deg P1 ^ 2, если a1 = 0.
Из определения (14) следует, что Km+1(f) ^ Km(f). Должно ли это неравенство быть строгим? Пример функции f (z) = zez показывает, что это не так. Несложно установить справедливость равенств
(16) ^(zez) = -1, Km(zez) = -2 Vm ^ 2.
Уравнения, приводящие к результату (16), таковы: 1) zez = —e-1 (корень кратности 2 в точке z = —1, все остальные корни лежат в полуплоскости Rez < —1), 2) zez = —4e-2 — ze-2 (корень кратности 3 в точке z = —2, все остальные корни лежат на прямой Rez = —2).
Если же рассмотреть уравнение общего вида zez = m—1 Skzk, то окажется, что действительные части его корней ограничены сверху тогда и только тогда, когда Sk = 0 (Vk ^ 2). Поэтому величины Km(zez) при m ^ 2 совпадают между собой.
j
Основные результаты получены при следующем дополнительном предположении: множество действительных корней /(т)(г) непусто. Наибольший из этих корней обозначим £т(/). (Множество действительных корней т-й производной функции (15) всегда ограничено за исключением единственного случая: / — многочлен степени, меньшей т; в этом случае Кт(/) = -то.)
Теорема 1. Если множество действительных корней производной порядка т функции / вида (15) непусто, / не является многочленом степени ^ т, то выполняется неравенство
и/) < ЗД).
Более того, если ^т—0 5к гк не является полиномом Тейлора функции / в точке (т(/) порядка т-1 и уравнение (13) не имеет корней в полуплоскости И,е,г > (т(/), то / — многочлен и все корни уравнения (13) лежат на прямой Иег = Ст(/).
Из теоремы 1 сразу же следует
Теорема 2. Если / — функция вида (15), Ь € М, т € N /(т)(Ь) = 0, а разность
т—1 / (к) (Ь)
(17)
к=0 '
не имеет корней в полуплоскости И,е,г > Ь, то Кт(/) = Ь и для данного значения т полином Тейлора функции / в точке Ь порядка т - 1 является экстремальным полиномом в задаче нахождения величины Кт(/).
Теорема 2 дает математическое обоснование способа решения поставленной задачи, о котором сказано во введении. Он состоит в нахождении наибольшего действительного корня /(т) и выяснения, имеет ли функция (17) корни в полуплоскости И,е,г > Ь = £т(/). Если функция (17) не имеет корней в полуплоскости И,е,г > Ь, то задача решена и, когда / не многочлен, экстремальный полином — полином Тейлора / в точке Ь — единственный.
Пример. Рассмотрим функцию /(г) = г4 + 2г2 + 1. Несложные вычисления показывают, что Кт(/) = 0, 1 ^ т ^ 3, К4(/) = -то, уравнение /''(г) = 0 не имеет действительных корней, а (1(/) = Сз(/) = 0. Заметим, что в случае т = 3 (функция / - многочлен) имеется два экстремальных полинома: один равен нулю тождественно, а второй равен 2г2 + 1.
Исследуем, имеет ли корни в полуплоскости И,е > Ь функция (17) в важных для приложений случаях:
(18) /(г) = гР(г), /(г) = гР(г)вг, т € {1,2},
где Р — многочлен, все корни которого лежат на луче (-то, 0) С М.
Всюду далее исключаем из рассмотрения простейший случай, когда / является многочленом второй степени: /(г) = ,г(1+,г/£1). В этом случае ^1(/) = = -¿1/2, ЭТт(/) = -то при т ^ 2.
Теорема 3. Если / — функция вида (18), ^ г \
= П ( 1 + Г ) ' А^еМ,
к=1 ^
то справедливы следующие утверждения.
1. Множество корней /'(ж) и /''(ж) на М непусто, и все они отрицательны.
2. Верны равенства ВД) = Ш), ВД) = <2(/).
3. Число = (1(/)
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.