ИЗВЕСТИЯ РАН. ТЕОРИЯ И СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ, 2014, № 2, с. 95-110
СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИМИ ПРОЦЕССАМИ
УДК 681.5:517.9
МНОГОМЕРНЫЕ СТРУКТУРНО-ПАРАМЕТРИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ И СХЕМА МНОГОСЛОЙНОГО ЭЛЕКТРОМАГНИТОУПРУГОГО АКТЮАТОРА НАНО- И МИКРОПЕРЕМЕЩЕНИЙ © 2014 г. С. М. Афонин
Москва, Московский государственный ин-т электронной техники (технический ун-т) Поступила в редакцию 28.12.12 г., после доработки 02.12.13 г.
Получена структурно-параметрическая модель многослойного электромагнитоупругого ак-тюатора нано- и микроперемещений на основе решения матричных уравнений, из которой определены его передаточные функции. Рассчитаны статические и динамические характеристики такого актюатора. Построены многомерные структурно-параметрическая модель и параметрическая структурная схема рассматриваемого актюатора. Определено влияние его геометрических и физических параметров, а также внешней нагрузки на статические и динамические характеристики актюатора.
Б01: 10.7868/80002338814020024
Введение. Использование электромагнитоупругих актюаторов нано- и микроперемещений (пьезоэлектрических, элекрострикционных, магнитострикционных актюаторов) перспективно в оборудовании нанотехнологии, нанобиологии, микроэлектроники и астрономии [1—15]. Пье-зоактюаторы имеют высокие значения пьезомодулей, поэтому наиболее широко применяются в научных исследованиях и промышленности.
Пьезоактюатор из п слоев обеспечивает в статике без нагрузки увеличение в п раз диапазона деформации по сравнению с простым пьезоактюатором — пьезопластиной. Увеличение диапазона перемещения пьезоактюатора под нагрузкой происходит при сохранении его нагрузочной способности, равной нагрузочной способности пьезопластины. Для учета в теоретических и прикладных исследованиях одновременной деформации многослойного пьезоактюатора по координатным осям требуется строить его многомерные структурно-параметрические модели.
В классической работе Мэзона [3] произведено построение одномерных эквивалентных электромеханических схем пьезопреобразователей (пьезоизлучателей, пьезопередатчиков) для продольного и поперечного пьезоэффекта с учетом деформации только по одной оси. Эти одномерные эквивалентные схемы позволяют рассчитывать одномерный пьезопреобразователь с использованием одного вида обратного продольного или поперечного пьезоэффекта без учета деформаций пьезопреобразователя по другим осям. Одномерные эквивалентные электромеханические схемы пьезопреобразователей исследованы в [8, 10].
В [4—7] также выполняется вывод одномерных параметрических структурных схем пьезоак-тюаторов (пьезопреобразователей), осуществляющих перемещение или деформацию рабочего объекта, например при продольном и поперечном пьезоэффекте. С развитием нанотехнологий появляется необходимость расчета одновременной многомерной деформации многослойного электромагнитоупругого актюатора (пьезопрактюатора) по нескольким координатным осям для повышения точности работы оборудования нанотехнологий.
1. Постановка задачи. Актуальным является создание многомерных структурно-параметрических моделей и многомерных параметрических структурных схем, позволяющих рассчитать одновременное суммарное перемещение электромагнитоупругого актюатора по нескольким координатным осям с учетом деформаций по взаимно перпендикулярным осям и сдвиговых деформаций. Многомерные структурно-параметрические модели многослойных пьезоактюаторов отражают в динамике и статике физические процессы и особенности преобразования электрической и механической энергии при управляемой электрическим напряжением многомерной механической деформации многослойных пьезоактюаторов.
В связи с тем, что деформация пьезоактюатора наноперемещений многокомпонентна, следовательно, с учетом одновременной деформации пьезоактюатора по различным координатным
осям получаем в настоящей статье для расчета динамики многомерной деформации на основе решения матричных уравнений для многослойного пьезоактюатора многомерную структурно-параметрическую модель и многомерную параметрическую структурную схему пьезоактюатора наноперемещений. В статье рассмотрено построение многомерных структурно-параметрической модели и параметрической структурной схемы многослойного электромагнитоупругого ак-тюатора нано- и микроперемещений.
Структурно-параметрическая модель многослойного электромагнитоупругого актюатора строится в результате совместного решения системы уравнений эквивалентного механического четырехполюсника многослойного актюатора, соответствующего уравнения электромагните -упругости и граничных условий на нагруженных рабочих поверхностях актюатора. Передаточные функции многослойного электромагнитоупругого актюатора получаются из системы уравнений, описывающих структурно-параметрическую модель многослойного актюатора нано- и микроперемещений.
Деформация исполнительного пьезоэлемента пьезопреобразователя соответствует его напряженному состоянию. Если в пьезоэлементе создать механическое напряжение Т, то в нем возникнет деформация S. Существует шесть компонент напряжений: Тъ ...,Т6, из них Т—Т3 относятся к напряжениям растяжения—сжатия, Т4— Т6 — к напряжениям сдвига.
Матричные уравнения состояния [3], связывающие электрические и упругие переменные для поляризованной пьезокерамики, имеют вид
D = dT + г 'E, S = sET + d TE.
(1.1)
Здесь первое уравнение описывает прямой пьезоэффект, а второе — обратный, D — матрица-столбец электрической индукции по координатным осям; S — матрица-столбец относительных деформаций; T — матрица-столбец механических напряжений; E — матрица-столбец напряженности электрического поля по координатным осям; d — матрица пьезоэлектрических модулей; dT — транспонированная матрица пьезоэлектрических модулей; вт — матрица диэлектрических про-ницаемостей при T = const; sE — матрица упругой податливости при Е = const.
Поляризованная керамика представляет собой пьезоэлектрическую текстуру, в матрице упру-
E E E
гой податливости для поляризованной пьезокерамики пять независимых компонент sn, sl2, %,
E E. s33,s55-
sE =
E sii E Sl2 E Sl3 0 0 0
E Sl2 E Sll E Sl3 0 0 0
E Sl3 E Sl3 E s33 0 0 0
0 0 0 E S55 0 0
0 0 0 0 E S55 0
0 0 0 0 0 2(sn -
Транспонированная матрица пьезоэлектрических модулей dT в данном случае записывается в виде
0 0 d3l
0 0 d3l
0 0 d33
0 dl5 0
d15 0 0 0 0 0 j
Матрица диэлектрических проницаемостей eT при T = const имеет вид 0 0
т
г =
т eii
0 sl2 0
0 0 8
33
т
d
Направление оси поляризации Р, т.е. направление, по которому проведена поляризация, обычно принимают за направление оси 3.
Уравнение электромагнитоупругости актюатора [3] имеет вид
St = sE's'*Tj + dH%En + dEmfHm + af'HA0, (1.2)
где Si — относительная деформация по оси i; E — напряженность электрического поля; H — напряженность магнитного поля; © — температура; sE'H'& — упругая податливость при E = const,
H = const, © = const; Tj — механическое напряжение по осиj; dj,— пьезомодуль, т.е. частная производная относительной деформации по напряженности электрического поля при постоянных напряженности магнитного поля и температуре, т.е. при H = const и © = const; Em — напряженность электрического поля по оси m; dE0 — коэффициент магнитострикции; Hm — напряженность магнитного поля по оси m; aE'H — коэффициент теплового расширения; А© — отклонение температуры © от значения © = const; i = 1 ,6; j = 1 ,6; m = 1,3.
При раздельном воздействии на многослойный электромагнитоупругий актюатор электрического и магнитного полей получаем соответствующие уравнения электромагнитоупругости [3]:
в виде уравнения обратного пьезоэффекта:
S3 = d33E3 + S33T3 — при продольной деформации, когда электрическое поле по оси 3 вызывает деформацию по оси 3,
S1 = d31E3 + sET — при поперечной деформации, когда электрическое поле по оси 3 вызывает деформацию по оси 1,
S5 = d15E1 + s5e5T5 — при сдвиговой деформации, когда электрическое поле по оси 1 вызывает деформацию в плоскости, перпендикулярной этой оси,
в виде уравнения магнитострикции:
S3 = d33, + s33 T3 — при продольной деформации, когда магнитное поле по оси 3 вызывает деформацию по оси 3,
S1 = d31H3 + s^T — при поперечной деформации, когда магнитное поле по оси 3 вызывает деформацию по оси 1,
S5 = d15H1 + s55T5 — при сдвиговой деформации, когда магнитное поле по оси 1 вызывает деформацию в плоскости, перпендикулярной этой оси.
Для наглядности рассмотрим задачи пьезоупругости. В результате совместного решения матричного уравнения четырехполюсника многослойного пьезоактюатора, соответствующего уравнения пьезоэффекта и учета граничных условий на двух нагруженных рабочих поверхностях пьезоактюатора получаем соответствующую структурно-параметрическую модель многослойного пьезоактюатора. Матричное уравнение деформаций и передаточные функции многослойного пьезоактюатора также выводятся из системы уравнений, описывающих его структурно-параметрическую модель.
2. Параметрическая структурная схема многослойного пьезоактюатора при продольном пьезоэф-фекте. Рассмотрим многослойный пьезоактюатор на рис. 1, а, который состоит из тонких пьезо-пластин, соединенных электрически параллельно, а механически — последовательно. Многослойный пьезоактюатор при продольном пьезоэффекте имеет длину l, а каждая из составляющих его n пьезопластин имеет толщину 8 и площадь поперечного сечения S0. Электроды нанесены на грани пьезопластин, перпендикулярные оси 3.
Рассмотрим при продольном пьезоэффекте k-ю пьезопластину толщиной 8 с электродами, нанесенными на грани, перпендикулярные оси 3, площадь которых равна S0, в составном пьезо-преобразователе на рис. 1, а.
Для составления структурно-параметрической модели пьезопластины с управлением по напряжению решим совместно волновое уравнение, уравнение обратного продольного пьезоэф-фекта и уравнения сил на гранях пьезопластины. При расчете пьезоактюаторов используется волновое уравнение [4, 6, 10], описывающее распространение волны в длинной линии с затуханием без искажений:
-|-2 + d&O + a = dfe), (2.1)
(cE)2 dt cE д, dx2
я M£Jt) Ш F(t)
x = l
x = 8 x = 0
\ t I
W I E(t)
Л t E3(t)
\ \ \
МШ Ш F(t)
R
-o-1 I—о
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.