М ЕХАНИКА ЖИДКОСТИ И ГАЗА № 6 • 2014
УДК 532.529:532.51.013.4
МОДАЛЬНАЯ И НЕМОДАЛЬНАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ ТЕЧЕНИЯ ЗАПЫЛЕННОГО ГАЗА В ПОГРАНИЧНОМ СЛОЕ
© 2014 г. С. А. БОРОНИН*, А. Н. ОСИПЦОВ**
*Московский научно-исследовательский центр Шлюмберже, Москва **МГУим. М.В. Ломоносова, Научно-исследовательский институт механики, Москва e-mail: osiptsov@imec.msu.ru, sboronin3@slb.com
Поступила в редакцию 30.01.2014 г.
В рамках модели взаимопроникающих континуумов рассматривается линейная гидродинамическая устойчивость течения запыленного газа в пограничном слое на плоской пластине. Межфазное взаимодействие описывается силами Стокса и Сэфмана. Объемная доля частиц пренебрежимо мала, но их обратное влияние на несущую фазу учитывается в силу конечности массовой концентрации дисперсной фазы. В основном течении скорости фаз совпадают, частицы распределены неравномерно — в виде локализованного пылевого слоя. Линеаризованные уравнения движения двухфазной среды относительно малых трехмерных возмущений сведены к пяти дифференциальным уравнениям относительно амплитуд возмущений нормальных компонент скорости и завихренности несущей фазы и трех компонент скорости среды частиц. В рамках классического (модального) подхода проведен анализ двумерных возмущений и найдена зависимость критического числа Рейнольдса от безразмерных параметров. Получено, что течение наиболее устойчиво, когда максимум концентрации частиц находится в окрестности так называемого критического слоя. Проведен анализ немодальной (алгебраической) неустойчивости, наибольшая кинетическая энергия оптимальных возмущений достигается в случае, когда узкий пылевой слой находится в окрестности толщины вытеснения.
Ключевые слова: алгебраическая неустойчивость, оптимальные возмущения, запыленный газ, пограничный слой, немодальный анализ.
Задача устойчивости течений дисперсных потоков важна для целого ряда инженерных и природных приложений. Высокая сложность экспериментов по влиянию взвешенных частиц на ламинарно-турбулентный переход течений жидкостей и газов придает особую значимость теоретическим исследованиям устойчивости двухфазных потоков.
Постановка задачи устойчивости плоскопараллельного течения запыленного газа была впервые сформулирована Ф. Сэфманом в 1962 г. в рамках модели взаимопроникающих континуумов c пренебрежимо малой объемной долей частиц [1]. В предположении отсутствия рассогласования скоростей фаз и однородного распределения концентрации частиц в основном течении, а также стоксовского закона сопротивления частиц было получено модифицированное уравнение Орра—Зоммерфельда, описывающее развитие малых возмущений плоскопараллельных потоков дисперсных сред. Асимптотическим методом были исследованы предельные случаи инкрементов нарастания нормальных мод для высоко- и малоинерционных включений.
Позднее в рамках указанной упрощенной постановки на основе численных расчетов была исследована устойчивость течения запыленного газа в плоском канале при однородном и неоднородном распределении частиц [2, 3], в пограничном слое [4] и ряде других плоскопараллельных потоков [5—7]. Получена существенная стабилиза-
ция течения по сравнению с аналогичным течением чистой жидкости(газа) в случае, когда частицы имеют длину скоростной релаксации порядка вертикального линейного размера, определяемого профилем скорости основного течения. В предыдущих публикациях авторов настоящей статьи исследовано влияние на устойчивость дисперсных потоков ряда дополнительных факторов, не учтенных в оригинальной постановке Сэфмана: наличия подъемной силы в совокупности с неоднородным распределением концентрации частиц (на примере течения запыленного газа в пограничном слое [8] с разрежением и накоплением частиц в направлении пластины), рассогласования скоростей фаз в основном течении [9], конечной объемной доли включений (на примере течений Пуазейля и Куэтта в плоском канале [10—12]). Влияние непараллельности основного потока на устойчивость течения запыленного газа в пограничном слое исследовано в [13]. Обзор по существующим исследованиям модальной устойчивости дисперсных потоков приведен в [10, 13].
Большинство исследований устойчивости плоскопараллельных потоков дисперсных сред проведены в рамках классического анализа линейной гидродинамической устойчивости, основанного на изучении поведения наиболее неустойчивой (первой) двумерной гармоники. Такой подход применим лишь в случае, когда дифференциальный оператор, задающий систему нормальных мод, эрмитов. Поведение во времени произвольного решения, разложенного в ряд по собственным функциям — нормальным модам — будет с высокой точностью описываться лишь первой наиболее неустойчивой модой. Если дифференциальный оператор неэрмитов, что характерно для описания линейной неустойчивости течений сплошных сред, для описания нарастания произвольных малых возмущений недостаточно провести анализ лишь первой моды [14].
На ограниченном интервале времени поведение во времени линейной комбинации неортогональных мод существенно отличается от поведения первой моды. Таким образом, даже в докритической области течения, где все нормальные моды затухают на больших временах, кинетическая энергия определенных возмущений на некотором интервале времени может нарастать на несколько порядков по сравнению с начальным значением. Это приводит к инициации нелинейных (конечно-амплитудных) механизмов развития возмущений и, в конечном итоге, потере устойчивости основного течения. Возникает вопрос о поиске таких начальных возмущений сдвиговых потоков сплошных сред, энергия которых нарастает максимально на заданном ограниченном интервале времени (поиск "оптимальных возмущений"). Эта идея составляет основу теории немодальной (алгебраической) неустойчивости потоков сплошных сред в противовес классической (экспоненциальной) теории неустойчивости течений, изучающей волны Толлмина—Шлихтинга.
Одной из причин расширения классической теории линейной устойчивости и построения теории алгебраической неустойчивости послужила неприменимость результатов классической теории для описания потери устойчивости ряда сдвиговых потоков, например, течения Пуазейля в круглой трубе или течения Куэтта между пластинами. Кроме того, потеря устойчивости практически всех плоскопараллельных течений жидкостей и газов сопровождается возникновением вытянутых вдоль потока полосчатых структур, появление которых не может быть предсказано в рамках классической теории [15].
Механизм возникновения алгебраической (немодальной) неустойчивости может быть продемонстрирован на примере произвольного сдвигового течения, на которое наложено малое трехмерное возмущение, не зависящее от координаты вдоль потока [16, 17]. Указанное возмущение при отсутствии вязкости будет нарастать линейно во времени вне зависимости от параметров потока. Позднее было продемонстрировано, что наличие вязкости лишь ограничивает во времени это нарастание, но не полностью его подавляет. Этот механизм неустойчивости назван подъемным. Проведен анализ
алгебраической неустойчивости и оптимальных возмущений типичных сдвиговых потоков чистой жидкости [18—21].
В [22—25] независимо была изучена алгебраическая неустойчивость течения запыленного газа в плоском канале при однородном и неоднородном распределении частиц. В [23] получено, что при однородном распределении концентрации частиц в основном течении полная кинетическая энергия оптимальных возмущений запыленного газа, состоящая из кинетической энергии несущей и дисперсной фаз, нарастает неограниченно при увеличении инерционности частиц. Параметры оптимальных возмущений, построенных на основе максимизации кинетической энергии лишь несущей фазы, слабо зависят от параметра инерционности и соответствуют случаю малоинерционных частиц. В [24] показано, что энергия оптимальных возмущений течения запыленного газа в канале с неоднородным распределением концентрации частиц в виде симметричных относительно оси канала пылевых слоев максимальна в случае, когда слои находятся посередине между центром канала и стенками; при распределении частиц у стенок или на оси канала оптимальные возмущения запыленного газа близки к таковым для течения без примеси. Исследование влияния нестационарных составляющих межфазной силы на модальную и немодальную устойчивость течения дисперсной среды в плоском канале при однородном распределении включений проведено в [25]. Учет силы присоединенных масс, нестационарной части силы Архимеда и силы Бассе—Буссинеска оказывает значительное влияние на параметры первой моды, однако энергия оптимальных возмущений изменяется незначительно по сравнению со случаем чисто стоксовского режима обтекания в диапазоне исследованных значений безразмерных параметров.
При течении смеси в пограничном слое ввиду большого поперечного градиента скорости для корректного описания межфазного взаимодействия требуется учесть возникновение подъемной силы Сэфмана, обусловленной сдвигом скорости основного потока на масштабе частицы [26]. В зависимости от соотношения силы Стокса и подъемной силы на начальном участке течения в пограничном слое в равномерной по скоростям области пограничного слоя могут формироваться различные профили скорости как с накоплением, так и с разрежением дисперсной фазы у стенки [27, 28]. В [8] при исследовании модальной устойчивости течения запыленного газа в пограничном слое были рассмотрены модельные профили скорости с монотонным увеличением, либо уменьшением концентрации по направлению к стенке.
Цель настоящего исследования состоит в изучении устойчивости течения запыленного газа в пограничном слое в рамках как модального, так и немодального подходов при учете подъемной силы, а также существенно неоднородного распределения частиц, имеющего вид локализованного пылевого слоя.
1. Модель запыленного газа. Рассматривается изотермическое стационарное течение запыленного газа на пластине вдали от передней кромки, где произошла скоростная релаксация фаз. Течение дисперсной среды описывается в рамках модели взаимопроникающих континуумов [1, 29]. Несущая фаза является несжимаемой ньютоновской жидкостью
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.