МЕХАНИКА ЖИДКОСТИ И ГАЗА № 2 • 2011
УДК 532.546
© 2011 г. М. Н. ДМИТРИЕВ
МОДЕЛЬ ДВУХФАЗНОЙ ФИЛЬТРАЦИИ РАПОПОРТА-ЛИСА В АНИЗОТРОПНЫХ СРЕДАХ
Дано обобщение на случай анизотропных пористых сред математической модели двухфазной фильтрации Рапопорта—Лиса. Формула для определения капиллярного давления, задающая связь между давлениями в фазах, представляется скалярной функцией от векторного аргумента. Для задания скалярной функции вводятся тензор капиллярных давлений и тензор обратный к тензору характерных линейных размеров. Величина капиллярного давления определяется сверткой тензоров второго ранга с ортом, коллинеарным векторам градиентов давления в фазах, которые, в свою очередь, полагаются также коллинеарными. Показано, что введенная для изотропных пористых сред функция насыщенности (функция Леверетта) для анизотропных сред может быть обобщена и задаваться тензором четвертого ранга. Дано обобщенное представление функции Леверетта и функций относительных фазовых проницаемостей для ортотропных и трансверсально-изотропных сред, учитывающее гистерезис фазовых прони-цаемостей и капиллярного давления.
Ключевые слова: двухфазная фильтрация, анизотропия, тензоры капиллярных давлений и обратного к тензору характерных линейных размеров, обобщенная функция Леверетта, фазовые и абсолютные проницаемости.
Проблема обобщения классических моделей теории двухфазной фильтрации не-смешивающихся жидкостей, использующих тензоры коэффициентов фазовых прони-цаемостей, на случай анизотропных фильтрационных свойств относится к числу актуальных, поскольку реальные среды, коллекторы углеводородного сырья — как правило, проявляют анизотропию [1, 2]. В [3—6] была установлена структура связей для тензоров коэффициентов абсолютных, фазовых и относительных фазовых проницае-мостей для сред, проявляющих анизотропные фильтрационные свойства. Выписаны и проанализированы тензоры фазовых и относительных фазовых проницаемостей, установлен общий вид функций относительных фазовых проницаемостей. Однако проведенный анализ решил задачу обобщения теории двухфазной фильтрации в анизотропных средах только для модели Бакли—Леверетта, в которой полагается, что давление в обеих фазах одинаково. В модели Рапопорта—Лиса давление в фазах полагается различным. Поэтому для обобщения на случай анизотропных сред модели Рапопорта—Лиса необходимо учесть анизотропию при определении капиллярного давления, величина которого, по определению, равна разности давлений в фазах.
1. Модель двухфазной фильтрации Рапопорта-Лиса. Математическая модель двухфазной фильтрации Рапопорта—Лиса в изотропной пористой среде задается системой уравнений вида [7]
1 а
а к х7
Щ =--а VjPа
ц (1.1)
^ а а
дтр ..
дг
■ + V j раща = 0; а = 1,2
где wi — компоненты вектора скорости фильтрации, ka — фазовая проницаемость, pa — давление, m — пористость, ра и — плотность и вязкость флюида соответственно, sa — насыщенность, индекс а = 1 обычно присваивается смачивающей фазе (вода),
1 2
а = 2 — не смачивающей фазе (нефть). При этом p p . Уравнения (1.1) задают законы Дарси и уравнения неразрывности для каждой из фаз соответственно.
Система уравнений (1.1) не замкнута. Для ее замыкания задается связь между давлениями в фазах. Связь между давлениями в фазах задается в виде разности давлений в двух фазах p2 — pi, которая по определению равна капиллярному давлению pk и считается известной экспериментальной функцией насыщенности s и определяется равенством
p2 - pi = pk(s) = а„ cos Qyfm/kJ(s) (1.2)
где an — коэффициент межфазного натяжения, 0 — статический краевой угол смачивания между жидкостями и породой (интегральная характеристика смачиваемости в системе жидкость — пористая среда), k — коэффициент абсолютной проницаемости, J(s) — безразмерная функция Леверетта. В подземной гидромеханике для изотропных
пористых сред комплекс *Jm/k определяет величину, обратную характерному линейному размеру пор [2].
2. Обобщение модели двухфазной фильтрации Рапопорта—Лиса на фильтрационные течения в анизотропных средах. Обобщение закона Дарси на случай фильтрационных течений в анизотропных средах приводит к замене коэффициента фазовой проницаемости ka на тензор коэффициентов фазовых проницаемостей кЦ
к а
=- ка У ¡ра (2.1)
Ц
Уравнения неразрывности остаются неизменными.
При обобщении формулы (1.2) положим вначале, что проницаемость обладает ор-
тотропной симметрией фильтрационных свойств (к1 ^ к2 ^ к3). Тогда вдоль главных осей тензора коэффициентов абсолютной проницаемости к ^ формула (1.2) примет вид
Р2 - Р1 = Рк(л) = а„ ооь 9/т/к¡1 (л) (2.2)
Следовательно, капиллярное давление изменяется в зависимости от направления, и скалярная функция р() в анизотропных средах должна быть функцией не только насыщенности, но и векторного аргумента рк (л, щ), где п{ — компоненты орта, задающего направление, вдоль которого определяется капиллярное давление. Подобная ситуация при описании фильтрационных течений в анизотропных средах неоднократно встречалась и ранее [8]. Самый простой пример — определение направленной проницаемости. Направленная проницаемость, т.е. проницаемость вдоль заданного направления п, по определению есть скаляр, который определяется по формуле к(щ) = кцЩПц [9] и представляет собой скалярную функцию от векторного аргумента п.
Рассуждая аналогично, для получения соотношений (2.2) в анизотропных средах необходимо положить, что рк (л, щ) представляет собой тензор капиллярных давлений
к к 11 к 2 2 к 33
Рц = Р1 в1вц + Р2 е вц + Рз е вц (2.3)
который линейно зависит от тензора, обратного к тензору характерных линейных размеров вдоль соответствующих координатных осей
где рк и -Jт/к — главные значения тензоров, ea — компоненты ортов, направленных
__и а а 1 А л
вдоль главных направлении, et ej — диады, а = 1,2,3.
После введения тензоров (2.3) и (2.4) обобщение равенства (2.2) принимает вид
pk(s) = а„ cos 0 J (s) Rij (2.5)
и капиллярное давление вдоль произвольного направления, задаваемого ортом щ, определится по формуле
рк = njUjPy (s) = an cos 9 J (s) щ^Щ (2.6)
Соотношение (2.6) позволяет вычислить капиллярное давление вдоль произвольного направления. В частности, при щ = e(а из формулы (2.6) получается равенство (2.4).
В изотропной пористой среде направления векторов скорости фильтрации и градиента давления коллинеарны, поэтому направление ni в формуле (2.6) можно связать с
любым из них. В анизотропных средах векторы w1 и Vjpa коллинеарны только вдоль главных направлений тензора коэффициентов проницаемости, и значит направление ni можно связать или направлением вектора скорости фильтрации, или градиентом давления. Считая, что фазы разделяют границы типа менисков [7], которые перемещаются в процессе фильтрационного течения, можно положить, что направление ni можно связать с направлением лишь одного вектора скорости фильтрации
ИГ = wa/ wа, где W — модуль вектора скорости фильтрации а-й фазы. В этом случае
необходимо будет положить, что векторы wа коллинеарны, иначе капиллярное давление будет определяться неоднозначно.
При двухфазной фильтрации значения компонент тензора фазовых проницаемо-стей зависят от насыщенности, более того, для моноклинных и триклинных фильтрационных свойств положение главных осей зависит от насыщенности [6], и значит векторы wf могут быть не коллинеарны. Поэтому подобный постулат представляется не совсем физичным. Более физичным с позиций механики многофазных сред представляется вариант, в котором направление ni связано с направлением вектора скорости
суммарного потока wt = w1 + w,2, т.е. щ = (w1 + w,2, где |w| — модуль вектора скорости суммарного потока.
Система уравнений с соотношением, обобщающим правило определения капиллярного давления
к а
a kij -л
wi =--a V jPa
Ц
+ Vjpawj = 0, а = 1,2 (2.7)
dt
к
р = ninjPij(s) = an cos9 J(s) ninjRij щ = (щ + щ ^|w|
представляет один из вариантов модели двухфазной фильтрации Рапопорта—Лиса для фильтрационных течений в анизотропных средах.
Возможен и другой вариант определения направления n, в котором капиллярное давление определяется сверткой по направлению и вектора скорости в первой фазе и по направлению вектора скорости во второй фазе:
pk = nnjp-(s) = an cos9 J(s) п]п2Щ, na = wf /w (2.8)
где wa — модуль вектора скорости фильтрации а-й фазы.
Все четыре возможных типа симметричных материальных тензоров, задающих анизотропные физические свойства тензорами второго ранга, представляются в виде [10]
ka = k1a5(y + k^By, ka = k^aflj + k2acl Cj + k^bfij
kj = k1a5ij + k2aal ay + k^c, Cj + k4 (ai Cj + ct ay)
kj = kiat ay + k^q Cj + k^b^ bj + ka (at Cj + ct ay) +
+ k5a (ai bj + bi Cj) + k6 ( bj + b{ Cj)
где k.^ — инвариантные коэффициенты тензоров коэффициентов фазовых проницае-
мостей, Bj, a,, b , C, — базисные тензоры, определяющие и задающие физические
свойства анизотропных сред [10]. Аналогичными формулами задаются и тензоры pk и Rip определяющие тензор капиллярных давлений и тензор, обратный к тензору характерных линейных размеров, определенные равенствами (2.3) и (2.4) соответственно.
Первые два тензора описывают среды, в которых направления всех трех главных осей могут быть определены с помощью прямых или косвенных измерений (например, упругих свойств керна) и соответствуют трансверсально-изотропным и орто-тропным фильтрационным свойствам. В двух последних случаях направление главных осей неизвестно. В третьем случае (моноклинной симметрии фильтрационных свойств) известно положение только одной главной оси (обычно перпендикулярно к плоскости напластования), в последнем случае (триклинной симметрии фильтрационных свойств) неизвестно положение всех главных осей. Ситуация с неизвестным направлением двух или трех главных осей характерна для трещиноватых пластов-коллекторов углеводородного сырья.
3. Обобщение представления функции Леверетта. Представление капиллярного давления с помощью соотношения (2.5) подразумевает, что функция Леверетта является универсальной функцией насыщенности. Аналогичное предположение долгое время относилось и к функциям относительных фазовых проницаемостей [11]. Однако, как пок
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.