определяющим фактором при расчете их численных моделей [16—18].
Целью данной работы является получение уравнения состояния вещества недр субзвездных объектов с учетом характерных для них межчастичных взаимодействий, а также разработка их физической и эволюционной численных моделей. По результатам проведенного численного моделирования выполнен качественный анализ полученных зависимостей для основных астрофизических параметров субзвездных объектов.
2. УРАВНЕНИЕ СОСТОЯНИЯ ВЕЩЕСТВА
Построение физической модели субзвездных объектов начнем с поиска уравнения состояния вещества их недр, которое учитывает характерные для него основные типы межчастичного взаимодействия.
Термодинамика любой системы частиц определяется заданием ее свободной энергии F, которая является функцией температуры, объема и числа частиц. Ее можно представить в виде суммы двух слагаемых, одно из которых описывает идеальный газ (Fid), а второе — учитывает разные типы взаимодействия частиц (Fint):
F = Fid + Fint.
Вещество недр субзвездных объектов представляет собой плазму, которая является смесью электронов произвольной степени вырождения и атомов и ионов произвольной степени ионизации. С ростом плотности такой плазмы увеличивается ее степень неидеальности, которая обусловлена взаимодействием заряженных и нейтральных частиц. Для вычисления свободной энергии Гельмгольца такой плазмы воспользуемся следующими предположениями:
— атомы и ионы являются невырожденными классическими частицами, электроны имеют произвольную степень вырождения;
— при расчете ионизационного равновесия водородно-гелиевой плазмы учитывается эффект ионизации давлением;
— при рассмотрении взаимодействий между заряженными частицами (p — p, p — e-, e- — e- Учитываются кулоновское притяжение, обменное взаимодействие и корреляционные эффекты;
— взаимодействиями между нейтральными и заряженными частицами (H — p и H — e-) пренебрегаем, так как они намного слабее взаимодействий между заряженными частицами;
— взаимодействия молекул H2 не учитываются, так как при температурах выше 104 K их концентрация ничтожна.
Основной вклад в отклонение от идеальности вносят электрон-ионные и электрон-электронные взаимодействия.
При расчете химического равновесия водород-но-гелиевой смеси в работе [19] нами было получено, что содержание таких ионов, как H+, HeH+ и H+ столь незначительно, что ими тоже можно пренебречь при расчетах ионизационного равновесия. Концентрации тяжелых элементов играют существенную роль при вычислении химического равновесного состава верхних слоев субзвездных объектов и коэффициента непрозрачности. Однако при расчете ионизационного равновесия вещества их недр мы ими также пренебрегаем в силу их незначительного содержания.
Рассмотрим сначала идеальную часть свободной энергии Гельмгольца вещества недр субзвездных объектов. Так как оно содержит атомы, ионы, электроны и излучение, то в общем виде выражение для Fid будет суммой всех составляющих, следовательно и давление Р можно записать как сумму:
Р = Ра + Ре + Рг, (1)
где индекс "а" относится к атомам (ионам), "е" — к электронам, "г" — к излучению.
Давление для каждой отдельной компоненты смеси атомов и ионов определяется как
Ра = Е Ри = * (2)
V V
Здесь пц = ^/V — концентрация ионов элемента г в ]-м состоянии ионизации:
n
Хг
Р-Cij,
mi
(3)
где р — плотность, Xi — массовая доля элемента г с атомной массой А.1 = mi/mH, mi — масса ядра атома г-го элемента, сц — степень ^-кратной ионизации г-го элемента.
Давление электронов определяется формулой [20]
Pe
(4)
где те — масса электрона, k — постоянная Больц-мана, Н — постоянная Планка, а параметр ф по
определению равен [20]
ф = ^
(ре — химический потенциал электронов). При ф ^ ^ 1 он называется параметром вырождения электронного газа.
Интеграл Ферми индекса а определяется как
Ш) =
xadx e- + 1'
Согласно [20], плотность электронов определяется как
Пе
(2текТ )3/2 2п2Н3
(5)
Р — 1.8917 х 1013р5/3К(ф) дин/с
см
Функция К(ф) зависит от параметра ф и химического состава вещества следующим образом: 1 \5/3
К (ф) =
-V
ЦЕ )
ЦЕ + 2 ^3/2 (Ф) ЦА 3 ¡1/2(ф). 1
Методами самосогласованного поля была получена поправка к термодинамическому потенциалу вырожденной плазмы, связанная с кулоновским взаимодействием электронов [22]:
Если пренебречь давлением излучения, которое в недрах субзвездных объектов на несколько порядков меньше давления атомов и электронов, то выражение для давления можно записать в следующем виде:
^ехсН —
4пе2У
ПХ
d3pd3q
(р - о)2 (2п)6
(8)
(6)
(7)
(11/2 (Ф))2/3 '
где ца — среднее число нуклонов в ядре, а це — число нуклонов на один электрон [21].
Из уравнения (6) видно, что в отличие от по-литропной зависимости множитель при р5/3 не является константой, а зависит от параметра ф.
3. ПОПРАВКИ К ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИМ ВЕЛИЧИНАМ ВЫРОЖДЕННОЙ ПЛАЗМЫ
Теперь рассмотрим ту часть свободной энергии, которая связана с взаимодействием заряженных частиц в плотной плазме недр субзвездных объектов, где физические условия таковы, что средняя потенциальная энергия двух частиц, находящихся
на расстоянии de,i — (3/4ппе^)-1/3 друг от друга, может в несколько раз превышать среднюю кинетическую энергию кТ, приходящуюся на одну частицу. Это характеризуется так называемым плазменным параметром Ге^ — ^е)2/(е^кТ. Условие Ге^ > 1 означает, что вещество недр субзвездных объектов является не идеальным газом, а квантовой электронно-ионной плазмой с конечной температурой.
В вырожденной слабонеидеальной плазме основой вклад в поправки к термодинамическим величинам идеального газа вносит обменная часть электростатического взаимодействия электронов [20]. Эффективно оно начинает проявляться в их отталкивании, когда de ^ Ае (Ае — тепловая длина волны де Бройля). Для сильно сжатого вещества, когда de значительно меньше размеров атома, обменное взаимодействие электронов (их отталкивание) определяет основной вклад в давление при температурах ниже температуры вырождения.
где пр,п0 — фермиевские функции распределения для электронов с импульсами р и q, а интегрирование проводится по всему импульсному пространству. Этот интеграл аналитически можно вычислить только в предельных случаях сильновырожденного и больцмановского электронного газа.
При вычислении поправок к термодинамическим величинам электронного газа в интересующей нас области температур и плотностей, где газ является частично вырожденным, необходимо проводить численные расчеты интеграла (8). Введем безразмерные переменные, равные х2 — р2/2текТ и У2 — q2/2текТ, и получим следующее выражение для обменной поправки к давлению электронов:
$Рех —
е2 т1
(кг )2
(9)
ху 1п( Х+у )2dxdy
(еех2-'Ф + 1)(еУ2--ф + 1)'
Таким образом, общее давление (1) вещества недр субзвездных объектов с учетом (9) имеет вид
Р — Ра + Ре + 5Рех + Рг.
(10)
Обменная поправка к энергии электронов определяется из уравнения РУ — 2/3Е. Поправку к плотности электронов определяем с помощью выражения
— 2е2т2 дПе — ^ кТ
ху 1п(—)2ехйхйу
Поправка к энтропии электронного газа определяется как
2е2 т2 6Бе — п3я? кТ х
ху(х2 - ф) Щ—)2ех(Шу
Таким образом, мы получили поправки ко всем термодинамическим величинам, которые используются в численной модели субзвездных объектов.
2
х
х
х
4. ФИЗИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ СУБЗВЕЗДНЫХ ОБЪЕКТОВ
Для того чтобы рассчитать астрофизические параметры субзвездного объекта в определенный момент его эволюции, необходимо построить стационарную модель, которая дает значения физических параметров в любой точке его объема. С учетом давления электронного газа в задаче о расчете равновесной конфигурации получается пять параметров, а именно: Р, М, р, Т и ф. Следовательно, для того чтобы задача имела единственное решение, нам необходимо записать систему пяти уравнений с определенными граничными условиями. Первые два уравнения, используемые в модели — это уравнение гидростатического равновесия и уравнение неразрывности, которые используются и при расчетах звездных моделей [23].
Предлагаемая физическая модель субзвездных объектов ограничена следующими приближениями:
— субзвездные объекты являются сферически-симметричными, что означает зависимость всех физических величин только от расстояния до центра г;
— осевое вращение, магнитные поля и ядерные реакции в недрах субзвездных объектов не учитываются;
— перенос энергии во всем объеме субзвездного объекта осуществляется путем конвекции, причем длина пути перемешивания равна радиусу субзвездного объекта, что означает однородность химического состава;
— степень ионизации атомов произвольная и, кроме тепловой ионизации, имеет место эффект ионизации давлением;
— электронный газ имеет произвольную степень вырождения (—ж <ф < ж) — от классического больцмановского (ф ^ —5) до квантового сильновырожденного (ф ^ 5);
— вещество недр субзвездных объектов представляет собой систему взаимодействующих заряженных частиц, т.е. неидеальную плазму с кулонов-ским взаимодействием;
— остывание является определяющим механизмом эволюции субзвездных объектов.
Массы субзвездных объектов настолько малы, что их структура является конвективно-нестабильной во всем объеме. Поэтому связь между давлением, плотностью, температурой и параметром ф у субзвездных объектов во всем объеме будет адиабатической [21]. Следовательно, мы можем воспользоваться условием адиабатичности, которое означает, что для всех возможных изменений (квазистатических или иных), которые может претерпевать адиабатически замкнутая система, энтропия системы никогда
не уменьшается. При нестационарных процессах энтропия единицы массы s = S/p замкнутой системы увеличивается, а при стационарных процессах остается постоянной, т.е. s = const. Считая значения энтропии и плотности вещества в центре субзвездного объекта известными, можно записать условие S(r)/р = Sc/pc, где Sc и pc — центральные энтропия и плотность, соответственно.
Таким образом, мы можем записать систему трех уравнений: уравнение состояния вещества, условие адиабатичности и условие электронейтральности (Q = 0, где Q — общий заряд системы частиц):
P (р, T, ф) = Pa (р, Т) + P
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.