ПРОБЛЕМЫ МАШИНОСТРОЕНИЯ И НАДЕЖНОСТИ МАШИН
№ 3, 2015
УДК 624.192
© 2015 г. Труханов В^.
МОДЕЛЬ ФОРМИРОВАНИЯ ПОСТЕПЕННЫХ ОТКАЗОВ
Волгоградский государственный технический университет, г. Волгоград
Рассматривается вопрос расчета проектной надежности на этапе создания технических систем по отказам, вызванным старением и износом, т.е. постепенных отказов. Новизна работы состоит в том, что при расчете проектной надежности постепенных отказов предложена математическая модель, основанная на законе распределения Вейбулла, который при параметре формы кривой распределения а > 1 достаточно хорошо описывает надежность изделия на этапе старения материалов, элементной базы и износа механизмов. Закон апробирован результатами многолетней эксплуатации сложных технических систем. Приведена математическая модель расчета проектной надежности изделия на этапе старения материалов, элементной базы и износа механизмов для нормального закона распределения.
Данную математическую модель предлагается использовать при расчете проектной надежности технических систем (изделий) на этапе их создания с учетом требуемого ресурса. Рассмотрим наиболее распространенный случай, когда изменение выходного параметра X изделия подчиняется линейному закону [1]
где V — скорость изнашивания, или изменения выходного параметра, которая зависит от большого числа случайных факторов (нагрузки, температуры, коррозии и т.п.). Известно, что скорость изнашивания подчиняется закону распределения Вейбулла или нормальному закону [2], что апробировано результатами многолетней эксплуатации сложных технических систем.
Для случая распределения Вейбулла плотность вероятности скорости изнашивания определяется соотношением
где а — параметр формы кривой распределения (для случая изнашивания принимает значение а > 1); X — параметр масштаба.
Предельно допустимое значение параметра Хтах установлено из условия правильности функционирования изделия. При X = Xmax наступает предельное состояние, которое и определяет срок службы (наработку) изделия до отказа t = T. Срок службы Т является функцией случайного аргумента V, т.е.
X = VI,
(1)
ф(V) = аХ?а *ехр(-Хга),
(2)
Т = ф( V) = Хтах^.
(3)
Средний срок службы изделия равен
Тср = Хтах/ ^р.
(4)
Для закона распределения Вейбулла математическое ожидание срока службы равно Т = 1-1/а[Г( 1 + а-1)], (5)
где Г(^) — гамма-функция.
Для непрерывных случайных величин
да
п
Г(п) = |хп 1ехр(-х)йх при п > 0.
Для целочисленных значений случайных величин Г(п) = (п — 1)!
Задача заключается в отыскании плотности распределения f(t) по заданной функции (2) ф(^). Для функций случайного аргумента в теории вероятностей применяется формула [3]
Г(х = Т) = ЯМ ? )]|у'(01}, (6)
где — обратная функция ф(^), т.е. f(х = Т) = Xmax7"1; у'^ = Т) = —Xmax^2 — производная этой функции.
Подставляя эти значения в формулу (6), получим
/(х = Т) = ХтахТ |-ХтахТ | = ХтахТ • (7)
Далее, подставив значение Т из формулы (5) в формулу (7), имеем
Г(х = Т) = ^ [^-1/аГ( 1 + а-1 )]-3.
Для определения вероятности отказа F(T) необходимо проинтегрировать плотность вероятности (7)
Т Т
Д Т) = /( х = Т) <Н = Г^ах [^-1/аГ( 1 + а-1 )]-3 й =
1 1 (8)
0 0 у '
= хтахЩ-1/аГ( 1 + а-1 )]-3.
Подставляя в формулу (8) значение Т из (5), получим
F( Т) = ТТ- = Х2тахТ2 = хтах [^-1/аГ( 1 + а-1)]-2.
Тогда вероятность безотказной работы равна
Р( Т) = 1 - F( Т) = 1 - хтах[1-1/аГ( 1 + а-1 )]-2.
Для случая нормального закона распределения плотность вероятности скорости изнашивания определяется соотношением
/(V) = (а^Т2Л)-1ехр [-(^ - V22а;2]. (9)
Как и для закона распределения Вейбулла, срок службы и средний срок службы определяется, соответственно, по формулам (3) и (4).
При отыскании плотности распределения f(V) по заданной функции (9) воспользуемся формулой (7) и, делая преобразования, получим
/(0 = Тср(^72П)-1 г2ехр[-(Тср- Т)2(252Т2)-1], (10)
0
где 8 = — коэффициент вариации; V — средняя скорость изнашивания или
процесса повреждения выходного параметра X; — среднее квадратическое отклонение скорости процесса повреждения.
Для удобства расчетов введем безразмерное время
т = Т/ Гср. (11)
Тогда формула (10) примет вид
Дт) = (8т2л/2Л)Лхр|_-(1 - т)2 (2 82т2 )-1], (12)
где/(т) = ТсР/(Т) и Т = тТср.
Эта формула удобна тем, что плотность вероятности является функцией всего одного безразмерного параметра — коэффициента вариации 8.
Для определения вероятности отказа F(T) необходимо проинтегрировать функцию плотности вероятности (12)
Т т
F( Т) = ]/(()й = ]/(т) йт = ¥(т), (13)
0 0
т.е. можно интегрировать функцию /(т).
Если ввести переменную z = (1 — т)(8т)-1, то данный интеграл (13) сводится к функции Лапласа и, учитывая, что вероятность безотказной работы Р(Т) = 1 — Д?), полу-
P( T) = Р(т) = 0,5 + Ф[( 1 - х)(8х) 1 ], (14)
где Ф — нормированная функция Лапласа, которая лежит в интервале 0 < Ф < 0,5; при т =0 P(T) = 1,0, при т = » P(T) = 0.
Формулу (14) можно написать в другом виде, выразив P(T) через параметры Xmax, v и ctv, которые являются исходными данными при решении поставленной задачи [1]. Учитывая (4) и (11), получим
P (T) = 0,5 + Ф [ (Xmax - VcpT) (Tav )-1 ].
Выводы. Результаты проведенных исследований позволили получить математические модели для расчета проектной надежности технических систем на этапе старения материалов, элементной базы и износа механизмов при скорости изменения выходного параметра, подчиняющегося законам распределения Вейбулла и нормальному закону.
Работа подготовлена при финансовой поддержке РФФИ (грант № 13-08-00078).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Проников А.С. Надежность машин. М.: Машиностроение, 1978. 520 с.
2. Труханов В.М., Матвеенко A.M. Надежность сложных систем на всех этапах жизненного цикла. М.: ООО ИД "Спектр", 2012. 664 с.
3. Вентцель Е.С. Теория вероятностей. М.: Наука, 1969. 576 с.
Волгоград Поступила в редакцию 12.V.2014
чим
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.