Автоматика и телемеханика, Л- 9, 2006
Управление в социально-экономических
системах
PACS 89.75.-k, 89.65.-s
© 2006 г. A.A. ИВАЩЕНКО, канд. техн. наук, Д.А. НОВИКОВ, д-р. техн. наук (Институт проблем управления им. В. А. Трапезникова РАН, Москва)
МОДЕЛЬ ИЕРАРХИИ ПОТРЕБНОСТЕЙ
Предложена формальная модель иерархии потребностей, в которой степень удовлетворения каждой потребности индивидуума зависит от ресурса и от степеней удовлетворения потребностей более низких уровней. Для статической модели решены прямые и обратные задачи распределения ресурса, найдено множество критических ресурсов. Для динамической модели получены условия достижимости заданного уровня удовлетворения потребностей: задача распределения ресурсов между потребностями индивидуума сведена к задаче оптимального управления. Сформулирована задача распределения ресурсов организации па мотивацию сотрудников.
1. Введение
В принятой на сегодняшний день в психологии и менеджменте [1] концепции мотивации личности считается, что существует иерархия потребностей. В [2] предложена модификация пирамиды А. Маслоу [3], включающая семь упорядоченных потребностей: физиологические потребности, физиолого-психологичсскпе потребности, психолого-социальные потребности, социальные потребности, интересы функционирующего деятеля, интересы развивающего деятеля, стремление к культурно-творческой деятельности. Потребности нижнего уровня (первые две, лежащие в основании пирамиды) называются первичными, остальные вторичными. Считается, что индивидуум "переходит" к удовлетворению потребности более высокого уровня тогда, когда у него относительно удовлетворены потребности более низких уровней. Настоящая работа посвящена рассмотрению описывающей этот качественный эффект формальной модели иерархии потребностей, в которой степень удовлетворения каждой потребности зависит от выделенного ресурса и от степеней удовлетворения потребностей более низких уровней.
2. Статическая модель
Пусть существуют п упорядоченных потребностей, первые к из которых являются первичными. Степень удовлетворения г-й потребности будем измерять числом хг £ [0; 1], г £ N = {1,..., п}, N - множество потребностей.
Предположим, что степень (уровень) удовлетворения г-й потребности зависит от ресурса (так как потребность характеризуется как нужда в чем-то. то можно условно считать, что это "что-то" и есть "ресурс") щ > 0, направляемого на удовлетворение этой потребности, и от степеней удовлетворения потребностей более низких уровней:
(1) Xi(ui,..., Ui) = min < fi(ui), min a«xA , i G N,
l j = 1,i-1 J
где fi'. R+ ^ [0; 1] — известные строго монотонные непрерывные функции, aij G G (0; 1] - константы (веса), отражающие взаимосвязь между потребностями, j < i, i G N. Содержательно эти функции и константы отражают индивидуальные характеристики работника, потребности которого моделируются.
Приведем качественный пример. Положим константы {aij} равными единице. Например, для "человека-потребителя", ориентирующегося лишь на первичные потребности, может быть выполнено Vi = k + 1,n, Vui > 0 fi(ui) = 1. Для "человека-аскета", стремящегося к высшим ценностям, может иметь место V i = 1, k, V ui > 0 fi(ui) = 1, где функции fj(•) растут достаточно медленно, причем их рост замедляется с увеличением j G k + 1, n.
Так как практически любую индивидуальную специфику можно учесть подбором соответствующих функций fi(-) и констант {aij}, то в качестве агрегированной степени удовлетворения потребностей s G [0; 1] можно выбрать степень удовлетворения высшей из потребностей:
(2) s(u) = Xn (u),
где u = (u1;..., un) G R+ - вектор ресурсов. s(u)
пика своей работой (если ресурсы для удовлетворения его потребностей в основном предоставляются организацией), как готовность работать в данной организации (при смене работы сотрудник сравнивает текущее значение величины (2) с альтернативным предлагаемым на новом месте) и т.д.
Отметим, что все приведенные ниже качественные результаты анализа формальной модели останутся в силе, если агрегированная степень удовлетворения потребностей будет монотонной непрерывной функцией степеней удовлетворения отдельных потребностей. Например, агрегированная степень удовлетворения потребностей может определяться как линейная комбинация (взвешенная сумма) степеней удовлетворения отдельных потребностей. Тогда, варьируя веса, можно отражать индивидуальные характеристики индивидуума, чьи потребности описываются.
Если функции fj(•) принимают единичные значения при конечных значениях ресурса, то, считая заданным значение xmax максимально возможной степени удовлетворения потребности нижнего уровня, вычислим максимально возможные значения степеней удовлетворения потребностей xmax, i G N, следующим образом.
Введем в рассмотрение граф (N, E), где множество дуг E представляет собой совокупность дуг от каждой вершины (соответствующей потребности) ко всем вер-
i
(3) xmax = min(xmaxaij), i G N \ {1}.
j<i
Выражения (1) и (2) позволяют при заданных функциях fi(^) и векторе ресур-u
Можно решить и обратную задачу поиска минимальных значений ресурсов u*(s*), обеспечивающих достижение заданного уровня
(4) s* < xmax
удовлетворения потребностей.
Обозначим:
а = ||аj\\i,jeN - матрица весов (вес a^ будем считать равным единице, i £ N); /-1 (•) - функция, обратная к функции /j(-), i £ N; lij = 1n(1/aj);
Li — длина максимального пути в графе (N, E) го вершины i в вершину n при условии, что длины дуг равны Ij, i £ N.
Если функции /j(•) принимают значение s* при конечных значениях ресурса, то решение обратной задачи имеет вид:
(5) u*(s*, а) = /-1(s* exp(Li)), i £ N.
Утверждение 1. Минимальные значения ресурсов, обеспечивающие достижение заданного уровня s* < xmax удовлетворения потребностей, определяются выражением (5).
Принцип (5) распределения ресурса можно назвать "равномерным". Он совместно с выражением (1) отражает иерархическую структуру потребностей личности.
Рассмотрим теперь следующую задачу: пусть заданы ограничения |ßi}ieN на ресурсы, т.е. ui £ [0; R^], i £ N. Требуется определить, какие из них являются критическими, т.е. уменьшение количества каких ресурсов приведет к снижению агрегированного уровня удовлетворения потребностей. Обозначим через R — (Ri,..., Rn )
s(R)
Утверждение 2. Критическими являются ресурсы из множества No = {i £ N | Ri = u*(s(R), а)}.
Обобщим теперь рассмотренную модель на динамический случай (напомним, что до енх пор мы не учитывали различие первичных и вторичных потребностей).
3. Динамическая модель
Пусть имеется возможность расходовать в единицу времени суммарное количество ресурса в размере Q единиц (это суммарное количество не зависит от времени). Обозначим через qi количество ресурса, выделяемое в единицу времени на удовле-i
янно во времени возможность отказа от этого предположения обсуждается ниже). i£N
Предположим, что первичные потребности не являются насыщаемыми, т.е. ui = = qi5 i = l, k, а вторичные потребности - насыщаемые, т.е. ui(t) = qit, i = k + 1,n. Содержательно это предположение отражает тот факт, что удовлетворение, например, физиологических потребностей должно производиться в каждый момент времени результаты этого удовлетворения не могут "накапливаться": в то время как результаты удовлетворения потребности в творчестве могут жить веками в виде произведений искусства, научных теорий и т.п.
Для простоты здесь и далее будем считать, что aij = 1, i £ N, j < i. Тогда Li = 0 i £ N
потребностей в зависимости от вектора q = (q1,..., qn) ресурсов, потребляемых в единицу времени:
(6) Xi(qi, ... ,qi,t) = min /j(qj), i = 1, k,
j=1,i
(7) Xi(qi, ..., qi, t) = min < min/j(qj), min /m(qmtU , i = k + 1,n.
{j=1,k m=k+1,i J
Отметим, что все результаты останутся в силе и при произвольных а^-, необходимо будет только учесть в соответствующих выражениях константы _ см. выражение (5).
Вектор ресурсов должен удовлетворять балансовому ограничению:
(8) < д.
Получим условие достижимости уровня удовлетворения потребностей в* за конечное время.
Утверждение 3. Для достижения агрегированного уровня удовлетворения потребностей в* < жтах за конечное время, достаточно выполнения следующего условия
к
(9) е/-1 (в*) <д-¿=1
Доказательство. Если выполнено условие (9), то, положив ^ = /¿-1(в*), г = 1, к, из (6) получаем, что
(10) £¿(91,... = в*, г = 1, к.
Фиксируем п — к строго положительных констант 6¿, г = к + 1, п таких, что
п к
Е 6¿ = д — Е/-1(в*).
¿=к+1 ¿=1
Такие константы существуют в силу условия (9).
Обозначим 6 = (6к+1,..., 6п). Положим q¿ = 6^ г = к + 1, п. Условие (8) при этом выполняется как равенство.
Из условий (7) и (10) получаем, что минимальное время Т(6), через которое будет достигнуто заданное значение в* агрегированной степени удовлетворения потребностей, равно
(И) Т (6)= тах {/т1(5*) / 9т}.
т=к+1,п
Это время конечно в силу, во-первых, строгой монотонности и непрерывности функций /¿(-) (см. выше), и, во-вторых, условия в* < жтах- Утверждение 3 доказано.
Отметим, что содержательно условие (9) означает следующее: имеющегося ресурса должно хватать на удовлетворение первичных потребностей. Если это не так, то весь ресурс будет расходоваться на ненасыщаемые первичные потребности, а на удовлетворение вторичных (насыщаемых) потребностей ресурса не останется.
4. Задача управления
Т
жения заданного уровня в* € [0; 1] удовлетворения индивидуальных потребностей
путем распределения ресурса при заданных ресурсных ограничениях. Минимальное
Т*
Из доказательства утверждения 3 (в частности, из условия (11)) следует справедливость следующего утверждения (основная идея которого заключается в том, что все вторичные потребности должны достигать требуемого уровня одновременно).
Утверждение 4. Если в* < жтах и выполнено условие (9), то решение задачи о быстродействии имеет вид:
Чг = /Г (в*), г = 1, к,
чт = (д -Е/г'(в*)), т = к+щ
Е /Г1 (в*Л г=1 /
>1
1=к+1
Е /Г1 (в*
>1
т*(в*,д)= г=к+1
д - е /г v
г= 1
Полученные соотношения дают также возможность решать задачи терминального управления минимизации суммарных ресурсов на достижение за заданное время требуемо
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.