РАДИОТЕХНИКА И ЭЛЕКТРОНИКА, 2011, том 56, № 4, с. 485-492
ЭЛЕКТРОНИКА СВЧ ^
УДК 621.385.632.12
МОДЕЛЬ ЛАМПЫ С БЕГУЩЕЙ ВОЛНОЙ НА ДИАФРАГМИРОВАННОМ ВОЛНОВОДЕ © 2011 г. Ю. Н. Пчельников
Поступила в редакцию 06.10.2010 г.
Рассмотрена модель лампы с бегущей волной (ЛБВ) на диафрагмированном волноводе с однородным электронным потоком и малом по сравнению с длиной замедленной волны периоде. Найдено дисперсионное уравнение как при наличии, так и при отсутствии электронов. Дисперсионное уравнение с электронным потоком преобразовано в характеристическое уравнение ЛБВ путем разложения входящих в него функций в ряд Тейлора. Получены выражения для коэффициента связи, сопротивления связи и коэффициента депрессии. Найдены также эквивалентные параметры диафрагмированного волновода с учетом наличия электронов. Показано, что параметры, характеризующие связь электронов с волной в волноводе однозначно определяются как через коэффициенты разложения дисперсионного уравнения, так и через производную эквивалентной емкости, а также через отношение энергии, запасенной продольной компонентой электрического поля к суммарному потоку мощности через поперечное сечение волновода. Показано, что полученные характеристики могут служить ориентиром при оценке параметров достижимых в реальных приборах с резонансными замедляющими системами.
ВВЕДЕНИЕ
Несмотря на то, что первая модель лампы с бегущей волной (ЛБВ) была построена на двухпроводной эквивалентной схеме с электронным потоком (ЭП), проходящим через поперечные емкости этой схемы [1], применение волноводной модели ЛБВ, базирующееся на достаточно строгом решении уравнений электродинамики [2], позволило сделать ряд уточнений в линейную теорию ЛБВ, в частности, ввести такой параметр взаимодействия, как коэффициент связи, и найти приближенное выражение для коэффициента депрессии ЭП в спиральной замедляющей системе (ЗС) [3]. Представляя собой круглый волновод, заполненный прозрачным для электронов диэлектриком, волноводная модель ЛБВ все же далека от реальных приборов. Это ставит под сомнение интерпретацию результатов анализа волноводной модели на практике.
В качестве другой, более близкой к реальным ЛБВ, моделью может служить диафрагмированный волновод (ДВ) с цилиндрическим ЭП, полностью заполняющим пролетный канал, образованный отверстиями в диафрагмах. Диафрагмированный волновод широко используется в линейных ускорителях для обеспечения "синхронного" взаимодействия с электронным потоком и является своего рода прототипом для ряда ЗС, применяемых в ЛБВ большой мощности. При этом эффективное ускорение электронов в ускорителе или, наоборот, их торможение в ЛБВ происходят не при полном совпадении скоростей волны и электронов, а при определенном отставании электронов в первом случае и опережении электронами волны во втором случае.
Диафрагмированный волновод обладает относительно небольшой полосой пропускания и довольно сильной дисперсией (зависимостью замедления от частоты). Если это не вызывает особых проблем в ускорителях, в которых взаимодействие волны с ЭП происходит на одной частоте, то в ЛБВ взаимодействие должно осуществляться в определенной полосе частот, что делает применение ДВ в чистом виде почти невозможным, и в реальных приборах между диафрагмами вводится магнитная связь, расширяющая полосу пропускания и уменьшающая наклон дисперсионной характеристики. Непосредственный электродинамический расчет таких систем затруднен, и для их расчета используется метод эквивалентных схем, в том числе синтез таких схем по измеренным резонансным частотам [4, 5]. Однако одного этого недостаточно. Получив такую схему, нужно найти способ корректного введения в нее электронного потока, способ, который позволяет учесть не только эффективность взаимодействия замедленной волны с ЭП, но и параметры самого потока, его размеры и плотность. Проверить корректность такого способа можно только непосредственным решением волновых уравнений, что оказывается возможным лишь для достаточно простых молелей, таких как рассматриваемый ниже классический ДВ, заполненный однородным по плотности ЭП.
Обладая малой периодичностью, рассматриваемая ниже модель позволяет установить характер взаимодействия ЭП с волной при большом замедлении, в частности, вблизи высокочастотной отсечки, когда в ЗС с относительно большим периодом сопротивление связи, характеризующее эффективность взаимодействия, стремится к бесконечности
г
носительно соответствующих составляющих в заполненной электронами области.
При отсутствии магнитной связи между ячейками, образованными соседними диафрагмами, поле в них распространяется только по радиусу, а сами ячейки образуют короткозамкнутые отрезки радиальных линий с фазовой скоростью, равной скорости света. В продольном направлении волна распространяется только в пролетном канале, конфигурация поля в котором определяется модифицированными функциями Бесселя первого рода 4 1Х [9]
Рис. 1. Продольное сечение рассматриваемой модели; 1 — цилиндрический волновод с внутренним радиусом с1, 2 — диафрагмы с круглыми отверстиями радиуса а, 3 — электронный поток с радиусом, равным радиусу отверстий в диафрагмах.
и его применение теряет смысл. В этих случаях необходимо пользоваться введенным В.А. Солнцевым "локальным" сопротивлением связи, принимающим конечные значения как в полосе пропускания, так и в полосе запирания [6, 7].
1. ИСХОДНЫЕ СООТНОШЕНИЯ
Рассмотрим аксиально-симметричную волну Е-типа в ДВ, образованном металлическим цилиндром 1 с внутренним радиусом d и диафрагмами 2 с круглыми отверстиями по оси волновода с радиусом а (рис. 1). Образованный отверстиями пролетный канал заполнен однородным по плотности ЭП 3 с радиусом, равным радиусу отверстий в диафрагмах. Ограничимся так называемым "импеданс -ным" приближением, когда период расположения диафрагм вдоль оси волновода значительно меньше длины замедленной волны, а толщина дафрагм значительно меньше периода [8].
Расположим начало цилиндрической системы координат г, ф, г на оси волновода, совмещая координату г с осью, а ее положительное направление с направлением распространения волны. Для упрощения анализа будем пренебрегать потерями в волноводе. Пренебрегая всеми пространственными гармониками, кроме нулевой, будем полагать, что зависимость всех трех компонент поля прямой волны от времени ? и продольной координаты г пропорциональна так называемому волновому множителю, ехр](Ш — Рг), где ю — угловая частота, ? — время, в — фазовая постоянная, определяемая отношением угловой частоты к фазовой скорости волны. Помня о волновом множителе, будем опускать его запись. При этом зависимости составляющих волны от поперечной координаты, т.е. от радиуса г, находим из решения волновых уравнений от-
Е, (г) = Ео1 о (Тг),
Ег (г) = ^Ео/! (Тг), У
Н> (г) = ^Ео/! (Тг). У
(1) (2)
(3)
Здесь, Е0 — амплитудный коэффициент, Т и у — поперечные постоянные при наличии ЭП, связанные друг с другом, фазовой постоянной в и волновым числом к свободного пространства соотношениями
2 2 2 I-
у = р - к , к = ^/60,
Т 2 =у2
1 --
(в-Р. )2
(4)
(5)
где е0, ц0 — диэлектрическая и магнитная проницаемости вакуума, вР — плазменно-волновое число, ве — постоянная ЭП
вР =
его
те0ы.
з -
о "о
Ре =
Ю
(6)
(7)
е и т - заряд и масса электрона, и0 — средняя скорость электронов. Обозначая поперечную постоянную при отсутствии электронов через у0, а фазовую постоянную через в0, находим из (4) и (5), что в этом случае
У2 = Ро - к2, Т = уо, у = уо.
2. ДИСПЕРСИОННОЕ УРАВНЕНИЕ
(8)
Для вывода дисперсионного уравнения воспользуемся методом сшивания электродинамических проводимостей, позволяющим вдвое уменьшить количество граничных условий и вытекающих из них уравнений [9, 10]. В рассматриваемом случае аксиально-симметричной волны Е-типа это прово-
г
2
3
о
димость электрического типа, определяемая выражением
Г (г) = -
Н Ф (г) Е< (г) •
(9)
В силу непрерывности проводимостей при отсутствии поверхностных токов на границах областей, указанная проводимость равна проводимости на границе образованной диафрагмами области. Подставляя в выражение (9) правые части уравнений (1) и (3) при г = а и приравнивая это выражение пересчитанной на единицу поверхности входной проводимости образованных диафрагмами радиальных линий, находим после простейших преобразований
1 тП = * ^ и)•
1 11 (1а)
(10)
3. АНАЛИЗ И РЕШЕНИЕ ДИСПЕРСИОННОГО УРАВНЕНИЯ БЕЗ ЭЛЕКТРОННОГО ПОТОКА
При отсутствии ЭП левая часть (10) изменяется, а правая остается прежней. Умножая обе части такого "холодного" дисперсионного уравнения на радиус а, получим
у а1° (у°а) = ка!%г (ка, кй).
1\ (°а)
(13)
Решения "холодных" дисперсионных уравнений удобнее всего представлять в виде зависимости замедления N от пропорционального частоте параметра ка. Напомним, что замедление N равно отношению скорости света в вакууме к фазовой скорости волны в ЗС или, что то же самое, отношению фазовой постоянной р0 к волновому числу к. С учетом сказанного и первого из выражений (8) имеем
Здесь \%г(ка, кй) — радиальный тангенс, определяемый выражением
(ка, кй) = 1 °(ка) *°(М) - '°(М) *°(, (11) ^ ' 11 (ка) N° (кй) - /° (кй) * (ка)
/о, /1, ^ — функции Бесселя первого и второго рода, нулевого и первого порядка. Уравнение (10) является "горячим" дисперсионным уравнением рассматриваемого ДВ, т.е. уравнением, полученным при наличии ЭП. В приближении относительно малого возмущения поля волны электронами это уравнение может быть преобразовано к алгебраическому уравнению четвертой степени, так называемому характеристическому уравнению ЛБВ [9, 11]
(в2 -Р°)[(Р-Ре)2 -ГР2]=-^сРрР°. (12)
Здесь Г — коэффициент депрессии, определяющий уменьшение плазменной частоты ЭП по сравнению с частотой безграничного ЭП той же плотности [12], Кс —коэффициент связи, характеризующий связь ЭП с синхронной с ним волной, т.е. с замедленной волной, имеющей скорость, близкую к скорости электронов [2, 9]. Указанное преобразование может быть сведено к разложению входящих в дисперсионное уравнение функций в ряд Тейлора до членов второго порядка малости около "холодных" значений аргумент
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.