научная статья по теме МОДЕЛЬ ЛОКАЛЬНОЙ ВОЛАТИЛЬНОСТИ СО СКАЧКАМИ ДЛЯ ОЦЕНКИ ПРОИЗВОДНЫХ ФИНАНСОВЫХ ИНСТРУМЕНТОВ Экономика и экономические науки

Текст научной статьи на тему «МОДЕЛЬ ЛОКАЛЬНОЙ ВОЛАТИЛЬНОСТИ СО СКАЧКАМИ ДЛЯ ОЦЕНКИ ПРОИЗВОДНЫХ ФИНАНСОВЫХ ИНСТРУМЕНТОВ»

Модель локальной волатильности со скачками для оценки производных финансовых инструментов

Кризисные явления на финансовых рынках сопровождаются, как правило, скачками цен и возрастающей волатильностью. В статье1 предлагается модель оценки производных финансовых инструментов, когда изменение цены базового актива определяется моделью локальной волатильности со скачком. Модель опробована на примере оценки опционов на индекс РТС.

Т. А. АБУБАКИРОВ,

аспирант Российского экономического университета им. Г. В. Плеханова

В. Е. БАРБАУМОВ,

кандидат физико-математических наук, профессор, РЭУ им. Г. В. Плеханова

В условиях кризисных явлений цены на финансовые инструменты начинают изменяться скачкообразно. В ряде статей выведены формулы для определения цен европейских опционов в случае, когда изменение цен базового актива определяется диффузией со стохастическим скачком вида:

11Б, = + стБ,^, + , где р, а - числа, определяющие процесс геометрического броуновского движения; - дифференциал винеровского случайного процесса; / - случайная величина, определяющая амплитуду возможного скачка; ^ - дифференциал пуассоновского случайного процесса с интенсивностью Я, ] = Я, В[ск[, ] = Я).

Известны выведенные зарубежными учеными конечные формулы для определения стоимости опциона в случае, если амплитуда скачка распределена нормально [1] и по двойному экспоненциальному закону [2]. В этих работах предполагается, что случайные изменения цен базовых активов обусловлены двумя независимыми составляющими: «нормальными» колебаниями цены и скачкообразным изменением цены. Первые являются результатом таких факторов, как временный дисбаланс спроса и предложения, изменение экономических взглядов участников финансового рынка, поступление на рынок незначительной информации. Скачкообразные изменения цены являются результатом поступления на рынок новой важной информации, которая в значительной степени влияет на цену базового актива.

Нами предложена модель оценки производных финансовых инструментов, когда динамика цены базо-

1 Статья подготовлена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (РФФИ), проект № 14-06-00220.

I 74 I БАНКОВСКОЕ ДЕЛО I №9 2015

ВБ#09_Б1ок.1паа 74

19.10.2015 12:23:18

вого актива определяется случайным процессом с возможным скачкообразным изменением цены [3]. Ниже приводится подробное описание новой модели оценки производных финансовых инструментов в условиях кризиса.

Описание модели

При оценке производных финансовых инструментов в предкризисных условиях следует учитывать возможность скачкообразных изменений спот-цены базовых активов.

Предположим, что спот-цена базовых активов определяется случайным процессом:

М^ИЦл (1)

при начальном условии:

S0(®)=S0. (2)

Если в некоторый момент ï",re[0,T] происходит скачок спот-цены базовых активов, то

Sr(ü>) = (1 + Ô) lim S Jeo),S * 0Va e П. (3)

t-»r-0

В мире, нейтральном к риску, модель локальной волатильности со скачком определяется следующими условиями:

Г dS, = (r(t) - q(t))Stdt + (t(S, , t)Stdw, ,t*r Sr(<D) = (l + S)limS,(cD),

(4)

При этом если в момент t¡ спот-цена базовых активов равна ]) то в момент t¡+1 спот-цена может принимать только три значения:

с вероятностями соответственно:

рЛ^АрЛьАрЛий

Произвольный фрагмент триномиального дерева имеет вид, изображенный на рис. 1.

где г(Ь) - непрерывная безрисковая процентная ставка;

Ь) - непрерывная дивидендная доходность базовых активов; а(Бе Ь) - волатильность базовых активов, зависящая от момента Ь и спот-цены базовых активов в этот момент; - стохастический дифференциал винеровского случайного процесса; т = т(м/) - случайный момент скачка; 8 = 8(ц>) - случайная величина, характеризующая амплитуду скачка.

В общем виде случайные величины т и 8 коррели-рованы. Будем считать, что известна совместная функция распределения Рт 8 (х, у) случайных величин т и 8. Предположим, что момент скачка и его амплитуда являются фиксированными величинами. В этом случае для оценки производных финансовых инструментов в условиях модели локальной волатильности (4) можно использовать обобщенную триномиальную модель.

Для построения триномиальной модели временной промежуток [0, Т] разобьем на п равных частей точками:

= Дг, г2 = 2Аг,..., t¡ = Ш,..., гп =пА( = Т (5)

и выберем два параметра: ст0 > 0 и ф > 1.

В обобщенной триномиальной модели спот-цена базовых активов в момент Ь., ¡ = 0,1,2,..., п может принимать значения:

Предположим, что t, -1 < т < t,. Если 1, то:

S(i + l,j + l) = S(i,j)e S(i + l,j) = S(i,j)e'

тцф^Гж.

S(i + l,j + l) = S(iJ)e"

.(r(ti)-4(ii))A

а0фл[А

Pu(iJ) = Pd(i»j) =

a (S(i, j), tj )S (i, j)At

(S(i +1, j +1) - S(i +1, j))(S(i +1J +1) - S(i + 1J -1)) _g-2(S(i,j),tj)S2(i,j)^t_

(6)

(S(i +1J +1) - S(i +1 J))(S(i +1, j +1) - S(i +1, j -Pm(iJ) = l-Pu(iJ)-Pd(iJ)-При i = l - 1 имеют место следующие равенства: S(i + \,j + \) = (\ + S)S(i,j)e^-Al, S(i +1, j) = (1 + S)S(i, ,

1))'

S(i + l,j+ !) = (! +S)S(i,j)e

-а^ф-Ш

Pu(iJ) = Pd(i,j) =

tT\S(i,j),t,)S\i,j)At

(S(i + 1,7 + 1)-S(i +1, j))(S(i + 1,7 + 1)- S(i + 1,7-1)) a2(S(i,jU)S2(iJ)At

(7)

№ + 1,у + 1)-5(2 +1,7))(5(г + 1,7 + 1)-+ 1,7-1))' Рт (»> У) = 1 - Ри 0'. Л - Рл ('> Л-Таким образом, при фиксированных значениях т и 8 на основе обобщенной триномиальной модели можно оценить текущую стоимость И(Б0, т, 8) рассматриваемого производного финансового инструмента.

Если же т и 8 - случайные величины, функция совместного распределения которых Рт 8 (х, у), то для оценки производного финансового инструмента

Abstract. Crises events on financial markets are usually accompanied by jumps in prices and increasing volatility. In the article a model of financial derivatives pricing is suggested, when changes in underlying assets prices is defined by a local volatility model with stochastic jumps. This model was tested for RTSI options.

Keywords. Financial derivatives, local volatility, trinomial model, stochastic jump.

Ключевые слова. Производные финансовые инструменты, локальная волатильность, триномиальная модель, стохастический скачок.

№9 2015 I БАНКОВСКОЕ ДЕЛО I 75 I

можно поступить следующим образом. Найти наименьшее S . и наибольшее S из возможных значений

min max

случайной величины S, промежуток [S S 1 разбить

J ' min maxJ *

на m равных частей точками:

8п = 8 . ,8=8 . +А8,...,8 =8 , (8)

0 mm* I mm * * m max*

с _ P

где A8 =-

m

Если P, k - вероятность, что случайный вектор (т, S) удовлетворяет условиям:

Л1-^'-, (9)

lA-i ^8<ôk

то текущую стоимость производного финансового инструмента можно оценить по формуле:

п m

Я = (10) ¡■=1 *=1

где Pul = FIiS (i,.+1, ôk+l ) - F^ (tM ,St)- FT<S (t,, Sk+l ) +

Для калибровки построенной модели локальной волатильности со скачком достаточно на основе исторической информации подобрать функцию волатильности о (S, t) и построить функцию FT S (x, y) совместного распределения случайных величин т и S. Функцию волатильности о (S, t) можно оценить на основе следующего соотношения:

сг2(К,Т) = 2—Ж___Ж-.(11)

К

д С(К, Т) дК2

Для построения функции распределения случайного вектора (т, 8) можно рассмотреть однодневные реализованные доходности базовых активов до N = [365 ■ Т] последовательных дней.

Для каждой такой выборки (1), г2 (1),..., гы (1)) предположим:

8+ =тах{г1(1),г2(1),...,глг(1)},

8~ =пип{г1(1),г2(1),...,глг(1)}. (12)

Таким образом, для каждой выборки реализуемых однодневных доходностей, наблюдаемых в прошлом, будут построены два возможных значения случайного

вектора (г, 8): (¿^(^

Если значений случайного вектора (т, 8) построено достаточно много, то эмпирическую функцию распределения этого вектора можно представить в следующем виде: 1 м

К^х,у) = ^в(х-Т\у-Т°), (13)

м

где - рассматриваемые

\1,у1,у2>0 0 '

значения случайного вектора (т, S), в(ух,уг) =

где C (K, T) - стоимость европейского опциона колл на базовые активы с ценой исполнения K, дата истечения которого T.

Таким образом, если на рынке достаточно много различных европейских опционов на рассматриваемые базовые активы, то на основе равенства (11) можно определить функцию волатильности.

Применение модели

Рассмотрим применение данной модели для оценки опционов на индекс РТС.

Для оценки параметров модели были проанализированы дневные данные по индексу РТС за период с начала 2009-го по конец 2014 г. Историческая вола-тильность индекса за этот период составила 32,54%. На основании описанного выше подхода была также получена функция 8 (х, у). Значение индекса на конец рассматриваемого периода составило 790,71 пункта.

В соответствии с предлагаемым методом была получена совместная функция распределения момента скачка и его величины. График функции приведен на рис. 2.

Рис. 2. Совместная функция распределения величины скачка и его амплитуды

76 БАНКОВСКОЕ ДЕЛО №9 2015

450 400 350 300 250 200 150 100 50

Рис. 3. Цены опционов колл на индекс РТС

7 I Г Т I I Г I I Г í I ! Т ! I Г I I Г 1 I I Г ! ! Г Т ! I I I I!

ооооооооооооооооооооооооооооооо

CD CU ^Г

CD CU ^Г CD CO CD CD CD CD CD CD

цена опциона по модели локальной волатильности со стохастическим скачком цена опциона по модели Блэка - Шоулза

Цена исполнения опциона

о

В качестве модели локальной волатильно-сти для простоты будем использовать модель СБУ. В этом случае изменение цены базового актива описывается случайным процессом вида:

(¡Б, =(г- + , (14)

где а, а - параметры модели.

В качестве параметров модели СБУ были взяты значения 143,14 и 0,51, так как именно при таких значениях реальные рыночные цены опционов и теоретические, рассчитанные исходя из этой модели, наиболее близки друг к другу. Полученные данные позволяют оценить опционы на индекс РТС. Для примера рассмотрены европейские опционы колл с ценой исполнения от 500 до 1100 пунктов, сроком исполнения 1 месяц. Полученные результаты приведены на рис. 3.

Расчетные цены опционов с разными ценами исполнения приведены в табл.

Различные цены опционов колл на индекс РТС

Цена исполнения опциона Цена опциона по модели локальной волатильности со стохастическим скачком Цена опциона по модели Блэка -Шоулза

500 432,52

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.

Показать целиком