АСТРОНОМИЧЕСКИЙ ВЕСТНИК, 2012, том 46, № 2, с. 162-172
УДК 523
МОДЕЛЬ МАГНИТНОГО ПОЛЯ ВО ВНУТРЕННЕЙ ГЕЛИОСФЕРЕ С УЧЕТОМ ВЫРАВНИВАНИЯ РАДИАЛЬНОЙ НАПРЯЖЕННОСТИ
В КОРОНЕ СОЛНЦА © 2012 г. И. С. Веселовский1, 2, А. Т. Лукашенко1
1 Научно-исследовательский институт ядерной физики им. Д.В. Скобельцына МГУ, Москва 2 Институт космических исследований РАН, Москва Поступила в редакцию 03.03.2011 г.
На основании полученных КА Ulysses экспериментальных результатов предложена модель для расчета магнитного поля в короне и гелиосфере в потенциальном приближении, представляющая собой модификацию модели потенциального поля-поверхности источника. В дополнение к фото-сферной поверхности и поверхности источника в ней введена новая разграничивающая сферическая поверхность ("поверхность выравнивания"), на которой модуль радиальной составляющей магнитного поля полагается равным константе, а ее знак скачкообразно изменяющимся при переходе от одной полусферы к другой. Приводятся общие аналитические формулы для расчета потенциала и поля в рамках данной модели. Проведение расчетов подробно рассмотрено на примере ди-польных и квадрупольных гармоник. Получены выражения для поверхностных токов. Обсуждаются результаты визуализации магнитного поля для случая аксиального диполя.
ВВЕДЕНИЕ
Магнитное поле на поверхности Солнца и в его короне является одним из определяющих факторов, влияющих на процессы генерации солнечного ветра, вспышечной активности, динамики ко-рональных выбросов массы и других явлений в гелиосфере. В настоящее время сравнительно надежно измеряется составляющая магнитного поля вдоль луча зрения на уровне фотосферы, поле же во внешних слоях атмосферы Солнца измерить трудно. Недостаток информации о нем пытаются в какой-то мере компенсировать путем расчетов. Существует большое количество моделей для вычисления вектора магнитного поля в короне и в околосолнечном пространстве, исходя из его фо-тосферных наблюдений.
Одной из наиболее часто используемых является модель потенциального поля-поверхности источника (Newkirk, 1970; Schatten, 1970). Предполагается, что на поверхности источника (впервые введенной Schatten и, независимо, Altshuler и Newkirk в 1969 г.) линии поля становятся радиальными (если не учитывать вызванное вращением Солнца закручивание в спираль Архимеда). Физический смысл поверхности источника базируется на предположении, что до нее энергия магнитного поля преобладает над энергией плазмы, а при переходе через нее преобладающей становится кинетическая энергия солнечного ветра. Такое предположение не является физически строгим, т.к. ясно, что этот переход должен совершаться не скачком, а в достаточно протяженной области (Обридко и др., 2006). Самосогласованного описания этой области ввиду его сложности в настоящее время не существует. Значение радиуса поверхности источника подбирается так, чтобы вычисляемые результаты соответствова-
ли наблюдаемой форме короны, и составляет, как правило, 2—3 Rq. Помимо модели потенциального поля также находят применение модели, основанные на бессиловом приближении, в которых существование электрических токов допускается, но только текущих вдоль магнитного поля. Существуют также более полные и сложные самосогласованные схемы, совместно описывающие поле и плазму на основе МГД-уравнений.
В октябре 1990 г. был осуществлен запуск КА Ulysses, основной задачей которого являлось исследование характеристик приполярных областей Солнца. Официально станция проработала более 17 лет, успев по три раза пройти над северным и южным солнечными полюсами. Одним из главных результатов измерений, выполненных Ulysses, стало установление того факта, что радиальное магнитное поле в гелиосфере практически не зависит от широты точки наблюдения в околосолнечном пространстве. Оно напоминает поле двух половинок монополей разного знака, склеенных между собой по тонкому токовому слою, лежащему в плоскости магнитного экватора. Вместе с полем магнитного диполя Солнца получается картина, напоминающая вид солнечной короны в годы минимума активности.
На основе этих экспериментальных данных и приведенных ранее соображений нами в рамках потенциального приближения предложена модель, содержащая помимо фотосферной поверхности и поверхности источника еще одну, внешнюю по отношению к ним, сферическую поверхность раздела, на которой модуль радиальной составляющей магнитного поля полагается равным константе, а ее знак—скачком изменяющимся при переходе от одной полусферы к другой. Мы на-
зываем эту поверхность поверхностью выравнивания" радиального поля. С физической точки зрения она учитывает баланс натяжений поперек радиального направления в сформировавшемся сверхмаг-нитозвуковом потоке солнечного ветра на достаточно больших расстояниях от Солнца.
В настоящей работе приводятся общие решения для потенциала и вектора магнитного поля поставленной таким образом задачи математической физики, подробно рассмотрено проведение расчетов для дипольного и квадрупольного поля, приведены формулы для возникающих в данной модели поверхностных токов. На примере поля аксиального диполя обсуждаются вопросы визуализации линий поля и ее результаты.
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Магнитное поле В в вакууме подчиняется уравнениям Максвелла
div В = 0,
rot B = IdE + 4*7.
c dt c
(0.1) (0.2)
div B = 0,
rot B = 0.
(0.3) (0.4)
(В ^ b(
v вф
= grad ¥ =
dr
I
r d0 1
(0.6)
f Вх >
ВУ =
V Bz J
sin 9 sin ф cos 9 sin ф cos ф cos 9 - sin 9 0
b9
V вф J
(0.7)
Первым делом перейдем к квазистационарному
дЕ
приближению, в котором — = 0. Вторым важным
приближением будет пренебрежение объемными токами, текущими вне Солнца. Тогда система уравнений Максвелла для магнитного поля примет вид
Видно, что удовлетворяющее этим уравнениям поле является потенциальным, откуда и берут свое название модели потенциального поля. Введем потенциал магнитного поля который, как следует из (0.3), (0.4), должен удовлетворять уравнению Лапласа
АТ = 0. (0.5)
Зная потенциал, компоненты вектора магнитного поля В в сферической системе координат (г, 0, ф) можно вычислить в соответствии с формулой
Рис. 1. Схематическое изображение разбиения пространства в рассматриваемой модели на области I, II и III.
В рассматриваемой нами модели пространство вне Солнца разделяется на ряд областей. Первая из них, обозначаемая нами в дальнейшем римской цифрой I, представляет собой шаровой слой между фотосферой Rq и поверхностью источника (source surface) Rs. Внешним по отношению к ней является шаровой слой между поверхностью источника r = Rs и поверхностью выравнивания (leveling surface) r = RL, на которой модуль радиальной составляющей магнитного поля положен нами равным константе, а ее знак — изменяющимся на противоположный при переходе через экватор. В этом шаровом слое проведем разрез в экваториальной плоскости, который разделит его на две симметричные части. Из соображений симметрии нам достаточно рассмотреть только
"северную" половину шарового слоя (0 <п), для
vr sin 0 дф.
Переход от сферической системы координат к прямоугольной декартовой может быть осуществлен по формуле
^sin 0 cos ф cos 0 cos ф - sin ф^Г ДЛ
обозначения которой в дальнейшем будем использовать римскую цифру II. Наконец, область, представляющую собой внешнюю по отношению
к полусфере r = RL, 0 < - часть полупространства,
будем обозначать цифрой III (рис. 1).
РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ ЛАПЛАСА В ОБЛАСТИ МЕЖДУ ФОТОСФЕРОЙ И ПОВЕРХНОСТЬЮ ИСТОЧНИКА
Будем считать известной радиальную компоненту магнитного поля на фотосфере:
Br (R0,0, ф) = F(0, ф). (1.1)
Поле на фотосфере предполагается потенциальным, и в таком случае его можно записать в виде разложения по сферическим гармоникам:
F (0, ф) = (cos 0)х
n =0 m =0
х [gnm cos тф + hnm sin тф].
(1.2)
зо
n
10 8 6 4 2
г 0 -2
10 8 6 4 2 0 -2 -4 -6 -8 -10 х
Рис. 2. Поле аксиального диполя. Поверхность источника^, = 2.поверхность постоянства модуля магнитного поля ^ = 10Лд. Ось Zсовпадает с направлением магнитного диполя. Масштабная единица - радиус Солнца.
Поверхность источника эквипотенциальна, и удобно полагать потенциал на ней равным нулю. Тогда краевая задача для потенциала в области I имеет вид:
= 0, Rq < r < R
YLp(m) (cos 0)
dr
"R° n=1 m=0 x [gnm cos тф + h„m sin тф]
(1.3)
Y
1 lr=Rs
= 0,
где оператор Лапласа в сферической системе координат
А = Л д (r2 д
r ЗЛ дп r
1
1 д(■ ад\ --Isin а—I
sin asm за!
дф2
. (1.4)
v(m) i9 ф\ v(m) i miCOs 1пф
Yn (9, ф) = Pn (cos 9). , [sin mф
(1.5)
(cos 0) — присоединенные функции Лежандра (Свешников и др., 2004; Тихонов, 1977), квадрат нормы которых
llp M
cos I
2
[0, п]
п , .
= ( (cos 9})2 sin 9d9 = —-— (+^. JV n V '> 2n + 1 ( n - m)!
(1.6)
Решение для потенциала представляет собой сумму частных решений, взятых с коэффициентами, определяемыми из граничных условий [Sun, 2009]. Для дальнейших расчетов это решение удобно записать в следующем виде:
* I = Xv n (r ) X pn(m)(cos 6):
n=1
m=0
(1.7)
X [gnm cos mф + hnm sin mф],
Частными решениями краевой задачи для уравнения Лапласа в шаровом слое являются шаровые
функции гпУП") (0, ф) и У^ (0, ф), где сфериче-
гп+
ские функции
где как Vп (г) обозначены общие для гармоник одной мультипольности множители:
vn (r) = RG
R У+1, rg i i r
R J v Rs
Rg
r
n+1
n + 1 + n| Rg Rs
2n+1
(1.8)
при этом vn ( Rs ) = 0.
M n
0
Зная потенциал, находим в области I компоненты вектора поля:
Br = ¿ vn (r) ¿ ^»(cos 0)>
n=1 m=0
x [g„m cos тф + hnm sin тф], Д = ¿YAá¿ dPn(m)(cos 8) >
9 , r n d8
n=1 m=0
x [gnm cos тф + hnm sin тф],
(1.9)
(1.10)
Вф = -¿^¿m^ x
r ^ sin 9 (1.11)
n=1 m=1
X [gnm sin mф - hnm cos mф],
где
(n +1)1 M"2 + n í ^ ] IJL n (r) = —kj-iii^, (1.12)
n+2 / \ n-1
2n+1
n + 1 +
так что V'„ (Д0) = 1.
Отсюда можно получить выражение для вектора магнитного поля на поверхности г = Д,, на которой он имеет только радиальную составляющую, дающее краевое условие на внутренней полусферической поверхности половины шарового слоя, представляющего собой область II:
ю n
f (0, Ф) = Br (Rs, 0, ф) = ¿ Vn ¿ PP(cos 0):
n =1 m=0 x [gnm cos mф + hnm sin mф]
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.