ГЕОЭКОЛОГИЯ. ИНЖЕНЕРНАЯ ГЕОЛОГИЯ. ГИДРОГЕОЛОГИЯ. ГЕОКРИОЛОГИЯ, 2013, № 1, с. 74-79
МЕТОДОЛОГИЯ И МЕТОДИКА ИССЛЕДОВАНИЙ
УДК 624.131.43, 624.131.522
МОДЕЛЬ МАССОПЕРЕНОСА В АГРЕГИРОВАННЫХ
ПОРИСТЫХ СРЕДАХ
© 2013 г. М. Г. Храмченков, Р. П. Федорин
Казанский (Приволжский) федеральный университет, ул. проф. Нужина, 1/37, Казань, 420008 Россия. E-mail: Maxim.Khramchenkov@ksu.ru
Поступила в редакцию 14.11.2011 г. После исправления: 12.01.2012 г.
Работа посвящена вопросам, связанным с необходимостью развития феноменологической модели физико-химической механики глин как агрегированных пористых сред. Получены уравнения массопереноса в рамках модели физико-химической механики агрегированных пористых сред как простейших фильтрационных моделей глин. Приводится реализация модели массопереноса в агрегированных пористых средах в соответствии с данными эксперимента. Полученные результаты качественно согласуются с основными характеристиками этого процесса, выявленными экспериментально, а также позволяют оценить влияние различных факторов.
Ключевые слова: бипористая среда, массоперенос, фильтрация, давление, концентрация примеси, коэффициент гидродисперсии, деформирование глины.
ВВЕДЕНИЕ
Обычно массоперенос в глинах количественно рассматривается в рамках концепции массопереноса в т.н. бипористых средах (модели Г.И. Барен-блатта) [1]. В соответствии с этой концепцией, к бипористой относится такая среда, в которой одна система пор, обычно называемых трещинами, является хорошо проницаемой, а вторая, обычно называемая блоками, - слабопроницаемой. При этом уравнение переноса примеси в такой среде без учета конвективной диффузии (гидродисперсии) описывается уравнениями [1]
дС 1
т1 + Ч1 $ УС 1 + Сс(С1- С2) = 0, д1
дС2
т2—2 + Ч2 $ УС2 = Сс(С1- С2). (1) дt
Здесь т1, т2 - пористость "трещин" и "блоков" соответственно, С1, С2 - концентрация примеси в "трещинах" и "блоках" соответственно, Ч,, i = 1, 2 - вектор скорости фильтрации в "трещинах" и "блоках" соответственно, Сс - постоянная скорости массообмена между "трещинами" и "блоками". Та же самая модель используется для описания распределения давления р, i = 1, 2
в "трещинах" и "блоках" формальной заменой С, i = 1, 2 на р, i = 1, 2 , и постоянной Сс на постоянную Ср.
В частном случае модели Г.И. Баренблатта, конвективным переносом вещества за счет фильтрации в блоках пренебрегают, полагая ч2 = 0. Тогда уравнения (1) принимают вид
дС1
т 1 —1 + Ч1 $ УС 1+ Сс(С 1- С2) = 0, д t
дС 2
т2—1 = Сс(С1- С2). (2)
дt
Модель (2) пользуется большой популярностью в силу кажущейся естественности ее физического смысла. Однако основным недостатком как модели (1), так и особенно модели (2) является тот факт, что, во-первых, остается скрытым физический механизм быстрого выравнивания концентрации С2 в составе блоков, поскольку из-за слабой проницаемости "блоков" такой процесс должен протекать за достаточно большое время. Во-вторых, опыт использования моделей (1) и (2) показал, что нельзя считать Сс и Ср постоянными в течение всего времени процесса. Именно послед-
нее обстоятельство приводит к самым существенным ошибкам моделей (1)-(2).
Заметим, что физическая причина, приводящая к необходимости введения концепции бипо-ристой среды - потребность описания процессов массопереноса в агрегированных пористых средах, таких, например, как многие типы грунтов, почвы и глинистые горные породы. Структурные "единицы" таких пористых сред представляют собой так называемые агрегаты - фрагменты пористых сред, отличные по своим фильтрационным свойствам от первой. Такие породы, как правило, испытывают существенные деформации при нагрузке, очевидно влияющие на характер массопереноса в силу их влияния на такой параметр, как пористость. Уравнения же моделей (1)-(2) записаны без их учета. Так что еще одним недостатком классической концепции бипорис-тых сред, описываемой уравнениями (1)-(2), является то, что в ней, как правило, не учитывается влияние деформаций на процесс массопереноса. Ниже предпринята попытка устранить указанные выше недостатки.
МОДЕЛЬ ФИЗИКО-ХИМИЧЕСКОЙ
МЕХАНИКИ АГРЕГИРОВАННЫХ ПОРИСТЫХ СРЕД
Обозначим общую (относительную долю объема всех пор среды) пористость бипористой среды через m:
m = m1 + m2. (3)
Запишем уравнение баланса массы (переноса массы) твердого вещества пористого скелета
d[(1 - m)ts]/dt + div[(1 - m) tsW] = 0. (4)
Здесь, аналогично, ps есть плотность вещества твердой фазы, W - абсолютная скорость движения вещества твердой фазы. При этом очевидно
t sVs = t s (1- m )V = Ms, Ms = const. (5)
Здесь Vs, V, Ms есть объем твердой фазы, объем представительного элемента пористой среды и масса твердой фазы в представительном объеме соответственно.
Определим коэффициент объемного расширения (дилатансию) [9, 10]
6 = (V - Vo)/Vo. (6)
Здесь V0 - значение V в начальный момент времени. Заметим, что в случае уменьшения объема при деформации определение (6) совпадает с определением относительной усадки. Используя
предположение о малости коэффициента объемного расширения, будем с достаточной точностью полагать
V = Voexp6, Vo = V(6 = 0). (7)
Тогда, используя (7), запишем (5) в виде ts(1 - m) exp 6 = Ms/V0 = const.
Дифференцируя последнее уравнение по времени, получим
dm/дt = (1 - m) t-1 dts/d1 + (1 - m)d6/dt. (8)
Рассмотрим уравнение (4). Дифференцируя, получаем
dm ,л
-m ts+(1-m ^+
(9)
+ (1 - m) ts div W + W grad [(1 - m) ts] = 0.
Используя (8) и отбрасывая последний член в (9) как член второго порядка малости, имеем
d 6 /51 = div W. (10)
Факт малости последнего члена в (9) объясняется традиционным для механики пористых сред образом. Из известного соотношения Терца-ги P = vf + p, где P - внешняя нагрузка на грунт, vf - эффективное напряжение, p - давление в жидкости, следует, что для grad P = 0 справедливо grad vf = - grad p. Поскольку пористость грунта m и плотность твердой фазы ts очевидно являются функциями от vf и p, то, с учетом последнего соотношения, член W grad[(1- m)ts] в (7) пропорционален произведению W grad p, следовательно, с учетом закона Дарси, произведению скорости W и скорости фильтрации q. Механика пористых сред изучает процессы, протекающие с малыми скоростями, поэтому член, содержащий вторую степень скорости, может быть отброшен.
Далее, будем пренебрегать сжимаемостью твердой фазы бипористой среды, так что ts = const. Тогда из (3) и (8) получаем
d(m 1+ m2)/dt = (1- m 1- m2)d6/dt. (11)
Обратимся теперь к уравнению баланса массы жидкости в бипористой среде:
d(m11 )/dt + div (m 1, tV1) = J, (12)
d(m21 )/dt + div (m2 tV2) = -J. (13)
Здесь t есть плотность флюида, V1 и V2 - абсолютная скорость движения флюида в первой и второй средах, J - обменный поток массы жидкости между "блоками" и "трещинами". Далее,
вводя относительную скорость движения флюида в первой и второй средах (скорость фильтрации в каждой из сред соответственно) qt = mt(Vt - W), i = 1, 2, на основании (3) и (10) и считая р = const, запишем уравнения (12) и (13) в виде
dm 1 Об
——+ div q 1+ m 1— = j, j = J/р, (14) О t dt
д m^ Об ■ ■ r, nrs
—— + div q2 + m= j = J/р. (15) dt dt
Здесь j - обменный поток объема жидкости между "блоками" и "трещинами". Дополним систему (11), (14), (15) уравнениями для переноса примеси
d(m 1 СО , л. , Об
---+ div (q 1 С 1) + m 1С1 — =
dt dt
= dlv( m1 D1 VC 1) + a, (16)
d(m2C2) , , , Об
---+ div (q 2C2) + m 2 C2 — =
dt dt
= dlv(m2D2 VC2)- a. (17)
Здесь a - концентрационный переток, который учитывает обмен по концентрации между "блоками" и "трещинами". Из уравнений (14)-(17) видно, что при б = 0, использовании закона Дарси для давлений и предположения
j = Сp(p2- p 1), a = Cc (C2- C1),
Сp, Cc = const. (18)
они переходят в уравнения модели Баренблатта, соответственно уравнения (14)-(15) - для давления, а уравнения (16)-(17) - для концентрации [1]. Модель для распределения давления в "блоках" и "трещинах" с учетом деформаций (случай б /0) получила в литературе название модели Вильсона-Айфантиса [10].
Выше уже говорилось, что использование предположения (18) для обменных потоков между средами по объему жидкости и концентрации примеси соответственно может приводить к большим ошибкам. Кроме того, его использование ставит вопрос о физическом механизме выравнивания давления или концентрации примеси в слабопроницаемой среде (в "блоках") за то же время, что и "трещинах". Другими словами этот факт можно сформулировать так: возникает очень существенная разница между истинным распределением давления или концентрации примеси в слабопроницаемом "блоке" и его средним значением, входящим в уравнения стандартной модели переноса в бипористой среде (модели Баренблатта).
От этого недостатка обычно избавляются следующим образом. Рассмотрим процесс, описываемый уравнениями (14)-(17), в локально-равновесном приближении. Таким образом, будем считать, что характерный масштаб времени выбран так, что за это время давления или концентрации примеси в блоках и трещинах выравниваются, но локально, оставаясь отличными друг от друга в разных точках среды (под точкой здесь понимается представительный элемент объема среды, для которого проводится осреднение) в один и тот же момент времени, или в одной и той же точке среды в разные моменты времени. Таким образом, речь не идет о выравнивании давлений или концентраций в масштабах процесса в целом, т.е. при t ^^ . Это дает возможность использовать уравнение (14) (или (15)) как определение потока ], а уравнение (16) (или (17)) - как определение потока а.
Рассмотрим применение модели (14)-(17) в локально-равновесном приближении для случая переноса примеси в деформируемых глинистых породах. Для этого используем тот известный факт, что доля объема хорошо проницаемых пор в глинистых породах (доля объема "трещин") много меньше доли объема плохо проницаемых узких внутриагрегатных щелевых пор (доли объема "блоков"). Это означает, что достаточно обоснованно можно считать, что
m1 ^ 0, C1 = C2 = C.
(19)
Тогда из системы (14)-(17), используя (19), получим
дт2 .л- дб „ ,
——+ ё1У Ч + т2 — = 0, Ч = Ч1+ Ч2, (20) дt дt
дт2/дt = (1- т2)дб/д^ (2
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.