ЭКОНОМИКА И МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ, 2004, том 40, № 3, с. 124-127
ЗАМЕТКИ И ПИСЬМА
МОДЕЛЬ ОЛИГОПОЛИИ ПРИ НАЛИЧИИ ПОСТОЯННЫХ ЗАТРАТ
© 2004 г. А. В. Бегларян, В. А. Булавский
(Москва)
Описание модели. Рассмотрим экономику, производящую один однородный продукт по единой технологии. Затраты, которые несет экономика, состоят из постоянных затрат С0 > 0 и с > 0 - затрат на единицу производимого продукта. Таким образом, при общем производстве X экономика тратит в целом Со + сХ. Рынок производимого продукта традиционно описывается функцией спроса С(р), где р - цена продукта. Будем предполагать функцию С(р) заданной на промежутке [0,ртах], причем С(0) > 0, С(ртах) = 0, а внутри промежутка (0,ртах) - строго убывающей, строго вогнутой и дважды непрерывно дифференцируемой. При этом, конечно, с е (0, ртах).
В случае монопольного производства прибыль при цене р составила бы величину
(р - с) С(р) - с0 (1)
и достигала бы максимума при монопольной цене р0, определяемой однозначно из уравнения
С (ро) + (ро- с) ох ро) = 0. Очевидно, что с < р0 < ртах. Будем предполагать, что прибыль монополиста (1) положительная, т.е.
(ро-с)С(ро)> Со. (2)
При нарушении неравенства (2) наша экономика не могла бы функционировать.
Считаем, что собственность на средства производства разделена между п участниками олигополии, доли которых обозначим через а;, г = 1, ..., п, где
а > Ха = 1
г
В соответствии с долями собственности распределены и постоянные затраты. Таким образом, участник г при объеме производства х; тратит О); + сх;, где О); = «¿О). Свое решение об объеме производства каждый участник олигополии принимает исходя из желаемой прибыли на единицу производимого продукта. При цене р его финансовый баланс тогда выразится формулой
Со; + сх; + V = рхг = 1.....п. (3)
Если предположить, что процесс адаптации параметров V; достаточно медленный, а балансировка рынка осуществляется достаточно быстро, то наряду с финансовыми балансами (3) следует потребовать выполнение материального баланса
У х1 = С (р). (4)
Исключив из (3) и (4) объемы выпуска х;, получим уравнение относительно рыночной цены р
Яр; V1,..., Vп) = С(р) - у Со; = о. (5)
1 п I р - с - V г
г
Уравнение (5) определяет допустимые наборы (р; VI, ..., vn), при этом дополнительно следует потребовать выполнения неравенств: с <р <ртах; V; > 0, г = 1, ..., п.
Понятие равновесия. Каждый участник олигополии может корректировать (сознательно или нет) свое мнение о целесообразном размере прибыли на единицу продукции. При такой корректировке в соответствии с (5) будет изменяться рыночная цена р и величина прибыли, которая для участника к выражается формулой
Сок V к
Пк = V кхк = -.
к к к р - с - Vk
(6)
В соответствии со стандартной концепцией равновесия по Нэшу будем называть набор (р*; V* , ...., V* ) равновесным, если:
1) с <р* <ртах; 0 < V* <р* - с, г = 1, ..., п;
2) величина %к достигает (локального) максимума по переменным (р, Vk) при ограничении (5) в точке (р*, V* ).
Непосредственная проверка показывает, что в рассматриваемой области левая часть уравнения (5) является вогнутой функцией своих аргументов. Кроме того,
дп
д V.
к
СПк дпк
---—2 < т1
(р - с - Vк)2
с° к (Р - с ) (Р - с - vк)2
>
Поэтому второе требование в определении равновесного набора можно эквивалентно записать в виде:
с
к
р [р - С - VI
п (р; Vk, V)> ° \.
(7)
При этом задача рассматривается на выпуклом открытом множестве точек (рк, v¿), где с < р < ртах, 0 < V! < р - с, а через v*k обозначен набор V* при г Ф к. Предполагается, что в указанной открытой области задача (7) имеет допус-
ЭП
тимое решение р, vk). Так как =— < 0, а V! > 0, то это автоматически обеспечивает выполнение условия регуляр-
дv к
ности. Поэтому требование 2) в определении равновесного набора означает существование такого множителя Лаг-ранжа X > 0, что
Э"^ + Хп)
с° к(р*- с)
с
°к
(р*- с - V* )2 (р*- с - V* )2
_э др
^(пк + хп
-с° к ^ (р*- с - V*)2
+ X
?(р *) + ^
с°г
■ (р*- с - V*)
=
Первое равенство дает X = (р* - с). Непосредственная проверка показывает, что вдоль касательной к левой части ограничения (5) при X = (р* - с) функция Лагранжа пк + ХП в исследуемой стационарной точке имеет отрицательную вторую производную. Таким образом, исследуемая стационарная точка является точкой локального максимума. Отсюда имеем следующее определение равновесного набора, эквивалентное данному ранее.
Определение. Набор (р; VI, ..., vn), удовлетворяющий (5), называется равновесным, если
1 )с < р < ртах, ° < v¡ < р - с, I =1,..., п,
2) (р - с)
(р)+X
с
(р - с - V¡)
с°V к
(р - с - V¡)
2'
1, ..., п.
(8) (9)
Для упрощения записи мы опустили в обозначении равновесного набора верхний индекс "*".
Согласно (9) в равновесии квадратная скобка в левой части этого равенства является величиной положительной. В то же время эта квадратная скобка совпадает с частной производной по р от левой части уравнения (5). Согласно теореме о неявной функции в окрестности равновесного набора уравнение (5) определяет р как дифференцируемую функцию параметров VI, ..., vn. При этом
а
(р)+X
с°г
г (р - с - v¡) ]
др дv,
с
°к
(р - с - V¡)
2
Сравнивая это равенство с (9), находим, что в состоянии равновесия
д 1п (р - с)
др
V к -г- = р - с, к дv к
д 1п V
= 1,
1, ..., п.
(10)
Можно охарактеризовать определенное выше понятие равновесного состояния следующим свойством: в равновесии для каждого участника олигополии эластичность дохода на единицу продукции, получаемого непосредственно в процессе производства, по общей удельной прибыли равна единице. Напомним, что помимо производственных имеются еще постоянные затраты и при вариации VI,. предполагаются неизменными все остальные V, I Ф к.
Существование и единственность равновесия. Преобразуем равенство (9), перенеся слагаемое при I = к в левой части направо. После приведения подобных слагаемых получим
(р - с)
Ч р) + X
с
¡ Ф к
(р - с - V¡)
-°к
(р - с - V ¡)
После суммирования этих равенств при к = 1, ..., п с учетом (5) окажется
п(р - с)а(р) + (п -1 )Х
сш
¡ (р - с - v ¡)
= -а (р),
к
126
БЕГЛАРЯН, БУЛАВСКИЙ
и после очевидных преобразований имеем
Р) + У -
С
(Р - с - V ;)2_,
В состоянии равновесия левая часть этого равенства положительная, поэтому при равновесной цене р
С(р) + (р - с)О'(р) = [(р - с)О(р)]' < 0. (12)
Так как при монопольной цене должно быть [(р0 - с)О(р0)]' = 0, а ввиду вогнутости функции спроса О(р) функция (р - с)О(р) также вогнута, то неравенство (12) означает, что в рассматриваемой модели при п > 1 равновесная цена р всегда больше монопольной цены.
Подставив (11) в (9), найдем
__1_
и- 1
[О(р) + (р - с)О'(р)].
С,
0к
(р - с - V¡)
(р - с ) С0 к 2 С0 к
С0к (р - с - V¡)_ (р - с - V ¡)_
__1_
-п - 1
[(р - с)О(р)]'.
Таким образом,
С
0к
С0к + д С0к~
4С0к п---- 1
(р - с)[(р - с)О(р)]'
(р - с - V ¡)
2(р - с)
(13)
Знак "+" перед квадратным корнем взят в силу того, что [(р - с)О(р)]' < 0, а Хк > 0. Равенство (13) выражает объем производства в равновесии через равновесную цену. Если использовать балансовое равенство (5), то получим уравнение, которому должна удовлетворять равновесная цена р е (ро, ртах):
* (р) = У С0к + У
С2к - ^р - с)[(р - с)О(р)]' - 2(р - с)О(р)
(14)
где обе части равенства были умножены на 2(р - с) с изменением знака. Нетрудно убедиться и в обратном: если для цены р е (ро,ртах), удовлетворяющей равенству (14), определить Vk, к = 1, ..., п, согласно (13), то получим состояние равновесия. Таким образом, задача состоит в исследовании уравнения (14).
При р = ро, в силу определения монопольной цены, [(р - с)О(р)]' = 0. Поэтому
* ( ро ) = 2-
У С0к - ( ро-с ) О ( р 0 )
= 2{ Со- ( ро- с) О ( ро)}< 0
I силу предположения (2). В то же время
* ( ртах 2{ С0- ( ртах- с )О ( р п
х)} = 2 (Со > 0) ,
так как О(ртах) = 0. Поскольку левая часть (14) является непрерывной функцией цены р, то уравнение (14) имеет корень в открытом промежутке (р0, ртах). Соответственно, существует состояние равновесия.
Покажем, что левая часть (14) на промежутке (р0, ртах) меняется монотонно. Действительно, величина (р - с)О(р) является строго вогнутой функцией на промежутке (с, ртах) в силу строгого убывания функции О(р) и ее вогнутости. При монопольной ценер0 эта величина достигает максимума, т.е. [(ро - с)О(ро)]' = 0 и [(р - с)О(р)]' < 0 прир е (р0,ртах). Поэтому на промежутке (р0, ртах) каждое слагаемое в левой части (14), кроме первой константы, является строго возрастающей функцией р. Таким образом, решение уравнения (14) и состояние равновесия модели единственное.
Зависимость равновесной цены от параметров модели. Рассмотрим зависимость равновесной цены от величины постоянных затрат С0, считая производственные затраты с и доли ак, к = 1, ..., п, неизменными. Напомним, что С0к = = акО). Так как на промежутке (р0, ртах), где рассматривается уравнение (14), (р - с)[(р - с)О(р)]' < 0, то при возрастании С0 левая часть (14) тоже возрастает, а поскольку она монотонно растет по р, то корень уравнения (14) убывает с ростом С0. Таким образом, с ростом постоянных затрат С0 равновесная цена убывает.
Следует иметь в виду, что величина С0 должна лежать в промежутке (0, С^^ ), где С^^ = (р0 - с)О(р0). Если С0 стремится к нулю, то согласно (14) должна стремиться к нулю и величина (р - с)О(р). Но р > р0 > с, так что к нулю
стремится О(р), что соответствует стремлению равновесной цены кртах. Наоборот, если С0 стремится к С^^ , то суммарная прибыль участников должна стремиться к нулю, суммарный объем производства - к О(р0), т.е. к объему производства монополиста, а равновесная цена - к монопольной цене р0.
Обсудим теперь зависимость равновесной цены от распределения собственности на средства производства. Легко видеть, что левая часть *(р) уравнения (14) является вогнутой функцией параметров С^, к = 1, ..., п, еслир е (р0,ртах). Поэтому при перераспределении собственности в сторону большей равномерности для одного и того же р величина *(р) возрастает, а корень уравнения (14) убывает. Таким образом, для данных суммарных затрат С0 наименьшая равновесная це
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.