УДК 553.044:338.27
МОДЕЛЬ ОПТИМАЛЬНОГО ЗАМЕЩЕНИЯ МИНЕРАЛЬНОГО СЫРЬЯ
А. Л. Новоселов, д. э. н., профессор, Российский экономический университет им. Г. В. Плеханова, alnov2004@yandex.ru
В статье показана необходимость поиска оптимального объема использования ресурсов-заменителей дефицитного минерального сырья. Сформулированы ограничения и разработана система критериев, которые максимизируют экономические и экологические интересы. Полученная экономико-математическая модель реализует минимаксный критерий Чебышева справедливой уступки. Для решения поставленной задачи замещения истощаемого минерального сырья предложен метод сжимающегося симплекса.
The article shows the need for finding an optimum amount for the use of substitutes of rare mineral sources. The paper formulates limitations and the system of criteria that maximize economic and environmental interests. The resulting economic and mathematical model implements Chebyshev minimax criterion of fair concession. To solve the problem of substitution for exhaustible mineral resources it is proposed to apply the compressing simplex method.
Ключевые слова: минеральное сырье, ресурс-заменитель, ограничения, критерии оптимальности, зеленая экономика, минимаксный критерий, оптимальные объемы замещения, метод сжимающегося симплекса.
Keywords: minerals, resource substitute, limitations, optimality criteria, the green economy, the minimax criterion, the optimal amount of replacement, compressing simplex method.
Введение. За последние 100 лет потребление минерально-сырьевых ресурсов увеличилось в 15 раз. Ежегодно из недр Земли извлекается более 100 млрд т различного минерального сырья и топлива: руды черных и цветных металлов, уголь, нефть, газ, строительные материалы, горнохимическое сырье [3]. Разведанные доступные месторождения ископаемых истощаются, например, интенсивная разработка месторождений железной руды привела к их истощению в странах Европы и Северной Америки. Существенно обеднели ресурсы медных руд в Замбии и Заире. По оценкам У. Барди [8], пик добычи ряда металлов уже пройден (рисунок).
При этом структура потребления ресурсов существенно изменяется, а в хозяйственное использование вводятся новые виды топливно-энергетических ресурсов [2]. Например, в начале текущего столетия доля мирового потребления нефти достигла 40 %, углей — 27 %, природного газа — 23 %; на долю атомной энергии, гидроэнергии, солнечной и ветровой приходится 10 %. Рост использования угля завершился, в основном, к 50—60-м годам XX века [1].
Результаты исследования. В силу указанных причин приобретает актуальность замещения минерального сырья ресурсами-заменителями. Для решения этого вопроса предлагается базовая модель оптимального замещения минерального сырья в объеме V за счет использования нескольких ресурсов-заменителей i = 1, 2, ..., n, каждый из которых позволяет заменить дефицитный ресурс в объеме не более чем Wt. Оценка экономической целесообразности замещения, в общем случае, определяется условием [6, 7]:
NPVi > NPV0 л PBPi < PBP0 л IRR > IRR0
Vi = 1, 2, ..., n
2010 я 2000
ю 1990
Ö 1980
«
g 1970
Рис. Пики добычи ряда металлов по оценке У. Барди (составлена на основе [9])
где ЫРУ^ЫРУ®) — чистый дисконтированный доход от производства ¿-го ресурса-заменителя (добычи замещаемого минерального сырья) в пересчете на замещаемый объем природного ресурса Р0; РВР;(РВР0) — срок окупаемости предприятия по производству ¿-го ресурса-заменителя (горного предприятия от добычи замещаемого минерального сырья); 1ЯЯ;(1ЯВР) — внутренняя норма доходности предприятия, производящего ¿-ый вид ресурса-заменителя (горного предприятия, добывающего замещаемое минеральное сырье).
Указанное условие подходит для частного случая замещения минерального сырья одним из альтернативных вариантов ¿ = 1, 2, ..., п. Более подробно экономические аспекты замещения и влияющие на этот процесс факторы раскрыты в [4]. Поскольку, в общем случае Ж; < У, то необходимо сформировать оптимальный план замещения исходя из ¿ = 1, 2, ... , п видов ресурсов-заменителей с учетом коэффициента пересчета объема й;. Например, при использовании процесса Бергиуса1 [8] из 2 т угля в среднем можно получить 1 т бензина. При использовании современных методов (например, гидроформинга) получения бензина из нефти, то 1,25 т нефти позволит получить 1 т бензина. В этом случае коэффициент пересчета угля на нефть будет равен 2/1,25 = 1,6. Данная оценка является приближенной и при ее уточнении целесообразно учитывать возможности параллельного получения других полезных продуктов. Для построения модели формирования плана замещения следует обозначить искомый объем использования ресурса-заменителя переменными X;. Тогда ограничение по замещению природного ресурса в пределах полного объема У будет иметь вид:
п
X < У.
I = 1
Поскольку объемы финансирования на реализацию проектов замещения дефицитного минерального сырья ограничены и равны В, а удельные затраты на замещение ¿-м ресурсом-заменителем Zi, то ограничение по финансированию процесса замещения может быть пред-
п
ставлено следующим образом: X ZiXi < В.
1 Порошкообразный уголь смешивается с мазутом и добавляется 5 % окиси железа. Пастообразную массу нагревают в присутствии водорода до 450—490 С при давлении 200 атм. Полученный продукт разделяется перегонкой на бензин (до 200 °С), соляр (200—300 °С) и остаток (мазут), который затем добавляется в следующую порцию угля для продолжения производства бензина.
Поскольку проекты замещения минерального сырья могут потребовать дополнительных земельных ресурсов Б; (например, ветровая и солнечная энергетика приводит к изъятию земельных ресурсов из хозяйственного оборота), то можно потребовать чтобы было соблюдено ограничение по предельному изъятию земель-
п
ных ресурсов в объеме Б0: X < Б0.
; = 1
Каждый из ресурсов-заменителей имеет предельный объем X;, который необходимо учесть в системе ограничений: X; < X;, ¿ = 1, 2, ..., п.
Можно также учесть ограничение по предельной величине экономической оценки ущерба окружающей среде У0 при реализации проектов замещения, если при реализации ¿-го проекта экономическая удельная оценка причиняемого ущерба окружающей среде составляет У;, а экономическая оценка ущерба окружающей среде при добыче замещаемого минерального сырья составляет У1: пп
X У1X1 < У0 + У1 X kiX. ; = 1 ; = 1
При поиске оптимального объема с использованием ресурсов-заменителей минерального сырья, целесообразно воспользоваться критерием максимизации превышения суммарной величины чистого дисконтированного дохода от ис-
п
пользования ресурсов-заменителей X NРУi(X{)
; = 1
над чистыми дисконтированными доходами от использования замещаемой части минерального сырья NPУo(kiXi, ¿ = 1, 2, ..., п), т. е.
п
^NPУi(Xi) = X NPУi(Xi) - NPУo(кiXi). Рас; = 1
кроем данный критерий более подробно. Пусть Рг — цена получаемого полезного продукта в
год £; С;г (С0) — текущие удельные затраты на добычу ¿-го ресурса-заменителя (замещаемого минерального сырья) в год I. Тогда целевая функция задачи будет иметь вид: п Т
Р^) = X X [(Л - Си - адк! + г)1 - г -
; = 1 г = 1
пТ
X X
; = 1 г = 1
- XX [(Рг - С0 - Z0)й;X;](1 + г)1 - г ^ тах.
В результате решения данной задачи будет получен оптимальный вариант использования ресурсов-заменителей, которые обеспечат максимум прибыли на горизонте расчета чистого дисконтированного дохода. Однако стремле-
1
ние к зеленой экономике требует равноценного учета экономических и экологических интересов. Для этого в модели выбора оптимальных проектов замещения минерального сырья целесообразно одновременно оптимизировать два критерия: экономический .Р!^) (максимизацию суммарной прибыли или чистого дисконтированного дохода) и экологический F2(X) (минимизацию суммарного ущерба окружающей среде). В экологический критерий целесообразно включить составляющую истощения природных ресурсов, в частности, земельных. Еще более полным учет природно-ресурсной и экологической составляющих будет в том случае, если их сумма будет соотнесена со стоимостью замещаемого минерального сырья:
T
I Y1 I [^](1 + r)1 - t -
F2(X) =
t = 1
1
T n 0 0
I I [(Pt - C° -Z°)kiXi]
= 1 i = 1
- II [(Yi + DSi)Xi](1 + r)1"
t = 1 i = 1
1 1 - t
^ max,
Ю;(Х) =
- F;( X)
max „min
l = 1, 2,
_тах , _тт . ,
где р (р ) — максимальное (минимальное) значение 1-го критерия в пределах области допустимых решений, образованной приведенными выше ограничениями.
Отыскание F
и F
основе принципа справедливой уступки Чебы-шева:
max{ra1(X); ®2(X)| ^ min.
Целевая минимаксная функция, реализующая принцип справедливой уступки Чебыше-ва, гарантирует получение решения из области компромисса по Парето. При этом будет достигнуто выполнение условия: ®i(X) = ®2(X).
Для получения численного решения, необходимо перейти от минимаксной целевой функции задачи к виду, соответствующему задаче математического программирования. С этой целью следует ввести в рассмотрение переменную у, которая имеет смысл максимального из отклонений рассматриваемых критериев от локального оптимума, т. е. у = max{®i(X); <ö2(X)|. Тогда можно построить задачу, эквивалентную записанной выше свертке критериев:
у ^ min при у = max{®i(X); ®2(X)|.
Если избавиться от выбора максимума в ограничении, получаем окончательно задачу нелинейного программирования с булевыми переменными:
х (1 + г)
где Б — кадастровая стоимость земли, отчуждаемой для добычи ресурса-заменителя.
В результате получена задача многокритериальной оптимизации с линейным и дробно-линейным критериями. Для того чтобы решить данную задачу необходимо, прежде всего, провести масштабирование критериев задачи, т. е. привести их к одной размерности, одному направлению оптимизации и единому диапазону изменения. Масштабирование критериев целесообразно проводить с помощью следующего преобразования:
I = 1, 2
Y ^ mm
Y > ©i(U),
n n
I ZiXi < B I kiXi < V
i = 1 i = 1
I SiXi < S°
i = 1
Xi < Xi
n.
¿ = 1, 2, ...,
Для отыскания решения приведенной задачи следует воспользоваться методом сжимаю-
Таблица Модели локальной оптимизации для нахо
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.