научная статья по теме МОДЕЛЬ РОСТА КАПИТАЛА С ГАРАНТИЕЙ НЕРАЗОРЕНИЯ Экономика и экономические науки

Текст научной статьи на тему «МОДЕЛЬ РОСТА КАПИТАЛА С ГАРАНТИЕЙ НЕРАЗОРЕНИЯ»

ЭКОНОМИКА И МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ, 2004, том 40, № 4, с. 134-136

ЗАМЕТКИ И ПИСЬМА

МОДЕЛЬ РОСТА КАПИТАЛА С ГАРАНТИЕЙ НЕРАЗОРЕНИЯ

© 2004 г. В. И. Малыхин

(Москва)

Поводом к написанию данной заметки послужила книга (Вине, 2001), в которой рассмотрены вопросы роста капитала с помощью покупки ценных бумаг, дающих случайный доход. Автору данной заметки эти вопросы показались интересными и важными даже с прикладной точки зрения. Результаты предпринятого им исследования оказались более общими, чем в (Винс, 2001) и на взгляд автора заслуживают внимания специалистов по финансовой математике.

1. Общая постановка задачи. Рассмотрим ценную бумагу, которая за некоторый временной период дает какой-то случайный доход E, (это ее текущий доход). Основную стоимость бумаги будем считать постоянной. Пусть участник рынка имеет капитал K. Предположим, он желает в начале каждого указанного временного периода покупать m экземпляров указанной ценной бумаги, так что значение m/K остается постоянным в любом периоде, хотя величины m, K могут меняться. Обозначим отношение m/K через s, так что m = sK. Если ценная бумага может принести и убыток, то покупка слишком большого числа экземпляров этой бумаги может привести к разорению - имеющегося капитала K может не хватить для оплаты убытков. В то же время при покупке малого числа экземпляров капитал будет расти медленно; так что в выборе m или, что в сущности одно и то же, s нужна осмотрительность.

Приращение капитала за период равно AK = mE, = sKE,, так что в конце периода капитал вычисляется по формуле K + AK = K(1 + sE,), т.е. Ki = K(1 + sE,i), ...,Kn = K(1 + sE,i) x ... x (1 + sE,n), где K- капитал в начале периода 1, а c,i, •••, E,n - значения текущих доходов рассматриваемой ценной бумаги в соответствующие периоды.

Отношение Kn/K есть скорость роста за n периодов, а n¡Kn/K естественно назвать скоростью роста в среднем за период или просто средней скоростью роста. Спрашивается, каким должно быть s, чтобы эта средняя скорость была максимальной? В то же время нужно избежать разорения.

В (Винс, 2001) изучалась величина f = K/m, названная f-фактором. Она определяет величину капитала, приходящуюся на один экземпляр покупаемой ценной бумаги. Эта величина называется величиной покрытия капитала. Ясно, что s = 1f. Величина s, возможно, проигрывает в содержательном смысле величине f, но, как будет показано в дальнейшем, это искупается простотой и красотой полученных выводов и формул.

Вернемся к определению s, максимизирующей среднюю скорость роста капитала. Имеем lnKn = ln K + ... + ln(1 + sE,n). Будем считать, что случайные величины E>1, • • •, En одинаково распределены (как случайная величина E,) и независимы в совокупности (хотя достаточно было бы лишь их некоррелированности), тогда случайная величина Wn = ^ ln(1 + s) имеет математическое ожидание an = na, где a = M[ln(1 + s)], и дисперсию dn = nd, где d = D[ln(1 + sE,)].

wn I- Wn/n

Теперь имеем ln(Kn/K) = Wn или Kn/K = e . Средняя скорость роста nJKn/K = e . Рассмотрим случайную величину (с.в.) G(s) = Wn/n. Из вышеуказанного следует, что она имеет математическое ожидание a и дисперсию d/ jn (см. выше). Поэтому при больших n это будет приближенно постоянная величина a. Из всего этого вытекает, что для исследования максимизации средней скорости роста, равной eGs\ можно ограничиться исследованием с.в. G(s), последнее же можно заменить исследованием максимизации математического ожидания этой с.в. имеем M[G(s)] = = M[Wn/n] = M[ln(1 + sE)]. Обозначим M[ln(1 + sE)] через ф^) и исследуем эту функцию на максимум, обозначая точку максимума через s*. Область определения функции ф есть [0,

2. Стратегия управления капиталом с постоянным s. В качестве стратегии управления капиталом выберем (к примеру) стратегию постоянного s. Для рассматриваемой ценной бумаги со случайным доходом E, находим s* = s*(E,) и в каждом цикле покупаем m = s*K экземпляров этой бумаги (напомним, что K, а значит, и m меняются от цикла к циклу).

Предложение 1. Если p = P(E, < -1/s) > 0, то разорение неизбежно. Среднее число периодов до разорения равно 1/p.

Доказательство. Соотношение mE, < -m/s эквивалентно соотношению mE, + K < 0, т.е. вероятность обнуления текущего значения капитала равна р. Итак, вероятность разорения за один период есть p, тогда (1 -p)p - вероятность не разориться за период 1 и разориться за период 2, и т.д. В результате получим, что вероятность разорения p + (1 - p)p + (1 - p)2p + ... = 1. Следовательно, разорение неизбежно. Число периодов до разорения, включая последний, есть случайная величина, распределенная по закону геометрической прогрессии, ее среднее значение есть 1/p. Разумеется, если P(E, < -1/s), то разорение невозможно. Пусть b = inf{c: P(E, < s) > 0}.

Предложение 2. Если P(E, = b) > 0 и -1/s > b или, если P(E, = b) = 0 и -1/s > b, то при таком s неизбежно разорение.

Доказательство. Поскольку в обоих случаях P(E, < -1/s) > 0 при данном s, то можно сослаться на предложение 1.

Разорение невозможно, если оба указанных в предложении 2 условия не имеют места.

Следствие 1. Если P(E, < с) > 0 для всякого с, то любая стратегия с постоянным s ведет к разорению.

Рассмотрим случай дискретной с.в. E,, пусть ее возможные значения есть a¡ с вероятностями p¡. Имеем ф^) =

= . p¡ ln(1 + a¡s), ф'^) = . a¡p¡/(1 + a¡s), ф''^) = -. af p¡/(1 + a¡s)2. Отметим, что ф'(0) = . a¡p¡ = M[E,]. Условие максимума для дискретного случая:

МОДЕЛЬ РОСТА КАПИТАЛА С ГАРАНТИЕЙ НЕРАЗОРЕНИЯ

135

^ aipil (1+ as) = 0. (1)

i

Специально отметим отрицательность второй производной.

Предложение 3 (следствие из предложения 2). Если возможные значения с.в. Е,:

1) положительные, то нет и опасности разорения;

2) не только положительные, но среди них есть отрицательные, то вероятность разорения равна 1 при любом постоянном s > t = inf{-1/a j : aj < 0} в случае отсутствия наименьшего возможного отрицательного значения, а при s > t = -1/min a j, если такое наименьшее возможное значение есть. Средняя длительность до разорения равна 1/p.

Если разорения не допускать, то для нахождения s* полезно следующее предложение. Предложение 4. Для M[E,] < 0 значение s* равно 0, а при M[E,] > 0, тогда 0 < s* < t.

Действительно, на промежутке [0, t) функция ф имеет обе первые производные и если M[2j < 0, то s* = 0 (так как

первая производная правее 0 не возрастает); если же M[E,] > 0, то поскольку lim ф' (s) = ф' имеет нуль на проме-

s ^ t-0

жутке [0, t) (напомним, что ф'(0) = M[^]).

Замечание. В предположении, что M[2j > 0, этот нуль является самым маленьким положительным нулем функции ф'^). Вообще-то между любыми двумя положительными числами —1/aj, -1/aj находится нуль функции ф'^) и этот нуль есть точка максимума функции ф, однако исследование соответствующей ситуации сильно осложняется необходимостью заменить вышеуказанные рассуждения о росте капитала в силу опасности разорения за один период. Для непрерывной с.в. Е,, плотность вероятности которой обозначимf(x), условие максимума имеет вид:

1

xf (x) dxl (1 + sx) = 0, (2)

а для произвольной с.в. Е,, функция распределения которой F(x), условие максимума -

1 xdF (x) l (1 + sx) = 0. (3)

(Мы опустим исследование, связанное с 1 + sx = 0.)

Пример 1. Пусть Е, есть дискретная с.в., принимающая значения {2, -1} с равной вероятностью. Запишем условие максимума (1): 2 х (1/2)/(1 + 2s) - 1 х (1/2)/(1 - s) = 0, откуда получаем s* = 1/4. Итак, если в начале периода 1 капитал участника равен 400 денежным единицам, то он сможет приобрести 100 единиц рассматриваемой ценной бумаги.

Вместо ценных бумаг можно рассмотреть игру в рулетку или лотерею с безгранично делимой ставкой. Участие в игре бесплатное. При ставке 1 выигрыш равен с.в. Е,. Можно сразу поставить ставку s, тогда выигрыш будет sE,.

Пример 2 (Формулы Келли (Винс, 2001)). Рассмотрим игру, в которой выигрыш a с вероятностью p и проигрыш a с дополнительной вероятностью. Чему здесь должно быть равно s*? Условие максимума (1) дает s* = (2p - 1) (это первая формула Келли).

Для игры, в которой выигрыш b получается с вероятностью p и проигрыш a с дополнительной вероятностью, условие максимума (1) дает s* = (bp - a(1 -p))/(ab) (вторая формула Келли).

Пример 3. Пусть Е, есть непрерывная с.в., равномерно распределенная на промежутке [-1, 2]. Условие максимума:

1 ^ x dx/(3(1 + sx)) = 0. В результате имеем трансцендентное уравнение (1 + 2s)(1 - s) = e3s, которое на промежутке [0, 1] имеет одно решение s* « 0.72.

Замечание. Легко видеть, что в данной ситуации важны не значения с.в. Е,, а произведение sE,. Это видно и по формулам (1)-(3).

3. Еще одна стратегия управления капиталом. Как было показано выше, иногда не существует такого s, при котором было бы возможно избежать опасности разорения. Однако можно попробовать использовать другую стратегию. Рассмотрим следующую стратегию управления капиталом (в основных чертах реально используемую участниками финансового рынка). Участник рынка рискует не всем капиталом, а некоторой постоянной по величине суммой T, а все дополнительные доходы кладет в банк. Если он случайно проиграет сумму T, то восполнит потерю из накопленных к этому моменту денег и продолжит игру.

Итак, пусть в начале игры участник обладает суммой B, хранящейся в банке с банковским процентом а. Кроме того, участник играет в бесплатную лотерею Е, с какой-то ставкой s и суммой-ставкой T. Тогда в конце периода n его

капитал составит Tи в банке у него будет лежать сумма B(1 + a)n + sT_ j ( 1 + a)n - %j (учитывается нарастание по

сложным процентам сумм, ранее положенных в банк). К сожалению, сумма независимых с.в. (1 + a)n - ^ j не удовлетворяет условиям Центральной предельной теоремы, тем не менее можно указать некоторые ее свойства. Предложение 5. Вероятность разорения в первом же периоде равна Р(Е, < -B(1 + a)/(sT)).

Таким образом, если inf{c: Р(Е, < с) > 0} = то разорение возможно при этой стратегии при любой сумме B. Однако разорение не является неизбежным.

Пример 4. Пусть Е, принимает значения {-1, ..., -k, ...}с вероятностями соответственно 4-1, ..., 4-k, ... и с оставшейся вер

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.

Показать целиком