ТЕПЛОФИЗИКА ВЫСОКИХ ТЕМПЕРАТУР, 2004, том 42, № 6, с. 921-927
УДК 536.42
МОДЕЛЬ СОУДАРЕНИЯ КАПЛИ ЖИДКОСТИ С ВЫСОКОТЕМПЕРАТУРНОЙ ТВЕРДОЙ ПОВЕРХНОСТЬЮ
© 2004 г. А. В. Туликов, И. И. Берлин, А. В. Карпышев
НИИ низких температур при Московском авиационном институте Поступила в редакцию 17.12.2003 г.
В работе представлена численная модель соударения капли жидкости, вертикально падающей на нагретую твердую поверхность. Модель предполагает следующие допущения. Значение температуры стенки задается таким, чтобы взаимодействие капли со стенкой происходило через газопаровую прослойку (Т > 400°С). Жидкость капли несжимаемая, невязкая. Поверхность капли задается свободной, ее деформация осуществляется под действием внешнего давления, распределенного по поверхности капли. Давление складывается из двух составляющих. Первая составляющая - давление поверхностного натяжения, обусловленное кривизной поверхности капли. Вторая составляющая -давление пара между каплей и стенкой, которое определяется из анализа процесса вытекания пара из паровой прослойки. Движение жидкости внутри капли предполагается потенциальным, осесим-метричным. Решение уравнений движения капли осуществляется относительно потенциала векторного поля скоростей. С использованием данной модели проведены численные расчеты процесса соударения капли, полученные результаты сопоставляются с данными других авторов.
ВВЕДЕНИЕ
В связи с широким применением газокапельных методов охлаждения поверхностей растет интерес к исследованию взаимодействия летящих капель с высокотемпературными твердыми стенками. Для газокапельных потоков невысокой концентрации определяющую роль играет элементарный акт столкновения отдельной капли со стенкой. Помимо изучения собственно теплообмена между каплей и стенкой требуется как можно более точное исследование конфигурации растекающейся возле стенки капли.
В работах [1, 2] конфигурация капли рассматривалась в виде капли-диска с плоскопараллельной прослойкой пара между ней и стенкой. В [3] на основании этой модели был проведен тепловой расчет для недогретой капли-диска. В [4] рассматривались три жестко заданных типа конфигурации, удовлетворительным среди которых признан тип конфигурации "погружение".
В работах [5-7] проводилось численное решение уравнений движения вязкой жидкости, где движение нижней поверхности жидкости задавалось некоторой функцией, несколько ограничивающей ее свободное перемещение. В [5] рассматривался режим "без скольжения", т.е. горизонтальная и вертикальная скорости на линии контакта равнялись нулю. В более поздней работе тех же авторов [6] добавлялось условие "скольжения" при растекании, когда горизонтальная скорость вычислялась с использованием эмпирического коэффициента. В работе [7] в качестве граничных усло-
вий задавался экспериментально определенный угол контакта между поверхностью и жидкостью.
В настоящей работе нами предложена модель деформации капли, не накладывающая искусственных ограничений на динамику капли и газопаровой прослойки между каплей и стенкой. На наш взгляд, такой подход позволяет приблизиться к пониманию реального процесса взаимодействия между жидкостью и стенкой, а следовательно, к более точному анализу гидродинамических и тепловых характеристик процесса соударения капли с нагретой поверхностью.
ФИЗИЧЕСКАЯ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛИ
Физическая модель
Предлагаемая модель основана на ряде допущений. Капля с заданной скоростью вертикально падает на твердую горизонтальную поверхность, и внутреннее движение в капле в начальный момент отсутствует. При подлете к стенке капля не касается ее, а взаимодействует с ней через паровую прослойку. Для этого температура стенки принимается достаточно высокой (Т > 400°С), а температура капли - близкой или равной температуре насыщения. В этом случае количества пара, образующегося при испарении капли, должно быть достаточно, чтобы не допустить прямого контакта между каплей и стенкой.
Деформация капли при подлете к стенке вызывается избыточным давлением пара при испарении капли, который вытекает их образующей-
ся газопаровои прослойки между каплей и стенкой. Давление пара определяется из анализа процесса вытекания пара из паровой прослойки. Так как нижняя поверхность капли начинает тормозиться, капля деформируется, появляется дополнительная составляющая внешнего воздействия - давление поверхностного натяжения. Сумма этих давлений представляет полное внешнее давление, которое является граничным условием при решении уравнений движения жидкости внутри капли.
Жидкость капли считается несжимаемой и невязкой. Допущение о несжимаемости справедливо для сравнительно низких в нашем случае скоростей соударения, так как капля не должна разлетаться на куски. Жидкость в капле может полагаться невязкой, если капля взаимодействует со стенкой через газопаровую прослойку, тогда касательные напряжения в жидкости (на границе и внутри капли) сравнительно невысокие.
При вышеизложенных допущениях движение капли в любой момент времени является потенциальным [8]. Осесимметричность движения будет сохраняться, если капля падает вертикально.
При тепловом взаимодействии капли со стенкой ее нижняя часть испаряется, что несколько уменьшает объем капли. В нашей версии модели это уменьшение не учитывается.
Принимается во внимание гравитационное воздействие на каплю, хотя его вклад для интересующих нас капель невелик.
Математическая модель
Основные уравнения. Введем цилиндрические координаты: г - радиальную и у - вертикальную, а также потенциал скорости Т, связанный с радиальной скоростью = йг/йг и вертикальной скоростью V = йу/йг соотношениями
ЭТ ЭТ
аг = ^, ду = vу
(1)
Запишем уравнение неразрывности для капли Шу( grad Т) = ДТ = 0, (2)
известное как уравнение Лапласа.
Для определения Т(г, у, г) воспользуемся следующим соотношением в эйлеровых координатах [8]:
(3)
ЭТ + х!+р + 8Л = о
Э г 2 + р '+ р ' 0
В лагранжевых координатах с учетом
йТ ЭТ . ЭТ . ЭТ
йг
ЭТ ЭТ э? + ^ г эг + ^ эу
ЭТ 2 "Г" + V
Эг
уравнение (3) примет вид
йТ _ ц2+ р + §Е = 0
йг 2 р' р'
где р - давление, р - плотность жидкости, g - модуль ускорения свободного падения, Н - высота элемента жидкости.
Формулы (2), (4) представляют систему дифференциальных уравнений, определяющих движение жидкости внутри капли. Покажем, что это движение однозначно (при известных начальных условиях) определяется распределением давления по поверхности капли.
Если в некоторый момент времени г, известны распределения скоростей (а следовательно, потенциала) и давления на поверхности капли, то в следующий момент г, + 1 с учетом (4) можно вычислить
Т„ (г,■ + 1) = Т„ (г,■) + йТ Д г =
2
= Т. (г,) + (^ - Ш )Д г,
где рп - давление внешних сил и поверхностного натяжения на поверхности капли, vn - модуль вектора скорости на поверхности капли, Нп - высота элемента поверхности.
Далее решаем уравнение (2) с граничным условием Тп (задача Дирихле), имеющее единственное решение Т(г, у, г). Вычисляя градиент потенциала, получаем распределение скорости, в том числе на поверхности капли, и переходим на следующий временной шаг.
Итак, зная распределения скорости и давления на поверхности капли, можно рассчитывать дальнейшее ее движение. Обратим особое внимание на то, что при решении этой задачи можно обойтись без информации о распределениях скоростей и давления внутри капли. Этот вывод позволяет упростить алгоритм численного решения уравнения Лапласа, так как на каждом последующем временном интервале г, + 1 можно строить сетку для конечно-разностных уравнений исходя из формы капли (или других критериев) совершенно независимо от сетки на предыдущем временном интервале г,. Кроме того, уменьшается размерность системы конечно-разностных уравнений, поскольку в каждом узле сетки ищется решение для одной переменной Т вместо трех переменных V,., vy и р.
При необходимости скорости и распределение давления внутри капли можно вычислить. Скорости капли определяются по формуле (1), так как известно распределение потенциала в капле. Дав-
ление внутри капли находится из решения уравнения Пуассона
задачи Рейнольдса о сближении плоских круглых пластин в жидкости [8]. Если допустить, что
(5)
с известными значениями давления на поверхности капли рп и скоростей внутри капли ^(г, у) и ъу(г, у). Уравнение (5) можно получить, если применить оператор Лапласа к уравнению (3) и учесть, что
л,1т) = 1(ЛТ) = Д(*Н) = 0-
Построим сетку для конечно-разностных уравнений, аппроксимирующих уравнение (2). Главное сечение капли разделим вертикальными отрезками на части и на каждом отрезке выберем некоторое количество узлов. В общем случае, при сильно неравномерной кривизне поверхности, расстояние между вертикальными отрезками и количество узлов на одном отрезке могут быть неодинаковыми.
Как отмечалось ранее, на каждом временном интервале строится новая сетка, независящая от сеток на предыдущих временных интервалах. Для проведения расчетов это очень удобно, так как позволяет в любой момент времени изменять размерность сетки. Более того, можно совершенствовать алгоритм построения сетки, что не затронет других аспектов модели.
Определение граничных условий. Граничным условием для решения уравнений движения жидкости является внешнее давление, представляющее сумму двух составляющих.
Первой составляющей является давление поверхностного натяжения, определяемое по формуле
Рсу = О
1 1
— + — ,,
А ^2/
(6)
(7)
(8)
где О - коэффициент поверхностного натяжения между жидкостью и газом, А1, А2 - главные радиусы кривизны элемента поверхности капли.
Вторая составляющая - давление пара между каплей и стенкой, которая определяется из анализа процесса вытекания пара из паровой прослойки. При подлете капли к стенке ее нижняя поверхность вытесняет газ, первоначально находящийся там, одновременно жидкость с поверхности испаряется и образующийся пар вытекает из-под капли. Можно рассмотреть подвижную газопаровую прослойку между каплей и стенкой и решать нестационарную задачу для определения давления пара внутри нее. В основу решения положены условия
дvr дvr
"дг « эу' ^ « ^,
то с
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.