Модель структуры и механических свойств сухого зернистого снега
В.Н. Голубев1, А.Д. Фролов2
Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова, 2Институт информационных наук РГГУ, Москва
На основе представлений о регулярной упаковке зерен предложена модель структуры снега и получены аналитические выражения, описывающие зависимость его механических свойств от параметров структуры.
Введение
Уплотнение снега и происходящие при этом изменения его физических свойств — результат необратимых структурных нарушений, причем на определенном уровне преобразования элементов ледяной матрицы снега меняется характер их взаимодействия, что предполагает смену механизма дальнейшего развития. Для сухих снежно-фирновых покровов такие переходные состояния характеризуются критическими значениями плотности, равными приблизительно 140, 330, 550, 710 и 820 кг/м3, которые разграничивают процесс уплотнения на несколько стадий [3, 4, 7—9]. Основой для выделения последних послужили изменения интенсивности уплотнения и жесткости структуры вблизи указанных критических значений плотности, что трактуется как результат накопления нарушений строения снега, происходивших на предыдущих стадиях. Вблизи критических значений плотности меняется также характер зависимости от нее многих физических свойств снега: скорости распространения упругих волн, теплопроводности, удельного электрического сопротивления, прочности и др. [3].
Ледяная матрица снега формируется соединенными между собой ледяными зернами. Изменения количества и формы основных составных частей структуры (зерен) и соединительных элементов (шеек) служат причиной закономерных вариаций плотности и физических свойств снега. Вместе с тем, возможность различного пространственного расположения одного и того же количества элементов ледяной матрицы (ее конфигурация) при одинаковой плотности снега — фактор, определяющий значительные вариации его физических свойств. Репрезентативный объем снежно-фирнового образования для получения достаточно достоверных данных о его свойствах и структуре должен содержать примерно 103-104 связанных между собой зерен. Сложность непосредственного исследования столь больших систем с целью установления закономерностей изменения строения и физических свойств снега в процессе его уплотнения очевидна, поэтому плодотворным при изучении таких закономерностей представляется использование моделей строения снега, способных адекватно отражать изменения параметров его структуры и вероятную конфигурацию ледяной матрицы.
В настоящей статье представлены результаты аналитической оценки некоторых механических свойств сухого зернистого снега и рассмотрены меха-
низмы его уплотнения, установленные на основе модели снега в виде пространственной регулярной решетки, узлами которой служат зерна (сферы или полиэдры), соединенные между собой жесткими связями. Регулярная решетка — лишь некоторая аппроксимация реального размещения зерен, которое характеризуется определенной вероятностью локальных вариаций размеров и упаковки зерен, толщины и протяженности связующих элементов между ними. Тем не менее, представление о регулярной упаковке зерен позволило нам установить тесную связь уплотнения снега и изменения его механических, в частности, упругих, свойств с нарушениями параметров структуры [1] и связать указанные выше критические значения плотности с последовательными изменениями координационного числа структуры [7].
Основные положения модели
Ледяная матрица снега может быть представлена пространственной регулярной решеткой, узлами которой являются сферы диаметром Б, отстоящие друг от друга на расстоянии Ь и соединенные жесткими цилиндрическими связями диаметром с1. На рис. 1а показана микрофотография контактирующих ледяных зерен в цепочках, формирующих пространственную структуру снега, а на рис. 1б—г — примеры пространственных регулярных упаковок с координационными числами структуры /, равными 3, 4 и 6. Плотность снега в таких случаях описывается уравнением [1, 7]:
р, = р,-Л6±{1 + 2[1,5Ь2к + (1 - Ь2)3/2 -1]} , (1)
где р;=917кг/м3 — плотность массивного льда; к=Ь/Б — показатель рыхлости структуры; Ь =й/Б — показатель жесткости связей; А =/(/) — фактор упаковки зерен, равный 0,285 при/=3; 0,6 при/=4 и 1,0 при/=6.
На рис. 2 показана определяемая уравнением (1) зависимость относительной плотности снега от параметров структуры к и Ь при разных фиксированных значениях координационного числа /. Сильнее всего на плотность снега влияют координационное число / и показатель рыхлости структуры к, поскольку вариации этих показателей непосредственно сказываются на количестве зерен — основных элементов структуры снега. При изменениях к, кроме того, меняется протя-
Рис. 1. Цепочки зерен в снеге (а) и примеры регулярной пространственной упаковки при j=3 (б), j=4 (в) и j =6 (г)
Fig. 1. The structure of natural snow (a) and the spatial regular packings with j=3 (б), j=4 (в) and j=6 (г)
Мы также показали [1], что механические свойства снега, такие как модуль Юнга Е и коэффициент Пуассона V, можно выразить через параметры его структуры:
j-, „ ps 1,5k, cos a
Es = Ei--;;-
4 i Pi (1 +1,72 sin2 a)
ln(1/b2) + k -1
VT-b
(3)
x j 1 + j[1,5kb2 + (1 - b2)3/2 -1][ ,
-1
Vs = Vikc
1 +
k -1 Vb
b2
b 2 ln(1/ b2)
(4)
где Ei и vi — модуль Юнга и коэффициент Пуассона льда; а — стандартное отклонение элементов от осей симметрии регулярной упаковки (а=30° при /'=3,35° и при /'=4, а=0° при /> 6); с — параметр, характеризующий поперечную деформацию среды в зависимости от координационного числа: с=(/—2)/4 при/<6 и с=1 при
женность и соответственно масса связующих элементов между зернами. Зависимость же р^ от Ь обусловлена лишь изменением массы связующих элементов при изменении их толщины, поэтому наибольшее влияние на плотность этот параметр оказывает при высоких значениях к. Изменения относительной плотности снега рург- во всем возможном диапазоне значений к и Ь равны 0,07-0,22 при '=3, 0,14-0,47 при '=4 и 0,21-0,72 при '=6. Средние показатели относительной плотности при тех же значениях координационного числа структуры составляют 0,14, 0,30 и 0,50. Последняя цифра точно совпадает со значением относительной плотности кубической упаковки (/=6) касающихся друг друга (к=1) зерен-сфер. При рJрi <0,14 строение снега соответствует/=3 или меньше. В соответствии с рис. 2, в интервале 0,14<рур<0,22 конфигурация ледяной матрицы снега одинаковой плотности может отвечать как координационному числу 3 (при к<1,1), так и 4, но при к<1,25. В диапазоне относительной плотности снега 0,22<р8/р^<0,47 координационное число структуры может соответствовать 4 (если к<1,30) или 6 (если к<1,05).
В уравнении (1) вклад связей в плотность снега характеризует выражение в квадратных скобках с множителем //2. Эта составляющая может достигать 12% при высоких значениях координационного числа структуры (/'> 6) и показателя жесткости (Ь=0,5) и одновременно при рыхлой упаковке зерен (к=1,4), что для зернистого снега маловероятно. Для снега средней плотности показатель Ь<0,3 и к< 1,2, и поправка на массу связей не превышает 2-5%, поэтому для оценки плотности снега в этом случае может быть использовано более простое выражение
. п 1
= М 6 к1' (2)
Рис. 2. Зависимость относительной плотности снега ps/рг-от параметров его структуры. Остальные обозначения и пояснения в тексте Fig. 2. Relative snow density ps /рг- vs its structural parameters
x
2
b
и
у>6. В уравнении (3), так же как и в уравнении (1), выражение в квадратных скобках, умноженное на у/2, показывает вклад массы межзерновых связей в плотность снега и в большинстве случаев не превышает 5%, в силу чего может быть опущено.
Согласно уравнениям (1)—(4) и рис. 2, вариации параметров структуры снега к, Ь и у должны приводить к существенным изменениям его плотности и механических свойств. Однако значимость того или иного параметра может меняться, что предполагает и изменение характера зависимости свойств снега, т.е. наличие стадий в процессе его гравитационного уплотнения.
Результаты и их обсуждение
Механизм уплотнения снега. В зернистом снеге на каждое зерно приходится объем VI=(жD3/6)(pi /р^). собственно ледяное зерно занимает часть этого объема, равную Vg=жD 3/6, а на поровое пространство приходится Vp=(пD3/6)[(р,-/р^—1]. Отношение Vp к т.е. соотношение между объемом порового пространства в снеге и объемом самой ледяной матрицы, представляет собой коэффициент пористости или приведенную пористость Kp=Vp/^=[(рг-/р^)—1]. Согласно (2), коэффициент пористости можно записать как
KP = ^ -1 . p nA
Кр1
б
42-
--• j=12
0,2
0,4
0,6
0,8 9j9i
(5)
Рис. 3 иллюстрирует соотношение между Кр и относительной плотностью снега р^/р,- и интервалы, в пределах которых последняя может меняться в зависимости от координационного числа у при значениях показателя рыхлости структуры к от 0,9 до 1,35. На рисунке пунктиром выделены области рур,- при наиболее вероятных значениях к. При у=3 и у=4 и значениях к от 1,3 до 0,95 относительная плотность снега может варьировать от 0,07 до 0,37, а значения Кр находятся в диапазоне 3—13, т.е. объем порового пространства возле каждого зерна в несколько раз превышает объем самого зерна. Это позволяет сделать предположение о возможности перемещения («проваливания») зерен из соседнего вышележащего слоя в указанное пространство, в результате чего происходит быстрое уплотнение и заметное изменение жесткости структуры снега. При у=6 и значениях к от 0,95 до 1,15 относительная плотность снега составляет от 0,35 до 0,6, а Кр— от 0,5 до 2. При такой конфигурации ледяной матрицы объем распределенного вокруг зерна порового пространства превышает объем самого зерна менее чем вдвое. Поэтому перемещение зерен, расположенных в соседних слоях, происходит лишь в случае изменения регулярности упаковки в данном слое, что возможно, например, при возникновении агрегатов зерен, в которых к и у существенно превышают средние значения.
На рис. 4 показано, какое количество зерен т в слое толщиной Ь должно участвовать в формировании более плотно упакованного агрегата зерен, т.е. д
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.