НЕОРГАНИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ, 2015, том 51, № 5, с. 576-580
УДК 548.527
МОДЕЛЬ ТЕПЛОВОГО БАЛАНСА БЕСКОНЕЧНО ДЛИННОГО
НИТЕВИДНОГО КРИСТАЛЛА © 2015 г. О. Д. Козенков, В. В. Горбунов
Воронежский государственный технический университет e-mail: kozenkov_w@mail.ru Поступила в редакцию 15.07.2014 г.
Предложена модель теплового баланса для бесконечно длинного нитевидного кристалла. В модели рассматриваются тепловые потоки, приходящие в жидкую фазу, связанные с процессом кристаллизации, и поток, уходящий с боковой поверхности кристалла, возникающий в результате ее разогрева за счет теплопроводности. Предполагается, что температура в поперечном сечении кристалла постоянна. В рамках предложенной модели установлена зависимость температуры на вершине бесконечно длинного кристалла от его радиуса и определена длина нитевидного кристалла, при которой тепловым взаимодействием с подложкой можно пренебречь. Температура вершины кристалла падает с уменьшением его радиуса в результате интенсификации теплоотвода с увеличением доли поверхности. Для длинных наноразмерных кристаллов тепловые эффекты не существенны, так как температура вершины кристалла практически не отличается от температуры окружающей среды.
DOI: 10.7868/S0002337X15050073
Нитевидные кристаллы (НК) — объекты, обладающие рядом уникальных свойств [1—3] и находящие практическое применение для изготовления чувствительных элементов датчиков различных физических величин [4, 5]. Наряду с практической значимостью они представляют научный интерес как модельные объекты для изучения физико-химических процессов роста и формообразования монокристаллов по механизму пар—жидкость—кристалл (ПЖК) [1, 2, 6, 7]. Особый интерес к наноразмерным объектам возникает в связи с перспективами их применения в интенсивно развивающихся нанотехноло-гиях. Так, в работе [8] на поверхности кремния была создана регулярная структура из наноци-линдров "черный кремний", что позволило радикально увеличить коэффициент поглощения электромагнитного излучения в широком диапазоне углов падения.
Несомненна роль тепловых процессов, сопровождающих рост НК, которые приводят к изменению температуры на поверхности жидкой фазы. Интенсивность термоактивируемых процессов определяется температурой, изменение которой приводит к изменению скорости химической реакции, процесса зародышеобразования, диффузии в жидкой фазе, что определяет кинетику роста и формообразования НК.
Независимо от способа получения НК растут по механизму ПЖК, и основные закономерности, присущие этому механизму, должны быть общими для разных способов получения кристаллов.
Однако до настоящего времени не созданы модели, позволяющие проанализировать темпера-
туру на вершине НК в зависимости от геометрии кристалла и технологических параметров процесса роста. Более того, вопрос об изменении температуры вершины НК в процессе роста даже не упоминался в ряде обобщающих работ [1, 2, 7]. Только в работе [9] рассмотрена задача о температуре на вершине НК, растущего из молекулярного пучка в результате физического осаждения. Авторы пренебрегли теплом, уходящим с боковой поверхности кристалла, и тепловыми эффектами фазовых переходов, рассматривая задачу о передаче тепла от подложки через тело НК к его вершине, с которой тепло уходило в виде теплового излучения.
Анализ температуры на поверхности жидкой фазы для случая роста НК в системах с химической реакцией не проводился, хотя системы роста НК с участием химических реакций достаточно широко распространены [1, 2, 7, 10, 11], технологичны и позволяют получать кристаллы высокого качества в широком диапазоне продольных и поперечных размеров.
В настоящей работе рассмотрен тепловой баланс, возникающий в процессе роста НК с длиной, обеспечивающей отсутствие теплового взаимодействия между кристаллом и подложкой. В модели учтены возможные в данном случае тепловые эффекты и определена зависимость температуры на поверхности жидкой фазы от радиуса кристалла и распределение температуры по длине бесконечно длинного НК.
Рассмотрим бесконечно длинный НК, растущий по механизму ПЖК, на вершине которого находится жидкая капля сплава кристаллизующе-
х
Рис. 1. Схема тепловых потоков, возникающих в процессе роста НК.
гося и вспомогательного вещества, образующего жидкую фазу при температуре роста. Так как в процессе роста по механизму ПЖК выделение кристаллизующегося вещества и его последующая кристаллизация происходят в малом объеме жидкой фазы и на ее границах, то ее температура во многом определяет кинетику роста и формообразования НК. На рис. 1 схематично показаны тепловые потоки, возникающие в процессе роста бесконечно длинного НК.
Приходящий тепловой поток 0п, связанный с ростом НК, можно записать в виде
Оп = jSqп = (дх + #Гж + #жк) • (1)
Здесь ] — плотность потока атомов вещества, закристаллизовавшегося на фронте кристаллизации НК — границе жидкость—кристалл; Б = пЯ2 — площадь фронта кристаллизации НК; Я — радиус кристалла; qп, qтж, qжк — тепловые эффекты на атом закристаллизовавшегося вещества, а именно: полный тепловой эффект, тепловой эффект химической реакции, теплота фазового перехода газ—жидкость, теплота фазового перехода жидкость—кристалл соответственно.
Тепловые потоки jSqх и jSqГж выделяются на границе газ—жидкость, а тепловой поток jSqжк — на границе жидкость—кристалл (рис. 1).
Предположим, что по объему жидкой фазы температура постоянная. Это предположение оправдано, так как поперечный размер жидкой фазы сравним с диаметром НК и достаточно мал, менее 100 мкм, а теплопроводность жидкого сплава на вершине кристалла достаточно велика и близка к теплопроводности металлов.
Тепловой поток, уходящий с поверхности жидкой фазы, запишем в виде
Ож = аТ^ж, (2)
считая, что температура окружающей среды равна нулю, где а — коэффициент теплоотдачи, Т1 — изменение температуры жидкой фазы на вершине НК, = 2пЯ2 — площадь поверхности жидкой фазы, которую для простоты считаем полусферой.
Закон теплоотдачи записан в виде (2), что позволяет получить решение в аналитическом виде. Коэффициент теплоотдачи а включает все способы теплоотвода с поверхности НК.
Для определения величины теплового потока, уходящего с боковой поверхности НК, допустим, что температура в радиальном направлении поперечного сечения НК постоянна, так как поперечный размер кристалла мал, а теплопроводность достаточно велика. Это предположение сводит задачу к одномерной.
Распределение температуры Т вдоль нагретого с одной стороны (с вершины) НК без учета жидкой фазы аналогично распределению температуры в тонком стержне, ось которого совпадает с осью х (рис. 1). С учетом ранее сделанных предположений задача сводится к решению дифференциального уравнения, при записи которого температуру окружающей среды полагаем равной нулю:
С 2Т 2гГ!
—2 = а Т,
Сх
(3)
где а виде
- коэффициент, который записывается в
а2 .
(4)
(6)
Ок = аТр [е~ахйх = аРТ1. •> а
(9)
Учитывая (4) и зависимость периметра НК и площади его поперечного сечения от радиуса кристалла, запишем (9) в виде
Ок = пя\12^т1.
Выражение (10) определяет зависимость теплового потока, уходящего с боковой поверхности кристалла, от его радиуса для бесконечно длинного НК.
В стационарном случае сумма приходящих тепловых потоков равна сумме уходящих тепловых потоков, и тепловой баланс, возникающий в процессе роста бесконечно длинного НК, запишется:
Оп = Ож + Ок (11)
Из выражения для теплового баланса (11) с учетом (1), (2), (10) найдем температуру Т1 на поверхности жидкой фазы в зависимости от радиуса кристалла Я:
Здесь а - коэффициент теплоотдачи, Р = 2пЯ -периметр поперечного сечения НК, Б = пЯ2 — площадь поперечного сечения НК, X - коэффициент теплопроводности, Т - температура элемента поверхности НК.
Уравнение (4) имеет стандартное решение:
Т = Аеах + Ве ~ах, (5)
где А и В - произвольные постоянные.
Граничные условия запишем в виде
Тх=0 = Т1
Т^ = 0
х—^ да >
где Т1 — температура жидкой фазы на вершине НК при х = 0. Второе граничное условие отражает тот факт, что при х ^ да температура кристалла стремится к температуре окружающей среды, принятой за нуль.
Воспользовавшись граничными условиями (6), определим константы интегрирования в решении (5): А = 0, В = Т1.
С учетом значений констант А и В решение (5) примет вид
Т = Т1е-ах. (7)
Тепловой поток, уходящий с боковой поверхности кристалла, определяется выражением
СОк = а ТРСх. (8)
С учетом (7) проинтегрируем (8) по х от 0 до да
Т1 =•
2а +
2_Ха
я
(12)
(10)
Распределение температуры по длине бесконечно длинного НК, не связанного с подложкой тепловым взаимодействием, определяется выражением (7). Подставив в (7) значение а из (4) запишем
Т = Те . (13)
Температура вершины кристалла Т1 в (12) определяется технологическими условиями роста через величину теплового потока, связанного с процессом кристаллизации, а именно: скоростью роста НК. Показатель экспоненты в (13) содержит только теплофизические и геометрические характеристики кристалла.
Проанализируем результаты моделирования на примере экспериментальных данных, полученных автором для НК кремния, выращенных в проточной системе 81С14 + Н2 с использованием меди в качестве инициирующей примеси. Известно [12], что при температуре роста НК (1300— 1400 К) теплопроводность меди ХСи = 244 Вт/(м К), а теплопроводность кремния = 23 Вт/(м К). Теплопроводность сплава Си + 81 при температуре 1323 К Хсп = 111 Вт/(м К). Для Т = 1323 К плотность потока кристаллизующегося вещества составляет ] = 5 х 1022 с-1 м-2, что соответствует скорости роста 1 мкм/с.
Известно [12], что дтж = 6.36 х 10-19 Дж, ^жк = = 0.83 х 10-19 Дж, = -0.332 х 10-19 Дж, следовательно, = 6.858 х 10-19 Дж. Коэффициент теплоотдачи от твердой поверхности через газовую фазу находится в интервале 2-10 Вт/(м2 К) [13]. При температуре роста НК концентрация газа в 4.5 раза ниже, чем при комнатной температуре, поэтому для оценки температуры на вершине НК возьмем значение коэффициента теплоотдачи а = 0.25-2 Вт/(м2 К).
х
0
Т1, К
60
50 40 30 20 10
(а)
- 2
- / ^^^ 3___ -—"""" 4
Т1, К
(б)
3
Я х 105, м
Т, К
60
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.