ЭКОНОМИКА И МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ, 2007, том 43, № 3, с. 63-73
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ^^^^^^^^ ЭКОНОМИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ
МОДЕЛЬ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ МЕЖДУ ПРИНЦИПАЛОМ И АГЕНТАМИ С РАЗНЫМ ОТНОШЕНИЕМ К РИСКУ
© 2007 г. С. В. Кондрашин
(Москва)
Описывается модель взаимодействия между принципалом и агентами (Arrow, 1985; Coase, 1937) с разным отношением к риску в одном, двух и более периодах. Анализируется оптимальная стратегия поведения принципала в зависимости от отношения к риску агентов, длительности взаимодействия, фактора дисконтирования будущих выгод/потерь и других параметров.
1. ПРЕДПОСЫЛКИ МОДЕЛИ
Эффективное управление рисками бизнеса является одним из приоритетных вопросов, стоящих перед менеджерами современных компаний (Bernstein, 1996). Это особенно значимо для российских компаний, которые работают в более нестабильной деловой среде, чем их иностранные коллеги (Воробьев, Балдин, 2005; Bessis, 1998). Эффективное внедрение моделей взаимодействия между принципалом и агентами систем обеспечит ощутимый рост капитализации компании в интересах акционеров, а также повысит устойчивость бизнеса в интересах ее сотрудников и государства (Cassidy, Constand, Corbett, 1990; Froot, Scharfstein, Stein, 1994).
Будем исследовать классическую модель (Demski, Sappington, 1984; Grossman, Hart, 1983; Ross, 1973) взаимодействия между принципалом и агентами (Arrow, 1985; Coase, 1937) с разным отношением к риску в одном, двух и более периодах. Предположим, что взаимодействие происходит внутри холдинговой структуры, в которой существуют два основных уровня: уровень управляющей компании, возглавляемой президентом, и уровень бизнес-единиц, возглавляемых директорами. Директора (агенты) работают "на местах" на благо компании, а президент (принципал) определяет структуру и размеры компенсации для директоров (Bloom, Milkovich, 1998; Jensen, Meckling, 1976; Milgrom, Roberts, 1988).
Существуют разные типы директоров с различным отношением к риску, r с Ш, при этом более высокие значения r соответствуют более высокой расположенности к риску (Menezes, Hanson, 1970). Разделим множество всех директоров на две группы: r < r' и r > r'. Первая группа соответствует первому типу директоров - директора, крайне не расположенные к риску (risk-averse), назовем их РИСК-. Такие директора очень боятся потерять свою работу (McCrimmon, Wehrung, 1990), например, в результате раскрытия фактов дезинформации президента, и поэтому всегда передают только верную информацию (действительно, если президент обнаружит искажение данных, то потеря работы будет неизбежна). Вторая группа состоит из директоров, которые расположены к риску (risk-loving) и ведут себя оппортунистически (РИСК+). Такие директора, передавая информацию президенту, могут искажать ее в своих интересах и готовы мириться с угрозой потери работы.
Президент не может непосредственно наблюдать действия директоров (проблема "скрытого действия" (Coase, 1937; Demsetz, 1988; Holmstrom, 1979; Penno, 1984)), поэтому он не имеет информации относительно уровня усердия директоров и не может определить, к какому типу принадлежит директор. При этом президент знает вероятностное распределение директоров в их общей популяции между разными типами. Пусть вероятность найма директора типа РИСК- равна
R = J ^ n (r)dr > 0; R = const - это фиксированная вероятность, известная президенту из статистического распределения типов директоров n(r) в их общей популяции. Эта вероятность неизменна во времени, т.е. предполагается, что размер популяции достаточно велик, чтобы по мере найма агентов одного или другого типа вероятность последующего найма каждого типа не изменялась.
Каждый директор работает с некоторым уровнем усердия (effort): F, где F с Ш.
Аналогично ситуации со степенью расположенности к риску, для упрощения дальнейшего анализа разделим множество возможных степеней усердия на две группы: F < F и F > F. Первая группа соответствует низкой степени усердия, вторая - высокой. Пронормируем величины F так, чтобы высокому уровню усердия F > F соответствовала величина F = 1, а низкому уровню усердия F < F - величина F = 0. В случае работы с усердием издержки каждого директора составляют c(F > F) = C > 0, а в случае неусердной работы - c(F < F) = 0.
Усердная работа директора отвечает интересам президента; при этом степень усердия не может наблюдаться со стороны или быть прямо проверена президентом (Holmstrom, 1979; Penno, 1984). Однако по итогам периода президент может наблюдать величину прибыли бизнес-единицы, полученную в результате усердий директора; эта величина равна G, где G с Ш.
Разделим множество возможных уровней прибыли на две группы - низкий (G < G') и высокий (G > C') уровни прибыли. Пронормируем величины G так, чтобы высокому уровню усердия соответствовала величина G = 1, а низкому уровню усердия - величина G = 0.
Вероятность, что прибыль будет высокая при низком уровне усердия со стороны директоров равна Pr(G > G'|F < F1) = Ph, а при усердной работе - Pr(G > G'|F > F) = 1.
Допустим, что по окончании работы директор может сигнализировать свой уровень усердия президенту, посылая сигнал S с Ш. Если директор принадлежит к типу РИСК , то S = F. Если же директор относится к типу РИСК+, то такая взаимосвязь отсутствует, так как агент этого типа может искажать информацию в своих интересах.
Президент устанавливает уровень компенсации директора W = W(G; S) с Ш, где W > 0, который зависит от наблюдаемой выгоды G с Ш и сигнала директора S с Ш. Цель президента заключается в максимизации чистой прибыли, которая равна разнице между прибылью от работы директора и его компенсацией, т.е. GNET = G - W(G; S).
В многошаговой игре президент может выбирать - увольнять или не увольнять директора. Если какого-либо директора уволили, то его выгода во всех будущих периодах равна нулю. Фактор дисконтирования в многошаговых играх обозначим через D, D е [0; 1].
Введем некоторые ограничения на значения параметров, чтобы сконцентрироваться на рассмотрении наиболее интересных случаев модели и сделать модель более реалистичной (обоснование этих "предположений реалистичности" будет приведено ниже). Так, предположим, что (1 - Ph)2 < C и C < 1 - Ph. Эти ограничения подразумевают, что издержки усердия достаточно низкие, чтобы директор был усердным в случае прямой наблюдаемости его работы президентом. Это так называемое "ограничение участия" (Bloom, Milkovich, 1998), которое показывает, что усердная работа с высокими издержками в виде усилий, вознаграждаемая высокой компенсацией, предпочтительна для агента по сравнению с неусердной работой с низкими издержками усилий, вознаграждаемой более низкой компенсацией. При этом издержки усилий все же не настолько низки, чтобы президент мог с успехом и выгодой для себя мотивировать (т.е. всегда использовать мотивирующие контракты) директоров обоих типов на усердную работу в условиях ненаблюдаемости их усилий.
Отметим, что в данной работе рассматриваются только чистые, а не вероятностные стратегии участников, т.е. все директора обладают свойственной им степенью предрасположенности к риску, которая имеет уникальное неизменное значение. Аналогично директорам, президент также имеет четкие стратегии поведения на каждый вариант развития взаимодействия, что исключает вероятностную составляющую из его поведения.
2. ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ПРИ ОДНОРОДНОМ ТИПЕ ДИРЕКТОРОВ
Допустим следующее: R = 1, т.е. все директора в общей популяции принадлежат к классу РИСК-. Случай нерасположенности к риску всех директоров эквивалентен ситуации прямой наблюдаемости усердия каждого отдельного директора для президента, так как, опасаясь потери работы, директор всегда сообщит правдивую информацию об уровне своих усилий. Другими словами, S = F для всех директоров и всех возможных уровней усердия. В этом случае достигается оптимальный исход для президента, который решает следующую задачу оптимизации: maxGnet по переменным F и W(F) (максимизация чистой прибыли президента-принципала).
Ограничение 1. W(F) - c(F)F > 0 - ограничение участия, показывающее предпочтительность усердной работы с более высокими издержками на усилия за высокую компенсацию по отношению к неусердной работе с низкими издержками на усилия за низкую компенсацию.
Ограничение 2. > Р1) - > Р1)^ > < Р) - < Р1)^ - ограничение мотивации, которое показывает, что в условиях ненаблюдаемости истинного уровня усилий агента принципал может эффективно мотивировать его на усердную работу путем предложения повышенной компенсации при достижении высоких результатов, которые как раз и будут сигнализировать о высоком усердии агента. Другими словами, даже в условиях неподконтрольности принципалу агент предпочтет перестраховаться и работать усердно, чтобы гарантированно получить высокий уровень компенсации.
Решением данной задачи оптимизации является:
1) уровень усилий директора-агента, всегда равный ^ = 1;
2) структура компенсации директоров-агентов, описываемая как = 0) = 0, Ж (Р = 1) = > > Р1) = С > 0.
Такие значения параметров позволяют президенту получать каждый период чистую прибыль, равную 0ЫЕТ = 1 - С.
Допустим теперь, что Я = 0, т.е. все директора в общей популяции принадлежат к классу РИСК+. Случай расположенности к риску всех директоров эквивалентен ситуации, где степень усердия является скрытой для президента, так как оппортунистический директор может искажать информацию в своих интересах и всегда рапортовать о высоком уровне затраченных усилий.
В этом случае при однопериодном взаимодействии президент гарантированно сможет получить выгоду, равную Рг^ > < = Рк, если он установит заработную плату Ж^) = 0 для всех возможных значений G (т.е. будет использовать немотивирующий контракт с фиксированной компенсацией).
Президент может мотивировать директора на высокий уровень усердия путем решения следующей задачи оптимизации: штЖ^ > G') по переменной Ж^) (минимизация издержек при заданной выручке эквивалентна максимизации прибыли).
Ограничение 3. Ж^ > G') - С > РкЖ(0 > G') - ограничение участия и мотивации. Решением данной задачи является: Ж(0 > G') = С/(1 - Рк).
Чистая прибы
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.