ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ai ЛЮХ ^хул^ая^нлчт^шнвш^ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ
ФИЗИКА -a. i -'.4ir.-' \r\-~
Том 144, № 2 WiT^-HQTf>-Д V*
август, 2005 3.»« JT'-tsi . ■ . 3 KtoDH
-If-Kf-
© 2005 г. В. С. Герджиков*, Б. Б. Вайзаков*, М. Салерно* г
МОДЕЛИРОВАНИЕ АДИАБАТИЧЕСКИХ
iV-СОЛИТОННЫХ ВЗАИМОДЕИСТВИИ
{Ml а < 1
С УЧЕТОМ ВОЗМУЩЕНИИ
•vrKMsq >t
С целью описания адиабатических взаимодействий Л^-солитонной цепочки для нелинейного уравнения Шредингера с возмущением исследуется вариант комплексной цепочки Тоды с возмущением. Возмущения в слабых квадратичном и периодическом потенциалах исследуются как аналитическими, так и численными методами. Комплексная цепочка Тоды с возмущением адекватно моделирует динамику ^-солитонной цепочки для обоих типов потенциалов. В качестве приложения развитой теории рассматривается динамика цепочки солитонов волн материи, удерживаемой параболической ловушкой и оптической решеткой.
* чН а
Ключевые слова: комплексная цепочка Тоды, адиабатическая динамика, солитонная цепочка, выталкивание солитона.
1. ВВЕДЕНИЕ
-1 .н
V Взаимодействия Л^-солитонных цепочек для нелинейного уравнения Шредингера (НУШ) и его вариантов с возмущением
f 1*»}? . , r-. I
iut + -ихх + |u|2u(x, t) = геД[и],
(1)
I.
начало изучению которых положила новаторская работа [1], в настоящее время в значительной степени исследованы (см. работы [2]-[6] и цитируемую там литературу). Исследовался также и ряд других нелинейных эволюционных уравнений, в том числе некоторые высшие НУШ [6], система Абловица-Ладика [7], модифицированное НУШ [8]—[12] и другие.
* Institute for Nuclear Research and Nuclear Energy, 1784 Sofia, Bulgaria. E-mail: gerjikov@inrne.bas.bg
t Department of Physics "E. R. Caianiello" and Istituto Nazionale di Fisica della Materia, University of Salerno, 1-84081 Baronissi, Italy. E-mail: salerno@sa.iufn.it
MOJ
Cocpc понимав]
Каждый Ик, поло: го парам ется с ра удовлетг
где i/0 = ветствен
Можно о набор 4i\ Уравн тегрируе почки в I щенияце
Комплею
где So = ( свободны Замел ральные, непрерыв не могут f равными
Сосредоточимся далее на НУШ с возмущением (1). Под TV-солитонной цепочкой мы понимаем решение НУШ (с возмущением), определенное начальным условием
U(x,i = 0) = £Uis(x,i = 0), = (2)
fc=i к zk(x,t) = 2ик(х - &(t)), &(t) = 2(Ikt + (3)
^(x,t) = —ЗД+МО. Sk(t) = Wkt + Sk, o. (4)
vk
Каждый солитон характеризуется четырьмя параметрами: амплитудой vk, скоростью (ik, положением центра масс и фазой 5к. В адиабатическом приближении роль малого параметра ео 1 играет перекрытие солитонов, которое экспоненциально уменьшается с расстоянием между солитонами. В таком случае параметры солитонов должны удовлетворять следующим условиям [1]:
Wk - fo| < fo, l/ifc - Щ)\ < но, Wk - fol lifc+1,0 -£fc,ol » 1, (5)
где 1/о = (1/Л0 "к и /1о = (1/ЛО Мк ~ средние амплитуда и скорость, соот-
ветственно. На самом деле мы имеем два разных масштаба:
bt
- И>| ^ 4/2> l^fe -А»о| -4/2' lifc+l.o-ifc.ol^^o1-
Можно ожидать, что приближение применимо только для таких времен Ь, для которых набор 4АГ параметров солитонной цепочки удовлетворяет условиям (5).
Уравнение (1) находит ряд применений в нелинейной оптике, а в случае Д[м] = 0 интегрируемо методом обратной задачи рассеяния [13], [14]. Динамика 7У-солитонной цепочки в адиабатическом приближении моделируется посредством комплексного обобщения цепочки Тоды [20]:
= ¿ = 1 (6)
Комплекснозначные величины С}к выражаются через параметры солитонов: ^' '
С2к(г)=21\о£кЮ+2к\п{2ио)+г{ктг-6к(г)-6о), (7)
где<5о = (1/ЛО <5*: и Ло = цо+г^о- Кроме того, предполагается, что концы цепочки свободны, т.е. е_<г° = = 0. « ■>■ ' •
Заметим, что ТУ-солитонная цепочка не является ТУ-солитонным решением: спектральные данные соответствующего оператора Лакса Ь не являются тривиальными и в непрерывной части спектра Ь. Поэтому аналитические результаты теории солитонов не могут быть применены. Кроме того, мы хотим рассмотреть солитоны, двигающиеся с равными скоростями, а также эффекты возможных неинтегрируемых возмущений Д[и].
304 ' " -» в. С. ГЕРДЖИКОВ, Б. Б. БАЙЗАКОВ, М. САЛЕРНО
= Л 4
Представленная статья расширяет результаты работ [2]-[5], [12], [15]. В настоящее время в связи с реализацией в разреженных атомарных газах конденсации Бозе-Эйн-пггейна стало важно исследовать НУ Ш с дополнительным потенциальным членом вида г'Д[и] = У(х)и(х, £) (см. [16], [17]). Мы продолжаем начатый в работе [6] анализ соответствующей модели комплексной цепочки Тоды (КЦТ) с возмущением для квадратичных и периодических потенциалов У{х). Наши результаты подтверждают наличие у периодических потенциалов стабилизационных свойств, которые были обнаружены в работах [18], [19] в другой физической постановке.
2. ЗНАЧЕНИЕ МОДЕЛИ КЦТ
Тот факт [20], что КЦТ, подобно (вещественной) цепочке Тоды (ВЦТ), является вполне интегрируемой гамильтоновой системой, позволяет аналитически исследовать асимптотическое поведение /У-солитонных цепочек. Однако КЦТ в отличие от ВЦТ обладает большим многообразием динамических режимов [21], а именно:
• асимптотически свободное движение в случае, если Vj / у к при ] / к; это единственный динамический режим, возможный для ВЦТ;
• /У-солитонное связанное состояние в случае, если г>1 = • • • = ун, а ф ^ при к фу,
• различные промежуточные (смешанные) режимы; например, если у\ = у? > • ■ ■ ■ • • > илт, а С к Ф (,з ПРИ к ф то будем иметь связанное состояние первых двух солитонов, в то время как остальные будут асимптотически свободными;
• сингулярные и вырожденные режимы в случае, если два или более собственных значений оператора Ь равны, например, £1 = С2, • • • и О Ф Ск при 2 < j' ф к.
Здесь через Ск = ^к+ггчк обозначены собственные значения матрицы Л аксаЬ в представлении Лакса Ьт = [М, Ь] для КЦТ, где
• " N — 1 ' ,
; !•;.' 1.-1: _>. Ч - I ™ « • • М
г £ = ЬкЕкк + ак(Ек,к+1 + Ек+1,к), ,,
к=1 к=1 ' ' (8) 1<юк 1 Як+1 - Як Ьк = = 2Ы +гик)> ак = 2ехр-2-
и (Екр)г] — ¿>кг$р]- Собственные значения Ск оператора Ь не зависят от времени и являются комплекснозначными наряду с первыми компонентами нормированных собственных векторов Ь:
ММ = Ск?{к), = 6кт. ' ' (9)
Множество {(к = Ук + гюк, Т]к = ак + может рассматриваться как множество переменных действие-угол для КЦТ.
Используя модель КЦТ, можно определить асимптотический режим /У-солитонной цепочки. По заданным начальным параметрам Цк (0), щ (0) > (0), ¿к (0) Л^-солитонной цепочки можно вычислить матричные элементы Ьк и ак оператора Ь при Ь = 0. Затем, решал характеристическое уравнение для Ь^-о, можно вычислить собственные значения Ск и таким образом определить асимптотический режим /У-солитонной цепочки
[2], [5]. Другая возможность состоит в том, чтобы наложить на Ос специальное ограничение, например, потребовать, чтобы все (к были чисто мнимыми, т.е. к* = 0 для всех к. Это даст множество алгебраических условий для £|4=о и начальных параметров соли-тонов ¿/)с(0),£)с(0),<5)с(0), которые описывают область в пространстве солитонных параметров, отвечающую за ДГ-солитонные связанные состояния.
3. НУШ И КЦТ С ВОЗМУЩЕНИЯМИ. КВАДРАТИЧНЫЙ И ПЕРИОДИЧЕСКИЙ ПОТЕНЦИАЛЫ
Рассмотрим несколько специальных способов выбора возмущений Я(р)[и], р = 1,2,..., в уравнении (1). Динамика параметров солитонов в адиабатическом приближении может быть определена с помощью следующей системы (см. [1] для N = 2и[2], [5] для Дг > 2): , ,
; • ; • - - \
^ = - + м1р) + №<?>, _ (10)
% = 2,к + ^ = 2 (Я + „Ь +
где А к = Цк + ¿"к и Х^ = 2/1*5^ + . Правые части уравнений (10), (11) определяются величиной
, . 1 ГОО 1(р)
ьу I
-ОО
мГ = 1 ¿^Аъ^ф
* J-оо СП
- £ £ МЯ»>м«-».). "
Подставляя (10), (11) в (7), получаем 1 ' г ' •
= -4щ\к + + щк (м(р) + глг(р)} + г(2АоЕ(р) _ х(р) _ х(р)):
аг
1 n л n n (16)
_7 = 1 j=l ] = \
При выводе формул (16) мы оставили члены порядка Аг/к — О (у/ёо) и пренебрегли членами порядка С(ео)- В результате возмущений величины щ и цо могут стать не зависящими от времени. Действительно, из уравнения (10) получаем.
4 Теоретическая и ма+ематическая физика, т. 144, № 2, 2005 г.
306 ип-ГШШУ В.С. ГЕРДЖИКОВ, В.В. ВАЙЗАКОВ, М. САЛЕРНО
Малый параметр ео может быть связан с начальным расстоянием го = — £1 |«=о между двумя солитонами. Предполагая 1/\р. ~ и&, находим.г
/оо -оо
(18)
Соотношение (18), в частности, означает, что ео — 0.01 при го — 8 и vq = 1/2. Будем предполагать, что в начальный момент солитоны упорядочены таким образом, что - & — го- Можно проверить [3], [12], что N¡.p^ ~ М^ ~ ехр(—2^о|/с — р|го). Поэтому члены, описывающие взаимодействие между к-м и (к± 1)-м солитонами, будут порядка e~2v°r°, взаимодействие между к-ми (/с±2)-м солитонами - порядка е_41/0г° < e-2voro
Члены X¡¡.°) по порядку величины равны r¡¡e~2"°ro, где а = 0 или 1. Однако этими членами можно пренебречь по сравнению с Д * и : ..... > - .
Д* = Hk ~ Но - л/ёо , ñ = n~vo- 1. (19)
Поправки к N^получаемые из линейных по и членов, зависят только от параметров к-го солитона, т.е. они "локальны" по к. Представленные в iR^ [и] нелинейные по и члены дают, кроме того, "нелокальные" по к члены в N^,... .
Рассмотрим теперь возмущения вида г'Д[и] = V(x)u(x,t). Первый способ выбора V(x) - квадратичный:
F(1>(x) = V2x2 + VlX + V0. "' ' 1 ' (20)
Опустив детали, имеем в результате [6] ¡ ; ,
N¡»=0, M^ = -V2ik- у, , (21а)
Е« = 0, = (216)
и Х^ = D^. Другой важный способ выбора - периодический потенциал
vW(x) = Лсо8(Пх + П0), ^ *' (22)
где А, П и По - подходящим образом выбранные константы. НУШ с аналогичными потенциалами естественным образом возникает при изучении конденсата Бозе-Эйнштей-на (см. [16]). Для двух взаимодействующих солитонов соответствующая система Кар-пмана-Соловьева была получена в работе [19]. В случае N > 2 мы получаем КЦТ с возмущением (КЦТВ), причем интегралы для величин Мк, и Dk равны [6] соответственно .. , ^ м \ Л i'*'v „._\ ; •.>■'
... ^2)=0, Mf^V, 8ш(П&+П0), (23)
•,.n iYH! „(2) (2) 7Г2ЛП2 chZfc v*. Hq.o •
0' =-^6Üf^Z-kCOSm+üo)' ■ (24)
где Zfc = 7гП/(4z/fe). Эти результаты позволяют получить соответствующие модели
КЦТВ. ■ -.'О^-.т.-с- ■ • .
4. АНАЛИЗ КЦТВ И С
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.